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人教版数学八年级上暑假预习课
第十讲 全等三角形的辅助线二
一、专题导航
类型4、一线三垂直（等角）模型
一线三等角模型
【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.
如图，
典例剖析4
例4-1．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
(1)如图，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到___________，___________．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
(2)①如图，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；
②如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点．若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
例4-2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
(1)如图1，，，过点作于点，过点作于点.由，得.又，可以推理得到.进而得到_____，_____.我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
(2)①如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点.求证：点是的中点.
②如图3，在平面直角坐标系中，点为平面内任一点，点的坐标为.若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标.
变式训练4
1．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．
根据对材料的理解解决以下问题∶
(1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________
(2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长．
2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型．
【模型应用】
（2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点；
②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
[模型呈现]
如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到.进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；

[模型应用]
如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________．
[深入探究]
如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．
类型5 手拉手模型
将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等．
【模型图示】
公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”．对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得．
【常见模型】
（等腰）
（等边）
（等腰直角）
典例剖析5
例5-1．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
例5-2．【基本模型】
（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
例5-3．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接
(1)如图1，点D在线段上，如果，则______度：
(2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由；
(3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由．
变式训练5
1．在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．

(1)【观察发现】
如图①，与的数量关系是 ；
(2)【尝试探究】
点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数；
(3)【深入思考】
如图②，若E为中点，探索与的数量关系．
2．【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；
【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论．
3．【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为90°），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明；
【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明；
【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°），，，，以为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．

类型6 角含半角模型
半角模型构造全等三角形
过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。
思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。
解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.
半角模型
方法：①利用旋转构造全等三角形； ②利用翻折构造全等三角形。
典例剖析6
例6-1．（1）【阅读理解】如图，已知中，，点、是边上两动点，且满足，
求证：．
我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
小明的解题思路：将半角两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的，然后证明与半角形成的全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系．
请你根据小明的思路写出完整的解答过程．
证明：将绕点旋转至，使与重合，连接，
……
（2）【应用提升】如图，正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线点运动；点点同时出发，以相同的速度沿射线方向向右运动，当点到达点时，点也停止运动，连接，过点作的垂线交过点平行于的直线于点，与相交于点，连接，设点运动时间为，
①求的度数；
②试探索在运动过程中的周长是否随时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．
例6-2．阅读理解
半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．

【问题背景】
如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________．
【探索延伸】
如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．

例6-3．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得．大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故．
任务：
如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
变式训练6
1．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系．
(1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________；
(2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
(3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明．
2．定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”．例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”．在钝角三角形中，，，，过点的直线交边于点．点在直线上，且．
（1）如图1，若，，点在延长线上，图中是否存在“半角三角形”（除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若，保持的度数与（1）中的结论相同，请直接写出，，满足的数量关系．
3．【基本模型】

如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________．
【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________．
【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系．
类型7 对角互补模型
对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。
常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60° 对角互补模型、 2α-（180°-2α）对角互补模型。
方法：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。
典例剖析7
例7-1．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系．
例7-2．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图1，正方形中是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形_____（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；
(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点作于点．
①过作于点，试证明：；
②若，，求的长．
变式训练7
1．定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题．
(1)如图1，四边形是正方形，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接，，请根据定义判断四边形是否是“直等补”四边形，并说明理由．
(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，若，，求的长．
2．定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形定义为“郡外四边形”．

(1)如下：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四边形”的是：______．
(2)如图点P是正方形对角线上一点，点O是线段中点，点E是射线上一点，且，连接．
①如图1，当点P在线段上时，求证：四边形为“郡外四边形”；
②如图2，当点P在线段上时，试用等式来表示的数量关系，并证明．
人教版数学八年级上暑假预习课
第十讲 全等三角形的辅助线二（解析版）
一、专题导航
类型4、一线三垂直（等角）模型
一线三等角模型
【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.
如图，
典例剖析4
例4-1．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
(1)如图，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到___________，___________．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
(2)①如图，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；
②如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点．若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)①证明见解析；②或
【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等解答；
（2）①作于，于，证明，，根据全等三角形的性质得到，再证明，根据全等三角形的性质证明结论；
②过点作轴于点，过点作轴于点，两直线交于点，过点作轴于点，交于点，利用（1）的结论即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，．
故答案为：；．
（2）①证明：如图，作于，于，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴点是的中点；
②解：如图，和是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，，
过点作轴于点，过点作轴于点，两直线交于点，过点作轴于点，交于点，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，，
由（1）可知，，
∴，，
∵点的坐标为，
∴，，
又∵，
∴，
解得：，，
∴点的坐标为，
∵，，，
由（1）可知，，
∴，，
∴点的坐标为．
综上所述，是以为斜边的等腰直角三角形，点B的坐标为或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质．掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
例4-2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
(1)如图1，，，过点作于点，过点作于点.由，得.又，可以推理得到.进而得到_____，_____.我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
(2)①如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点.求证：点是的中点.
②如图3，在平面直角坐标系中，点为平面内任一点，点的坐标为.若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标.
【答案】(1)DE，AE；(2)①证明见解析；②点A坐标为(，)或(，).
【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①如图2，作DM⊥AH于M，EN⊥AH于N，根据余角的性质得到∠B＝∠1，根据全等三角形的性质得到AH＝DM，同理AH＝EN，求得EN＝DM，由全等三角形的性质得到DG＝EG，于是得到点G是DE的中点；
②如图3，过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，根据余角的性质得到∠BAC＝∠AOD，根据全等三角形的性质得到AD＝BC，OD＝AC，设AD＝x，则BC＝AD＝x，于是得到结论．
【详解】（1）AC＝DE，BC＝AE；
故答案为：DE，AE；
（2）①如图2，作DM⊥AH于M，EN⊥AH于N，
∵BC⊥AH，
∴∠BHA＝∠AMD＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠1＋∠2＝∠2＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠1，
在△ABH与△DAM中，
∴△ABH≌△DAM（AAS），
∴AH＝DM，
同理AH＝EN，
∴EN＝DM，
∵DM⊥AH，EN⊥AH，
∴∠GMD＝∠GNE＝90°，
在△DMG与△ENG中，
，
∴△DMG≌△ENG（AAS），
∴DG＝EG，
∴点G是DE的中点；
②如图3，过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，
∴∠C＝90°，
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAD＋∠BAC＝90°，
∵∠OAD＋∠AOD＝90°，
∴∠BAC＝∠AOD，
在△AOD与△BAC中，
，
∴△AOD≌△BAC（AAS），
∴AD＝BC，OD＝AC，
设AD＝x，则BC＝AD＝x，
∴AC＝OD＝CE＝x＋1，
∴AD＋AC＝x＋x＋1＝OE＝4，
∴x＝，x＋1＝，
∴点A的坐标（,）；
如图4，
同理可得，点A的坐标(，)
综上所述，点A的坐标为(，)或(，).
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，余角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
变式训练4
1．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．
根据对材料的理解解决以下问题∶
(1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________
(2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长．
【答案】(1)
(2)（1）中结论仍然成立，理由见解析
(3)7
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．
（1）证明，得到，利用，即可得到；
（2）证明，得到，利用，即可得到；
（3）证明，推出即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：
∵，，
，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∴，
∴（1）中结论仍然成立；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型．
【模型应用】
（2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点；
②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）见解析；（3）存在，或
【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识；
（1）由全等三角形的性质可得出答案；
（2）过点作交于点，过点作交于点，证明，得出；同理可得：．得出，证明，由全等三角形的性质可得出；
（3）分两种情况，由全等三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可知，
，，
故答案为：，；
（2）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
同理可得：．
，
，
在和中，
，
，
，
点是的中点．
（3）解：如图，当点在轴正半轴上时，由【模型呈现】可知，
，，
，
，
；
当点在轴负半轴上时，同理可得．
综上所述，点的坐标为或．
3．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
[模型呈现]
如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到.进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；

[模型应用]
如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________．
[深入探究]
如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．
【答案】模型呈现：；模型应用：50；深入探究：见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握“K型”全等是解题的关键；
[模型呈现]根据题意可直接进行求解；
[模型应用] 由“字”模型可知，，，则有，，，，然后根据割补法求面积即可；
[深入探究] 过作于，过作于，由“字”模型得：，则有，然后可证，进而问题可求解．
【详解】[模型呈现]解：，
.
故答案为：；
[模型应用]解：如图2中，

图2
由“字”模型可知，，，
，，，，
，
图中实线所围成的图形的面积梯形的面积的面积的面积的面积的面积
；
故答案为：50；
[深入探究]证明：如图3，过作于，过作于，

图3
由“字”模型得：，
，
同理：，
，
，，
，
在与中
，
，
即点是的中点．
类型5 手拉手模型
将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等．
【模型图示】
公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”．对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得．
【常见模型】
（等腰）
（等边）
（等腰直角）
典例剖析5
例5-1．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化．
将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可．
【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至，
，，
则，，
，即点D，E，F三点共线，
，
，
即，
在和中
，
，
，
，
五边形的面积为：
，
，
．
故选：D．
例5-2．【基本模型】
（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形．
（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解；
（2）结论：，证明方法同法（1）．
【详解】解：（1）结论：．
理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，

则：，，，
∴，即：三点共线，
，
∴，
∴，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
（2）结论：．
理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，

则：，
同法（1）可得：，
，
又，
．
例5-3．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接
(1)如图1，点D在线段上，如果，则______度：
(2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由；
(3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键．
（1）证即可求解；
（2）证即可求解；
（3）证即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即：，
∵，，
∴
∵，，
故答案为：
（2）解：，理由如下：
，
，
又，
，
即：，
在和中，，
；
（3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下：
如图所示：
，
，
即：，
在和中，，
又，
．
变式训练5
1．在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．

(1)【观察发现】
如图①，与的数量关系是 ；
(2)【尝试探究】
点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数；
(3)【深入思考】
如图②，若E为中点，探索与的数量关系．
【答案】(1)
(2)的大小不变，
(3)
【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识．
（1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案；
（2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，；
（3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出．
【详解】（1）∵
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
（2）的大小不改变，
如图①，作交于点F，则，

∴，
由（1）得，
∵
∴，
∴，
∴，
∴的大小不改变，．
（3）E，
理由：如图②，作交于点G，作于点H，则

∴，
∵E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；
【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论．
【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍成立，理由见解答过程；（3）．理由见解答过程．
证明见解析
【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
（1）根据可判定，进而得出，，再根据判定，可得出，据此得出结论；
（2）延长到点，使，连接，先根据判定，进而得出，，再根据判定，可得出；
（3）在延长线上取一点，使得，连接，先根据判定，再根据判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．
【详解】解：（1）．理由如下：
如图1，延长到点，使，连接，
，
，
又，
，
在与中，
，
，
，，
，，
，
，
即，
；
在与中，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）（1）中的结论仍成立，理由如下：
如图2，延长到点，使，连接，
，，
，
又，
，
，，
，，
，
，
，
又，
，
；
（3）．
证明：如图3，延长到点，使，连接，
，，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
即，
．
3．【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为90°），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明；
【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明；
【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°），，，，以为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．

【答案】【尝试探究】，证明见解析；【模型建立】成立，证明见解析；【拓展应用】16
【详解】解：【尝试探究】．
证明：如图，把绕点顺时针旋转90°至，可使与重合，

∵，
∴，点、、共线，
∴，
即．
在和中，，
∴，
∴，
∴；
【模型建立】成立，如图，

证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，
由旋转得：，，，，
同理得：点，，在同一条直线上，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴（2）中的结论还成立，；
【拓展应用】∵是边长为8的等边三角形，
∴，
∵，
∴，
将绕点旋转，得到，

∵，，
∴和重合，，，，
∴，
∴三点共线，
同法（2），可得：，
∴，
∴的周长．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是通过旋转构造全等三角形．本题主要考查半角模型，平时多归纳，多积累，可以帮助我们快速解题．
类型6 角含半角模型
半角模型构造全等三角形
过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。
思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。
解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.
半角模型
方法：①利用旋转构造全等三角形； ②利用翻折构造全等三角形。
典例剖析6
例6-1．（1）【阅读理解】如图，已知中，，点、是边上两动点，且满足，
求证：．
我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
小明的解题思路：将半角两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的，然后证明与半角形成的全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系．
请你根据小明的思路写出完整的解答过程．
证明：将绕点旋转至，使与重合，连接，
……
（2）【应用提升】如图，正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线点运动；点点同时出发，以相同的速度沿射线方向向右运动，当点到达点时，点也停止运动，连接，过点作的垂线交过点平行于的直线于点，与相交于点，连接，设点运动时间为，
①求的度数；
②试探索在运动过程中的周长是否随时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．
【答案】（1）见解析；（2）①；②不变，2
【分析】（1）如图1，将绕点旋转至，使与重合，连接，根据旋转的性质结合已知可证，再根据三角形三边关系定理即可证得结论；
（2）①如图2，根据已知结合正方形性质证得，推出，即可证出结论；
②如图3，延长到，使，连接，证出，得到，，证出，由全等三角形的性质得出，由此可得出的周长是定值8．
【详解】（1）如图1，将绕点旋转至，使与重合，连接，
∵绕点旋转至，
∴
∴，，，
∵，，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
（2）①如图2，
由题意：
∵四边形是正方形，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
在和中
∵
∴
∴
∴
②的周长不随时间的变化而变化，
如图3，延长到，使，连接，
在和中
∵
∴
∴，
∵，
∴，
∴
在和 中
∵
∴
∴
∴
∵正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4
∴的周长
∴的周长是定值8．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键．
例6-2．阅读理解
半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．

【问题背景】
如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________．
【探索延伸】
如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．

【答案】【问题背景】，理由见详解；【初步探索】；【探索延伸】仍然成立，理由见详解；【结论运用】
【问题背景】将绕点逆时针旋转得，与重合，可证点共线，可证，，由此即可求证；【初步探索】根据作图可证，再证即可；【探索延伸】证明方法与“初步探索”的证明方法相同；【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，证明，，由此即可求解．
【详解】解：【问题背景】，理由如下，
如图所示，

∵，，
∴将绕点逆时针旋转得，与重合，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴点共线，
∵，，
∴，
∴，即，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
【初步探索】根据题意，，延长至点，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
【探索延伸】仍然成立，理由如下，
如图所示，延长至点，使得，

∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
在中，
，
∴，
∴，且，
∴；
【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，

根据题意可得，，，，，
∴在中，，，则，
∴，
∵，
∴，
∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时，
∴（海里），（海里），
如图所示，延长至点，使得，则，

在中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴在中，
，
∴，
∴，
∴（海里），
∴此时两舰艇之间的距离为海里，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查四边形的综合，全等三角形的判定和性质的综合，方位角的运用，理解图示，掌握全等三角形的判定和性质是解题的的关键．
例6-3．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得．大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故．
任务：
如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】成立，见解析
【分析】根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：成立．
证明：将绕点顺时针旋转得到，
，，，，，
，
、、三点共线，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
变式训练6
1．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系．
(1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________；
(2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
(3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)成立，理由见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可；
（2）延长至M，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论；
（3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论．
【详解】（1）解：．
延长到点G．使．连接，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵．
∴．
故答案为：；
（2）解：（1）中的结论仍然成立．
证明：如图②中，延长至M，使，连接．
∵，
∴，
在与中，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，即．
在与中，
，
∴．
∴，即，
∴；
（3）解：结论：．
证明：如图③中，在上截取，使，连接．
∵，
∴．
在与中，
，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”．例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”．在钝角三角形中，，，，过点的直线交边于点．点在直线上，且．
（1）如图1，若，，点在延长线上，图中是否存在“半角三角形”（除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若，保持的度数与（1）中的结论相同，请直接写出，，满足的数量关系．
【答案】（1）存在，“半角三角形”为，证明见解析；（2）或
【分析】（1）延长到，使得，根据边角关系证出，得出，即可证明为“半角三角形”．
（2）由（1）可知，，延长到点，使得，连接BF，构造全等三角形△≌△，进而可得出.因为，所以以为圆心，长为半径作圆与直线一定有两个交点，当第一种情况成立时，必定存在一个与它互补的，所以可得出另外一种情况.
【详解】（1）存在，“半角三角形”为，
证明：延长到，使得，连接．
，
，即
，
在和中，
，．
，
．
为“半角三角形”
（2）或.
①延长到点，使得，连接BF,
∵，，
∴△≌△.
过点分别作于点，
于点,
可得.
∴.
②因为，所以以为圆心，长为半径作圆与直线一定有两个交点，当第一种情况成立时，必定存在一个与它互补的．
可知：.
综上所述，这三个角之间的关系有两种，
或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．正确理解题意，使用分类讨论思想是解决本题的关键．
3．【基本模型】

如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________．
【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________．
【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系．
【答案】【基本模型】；【模型运用】：，证明见解析；【拓展延伸】：．
【分析】（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解；
（2）结论：，证明方法同法（1）；
（3）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，根据旋转变换的性质可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，对应边相等可得，，对应角相等可得，再根据证明，并证明、、三点共线，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解．
【详解】解：（1）结论：．
理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，

则：，，，
∴，即：三点共线，
，
∴，
∴，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
故答案为：；
（2）结论：．
理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，

则：，
同法（1）可得：，
，
又，
．
故答案为：；
（3）结论：．
理由：如图3，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，

则，
，，，，
又，
，
，
又，
，
、、三点共线，
在和中，，
，
，
又，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质。本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形。
类型7 对角互补模型
对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。
常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60° 对角互补模型、 2α-（180°-2α）对角互补模型。
方法：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。
典例剖析7
例7-1．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；
（1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证
（2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证；
（3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证．
【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
；
方法2：延长到，使，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
；
（2），，之间的数量关系为．
方法1：理由如下：
如图，在上截取，连接，
由（1）知，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
．
方法：理由：延长到，使，连接，
由（1）知，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）线段、、之间的数量关系为．
连接，过点作于点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
．
例7-2．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图1，正方形中是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形_____（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；
(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点作于点．
①过作于点，试证明：；
②若，，求的长．
【答案】(1)是
(2)①见解析；②14
【分析】（1）由旋转的性质可得，，根据正方形的性质得，可得出，即可得出答案；
（2）①首先证明四边形是矩形，则，，再证，根据全等三角形的判定和性质可得，，等量代换即可得；
②设，根据勾股定理求出的值即可，即可求解．
【详解】（1）将绕点旋转，与重合，点的对应点在的延长线上，
，，
四边形是正方形，
，
，
，即，
，
，，
四边形是“直等补”四边形．
故答案为：是；
（2）①，理由如下：
如图
四边形是“直等补”四边形，，，
，，
，
，，
，，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
；
②四边形是矩形，
，，
，
，，
，
设，
，则，
在中，，
解得：，
，
∴．
【点睛】本题是考查，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质．
变式训练7
1．定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题．
(1)如图1，四边形是正方形，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接，，请根据定义判断四边形是否是“直等补”四边形，并说明理由．
(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，若，，求的长．
【答案】(1)四边形是“直等补”四边形，理由见解析．
(2)28．
【分析】（1）本题考查了对于“直等补”四边形定义的理解，要判断四边形是否是“直等补”四边形，关键在于根据定义，找到满足定义的三个条件即可．根据已知可证，由此可得到，，，即证明四边形是“直等补”四边形．
（2）本题同样考查了“直等补”四边形定义的理解，作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．根据“直等补”四边形定义，可得到，然后利用勾股定理即可求得的长．
【详解】（1）解： 四边形是正方形，
，，
，
在与中，
（），
，，
，
，
，
四边形满足三个条件：①一组对角和互补，②一组邻边，③相等邻边夹角．
故四边形是“直等补”四边形；
（2）连接，如下图所示
四边形是“直等补”四边形，，
，
，
，
，
，
，
．
故的长为28．
2．定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形定义为“郡外四边形”．

(1)如下：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四边形”的是：______．
(2)如图点P是正方形对角线上一点，点O是线段中点，点E是射线上一点，且，连接．
①如图1，当点P在线段上时，求证：四边形为“郡外四边形”；
②如图2，当点P在线段上时，试用等式来表示的数量关系，并证明．
【答案】(1)正方形
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据“郡外四边形”定义求解即可；
（2）①通过证明可得，由得出，证出即可；②从两方面分析：当点E与点C重合时，点P恰好在中点处，此时，；当点E在的延长线上时，连接，由，得，由正方形性质可得，利用勾股定理即可证明．
【详解】（1）解：平行四边形：相等邻边的夹角不是直角，故平行四边形不是“郡外四边形”；
矩形：没有一组邻边相等，故矩形不是“郡外四边形”；
菱形：相等邻边的夹角不是直角，故菱形不是“郡外四边形”；
正方形：有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，故正方形是“郡外四边形”；
（2）证明：①∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由四边形内角和为，
∴，
∵，
∴，
∴且，
∴四边形为“郡外四边形”；
证明：② ；
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（i）当点E与点C重合时，点P恰好在中点处，此时，，
则由勾股定理有：；
（ii）当点E在的延长线上时，如图，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
连接，如图，

∵且，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴；
综上，有．
【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角，灵活运用这些性质是解题的关键．
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