=a3+3a2b+3ab2+b3,
因此得到和的立方公式
(a+b)3=a3+3ab+3ab+b3.
将公式中的b全部改为-b,又得到差的立方公式
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.
上述两个公式称为完全立方公式，它们可以合写为
(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3.
【例1】化简：(x+1)3-x(x+3x+3).
【解】(x+1)3-x(x2+3x+3)=x3+3x2+3x+1-x3-3x2-3x=1.
由完全立方公式可得(a+b)3-3a6-3ab2=a3+b3,即
(a+b)[(a+b)2-3ab]=a3+b3,
由此可得立方和公式
(a+b)(a2-ab+b)=a3+b3.
将立方和公式中的b全部改为-b,得到立方差公式
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3.
【例2】对任意实数a,试比较(1+a)(1-a)(1+a+a)(1-a+a2)与1的大小.
【分析】观察(1+a)(1-a)(1+a+a)(1-a+a)的结构特点，可运用立方和
(差)公式将其化简.
【解】(1+a)(1-a)(1+a+a2)(1-a+a2)
=[(1+a)(1-a+a)][(1-a)(1+a+a)]
=(1+a)(1-a)=1-a
因为1-a5-1=-a5,对任意实数a,-a≤0，所以
(1+a)(1-a)(1+a+a3)(1-a+a2)≤1.
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通过将完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2中的指数2推广到3，我们得到了
课堂笔记
完全立方公式.有兴趣的同学可以将指数推广到4,5，…，另外，我们也可以从项
数的角度推广
(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab +b2+2ac 2bc +c2
=a2+b2+c2+2ab 2bc 2ca.
灵活应用等式(a+b+c)=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,可以为代数式运算带
来方便。
【例3】已知a+b+c=0,ab+bc+ca=-
,求下列各式的值：
(1)a2+b2+c2
(2)a4+b+c4
【分析】将(1)与已知联系，联想已知中的等式，发现可将a2+b2+c2用a+b+c
和ab+bc+ca表示.由于a+b+c4=(a)2+(b2)2+(c2)2,由(1)得到启
发，如果知道a2b2+b2c2+c2a的值，就能得解.
【解】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.
由上式和已知得0=a2+b2+c2-1,即a2+b2+c2=1.
(②由c山+c+a=号得a+6+c+2ada+6+d)=子
因为a+b+c=0,所以+b+c女=子
再由(1)的结论，得a+b4+c4+2a62+2b2c2+2c2a2=1.
因此a+6+c=号
【例4】已知x2+x-1=0,求证：(x+1)3-(x-1)3=8-6x.
【证法1】
(x+1)3-(x-1)3
=x3+3x2+3x+1-(x3-3x2+3x-1)
=x3+3x2+3x+1-x3+3x2-3x+1
=6x2+2.
由已知得x2=1-x,故6x2+2=6(1-x)+2=8-6x.因此，
(x+1)3-(x-1)3=8-6x.
【证法2】
(x+1)3-(x-1)3
=(x+1-x+1)[(x+1)2+(x+1)(x-1)+(x-1)2]
=2(x+2x+1+x2-1+x2-2x+1)
=6x2+2.
以下同证法1
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