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(共28张PPT)
第二章 有理数及其运算
2.1.3 认识有理数
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
1.正确理解数轴的意义，了解数轴的概念及其三个要素，会画数轴；
2.会由数轴上的已知点说出它所表示的数，能将有理数用数轴上的点表示出来;会用数轴比较有理数的大小；
3.通过举出生活中常见的温度计的例子，经历观察、画数轴的过程，掌握数轴的三要素和数轴的画法，初步体会数形结合的思想方法；
4.结合本课教学特点，向学生进行热爱生活教育和美育渗透，激发学生学习兴趣。；
02
新知导入
在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3m和7.5m处有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．
3
7.5
3
4.8
0
东
03
新知讲解
℃
℃
℃
5
0
-10
(1)图中的温度计上显示的温度各是多少？
03
新知讲解
(2)温度计上的刻度有什么特点
①刻度是均匀的，相邻刻度间的距离相等；
③0℃以上的刻度表示零上温度，0℃以下的刻度
表示零下温度，即刻度表示温度有方向性.
②刻度都标在一条直线上，刻度数对应有理数；
(3)你能用直线上的点表示有理数吗
03
新知讲解
在一条水平直线上取一点(称为原点)表示0，选取某一长度作为单位长度，规定这条直线上向右的方向为正方向，那么相反方向就是负方向.
原点右边的点可以表示正数，原点左边的点可以表示负数.
这样，所有有理数就都可以用直线上的点表示了.
-4
03
新知讲解
像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
通常将数轴画成水平直线，并选择向右的方向为正方向.
正方向
像一支平放的温度计
在这条数轴上，+3可以用位于原点右边3个单位长度的点表示，-4可以用位于原点左边4个单位长度的点表示。
03
新知讲解
用数轴上的哪个点表示？-1.5呢？其他数呢？
尝试思考
.
-1.5
.
归纳：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
03
新知讲解
用数轴上的点表示有理数的一般步骤：
(1)画数轴;
(2)标对应点:在数轴上找到对应点，并标上实心小圆点;
(3)标数:在实心小圆点上标出数字.
03
新知讲解
.
.
.
.
例2 （1）下图数轴上A，B，C，D各点分别表示什么数
解：点A表示-2，点B表示2，点C表示0，点D表示-1.
03
新知讲解
（2）画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
，-3.5，0，5，-4，-
.
.
-
.
-3.5
.
0
.
5
.
-4
解：如图所示.
03
新知讲解
观察·思考
观察图中表示3与-3的两个点，它们在数轴上的位置有什么关系 表示与-的两个点呢 表示5与-5的两个点呢
在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等.
03
新知讲解
一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离.
绝对值的几何意义
03
新知讲解
思考·交流
将例4（2）中的各数按照从小到大的顺序排列，并用“<”连接起来；观察它们在数轴上对应点的位置（如图2-6)，你有什么发现？与同伴进行交流。
-4 < -3.5 < - < 0 < < 5
03
新知讲解
思考·交流
数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
负数小于0，
正数大于负数。
正数大于0，
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列图形表示的数轴正确的是( )
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，有理数a，b在数轴上的位置，则下列各式成立的是( )
A. a＞b B. b<0 C. a<0 D. b=1
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
(2)在数轴上表示出﹣5，0，＋3，﹣2的点.
-5
0
+3
-2
3.已知：如图,在数轴上有A，B，C，D四个点：
(1)请写出点A，B，C，D分别表示什么数？
点A表示6；点B表示-4；
点C表示4，点D表示-1.
04
课堂练习
4. 如图，在数轴上有点 A ， B ， C ， D ，且点 B ， C 均为所在单
位长度线段的中点，请回答下列问题：
（1）点 A 表示的数是 ，点 B 表示的数是 ，点 C 表示的数是 ，点 D 表示的数是 ；
（2）点 B 与点 C 之间的距离为 ，点 B 与点 D 之间的距离为 .
－5　
－1.5　
2.5　
6　
4　
7.5　
【知识技能类作业】选做题：
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.在数轴上，老师不小心把一滴墨水滴在画好的数轴上，如图所示，试根据图中标出的数值判断被墨水盖住的整数，并把它写出来.
-12，-11，-10，-9，-8
11，12，13，14，15，16，17
05
课堂小结
数轴
数轴三要素
表示有理数
比较有理数的大小
原点
正方向
单位长度
正数大于0，负数小于0，正数大于负数
数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大
数轴上原点右边的数表示正数，原点左边的数表示负数
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.在数轴上原点以及原点左边的点表示的数是( )
A. 正数 B. 负数 C. 零和正数 D. 零和负数
D
2. 下列说法正确的是( )
A. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示
B. 数轴上的每一个点都表示一个整数
C. 规定了正方向和单位长度的一条直线叫做数轴
D. 在同一数轴上，单位长度可以不统一
A
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.有理数a,b,c 在数轴上的位置如图所示,则(　　)
A.a,b,c 均是正数 B.a,b,c 均是负数
C.a,b是正数,c 是负数 D.a,b是负数,c 是正数
D
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.（1）已知数轴上点 A 表示的数是－2，将点 A 在数轴上移动3个
单位长度得到点 B ，则点 B 表示的数是 ；
（2）在纸上画一条数轴，将这张纸对折后，若该数轴上表示4
的点与表示－1的点恰好重合，则此时与表示－3的点重合的点
所表示的数是多少？
1或－5　
06
作业布置
【综合拓展类作业】
（2）解：因为4与－1相距5个单位长度，
所以表示4与－1的数的点的线段的中点表示的数为
4－5÷2＝1.5.
所以表示－3的点与所求点的线段的中点表示的数为1.5.
因为－3与1.5相距4.5个单位长度，
所以所求点表示的数是1.5＋4.5＝6.
故此时与表示－3的点重合的点所表示的数是6.
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学 科 数学 年 级 七 设计者
教材版本 北师大版 册、章 上册第二章
课标要求 1.理解负数的意义；理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法。3.理解乘方的意义。4.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。5.能运用有理数的运算解决简单问题。
内容分析 本章教材是在学生已学过整数和分数的基础上构建的，主要内容是有理数的有关概念及其运算。首先，从实例出发引入负数,接着引进关于有理数的一些概念，在此基础上,介绍有理数的加减乘除运算。有理数的运算是初等数学中的最基本运算，是学好后续内容的基础，这个基础打不好，势必影响到后续内容的学习，实践证明，在有关代数式的进一步求值、 计算、证明以及解方程时变形中出现的问题，大部分是因为有理数运算不熟或出了差错引起的。还有，有理数的运算律,也是代数式运算的依据。因此，使学生正确、迅速地进行有理数的四则运算及其混合运算是本章的重点内容。
学情分析 初一年级学生思维活跃、勇于探索未知的事物，敢于发表自己的观点。具备一定的自主学习意识和质疑问题的能力。师生之间、生生之间已初步形成平等对话、合作交流的氛围。因此，课堂内外可放手让学生去探索与创造。但因为这个年龄的学生心智发育还有待完善，学习方法的掌握应有循序渐进的过程，所以，其学习行为需要教师给予适时矫正与帮助。
单元目标 教学目标1.使学生了解了负数产生的背景，理解正、负数及零的意义，掌握正、负数的表示方法，会用正、负数表示具有相反意义的量。2.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数。借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值(绝对值符号内不含字母)，会比较有 理数的大小。3.理解乘方的意义，会进行乘方的运算及简单的混合运算。4.通过实例进一步感受大数， 并能用科学记数法表示。了解近似数与有效数字的概念（二）教学重点、难点教学重点：理解有理数的意义,掌握有理数的运算法则和运算律,会用科学记数法表示较大的数.教学难点：利用有理数的加、减、乘、除、乘方等运算解决简单的实际问题.
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1 认识有理数32.2 有理数的加减运算42.3有理数的乘除运算32.4有理数的乘方22.5有理数的混合运算2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1认识有理数1.借助生活中的实例，从扩充运算的角度引进负数，然后使用正负数表示现实生活中具有相反意义的量。2.经历探索、发现过程，理解正、负数及有理数的意义3.借助数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值，会利用绝对值比较两个负数的大小.4.通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用.1.会用正负数表示实际生活的量2.掌握正负数的定义3.会用正负数表示现实生活中具有相反意义的量，理解正负数的意义4.理解绝对值的概念，会求一个数的绝对值5.会利用绝对值比较两负数的大小6.能将已知的有理数在数轴上表示出来，能说出数轴上的已知点所表示的有理数，理解所有的有理数都可以用数轴上的点表示活动1：观出示生活情景，用正负数表示，总结正负数的定义活动2：探究相反数的定义,总结一个数的相反数的求法活动:3：探究绝对值的定义，求数的绝对值活动4：探究任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。活动5：探究数轴上的两个点的大小关系。2.2有理数的加减运算1.通过学生亲身经历探究有理数加法法则的过程，理解有理数加法的意义，掌握有理数加法的法则，并能进行有理数加法的运算。2.经历探索有理数的减法法则的过程，理解有理数的减法法则，并能熟练运用法则进行有理数的减法运算。3.会把有理数加减混合运算统一成加法运算。4.在进行有理数加减法混合运算时，能灵活运用运算律进行运算。5.利用有理数的加减混合运算解决一些简单实际问题，初步了解类比学习的思想方法。1. 掌握有理数加减法的运算法则2. 能运用法则进行计算3.知道有理数加减法可以相互转化，会把有理数加减混合运算统一成加法运算4.能灵活运用运算率计算活动1：探究互为相反数的两个数相加的和是多少活动2：探究并总结有理数的加减法运算法则活动3：出示例题应用有理数的加减法运算法则活动4：总结有理数的加减混合运算法则活动5：用有理数的加减混合运算法则计算例题活动6：总结加减混合运算时可运用加法交换律和结合律简化运算2.3有理数的乘除1.实际情境，理解有理数乘法的意义，掌握有理数的乘法法则，并运用法则解决实际问题。2.会确定多个因数相乘时积的符号，并会用法则进行多个因数的乘积运算。3.了解有理数除法的意义，掌握有理数除法法则，会进行有理数的除法运算．4.学生理解有理数倒数的意义，能熟练地进行有理数加减乘除混合运算．1.理解乘法的意义，掌握有理数乘法法则2.掌握有理数乘法法则，能利用乘法的三个运算定律进行简化计算3.会确定多个因数相乘时积的符号，并会用法则进行多个因数的乘积运算。4.理解有理数倒数的意义，熟练进行计算活动1：通过实际问题总计有理数乘除法法则活动2：探究有理数的倒数活动3：探究并总结有理数的乘法运算律活动4：例题巩固活动5：探究有理数的除法法则2 活动6：例题应用2.4有理数的乘方1.理解有理数乘方的意义，正确理解乘方、幂、指数、底数等概念，会进行有理数乘方的运算。2.了解科学记数法的意义。3.学会用科学记数法表示大数。4.对用科学记数法表示的数进行简单的运算。1.理解乘方的意义，2.正确理解乘方、幂、指数、底数等概念，会进行有理数乘方的运算3.理解科学记数法的意义4.会用科学记数法表示大数5.会对用科学记数法表示的数进行简单的运算。活动1：思考、讨论乘方的意义活动2：总结乘方的概念活动3：计算例题活动4：探索乘方的符号法则活动5：探究科学计数法的定义活动6：探究科学计数法中a，n的确定方法活动7：探索怎样将用科学记数法表示的数据还原成原来的数2.5有理数的混合运算1.掌握有理数混合运算的法则，并能熟练地进行有理数的混合运算.2.通过玩“24点”游戏开拓思维，更好地掌握有理数的混合运算.3.通过自学提问、探索讨论的方法，使初步了解计算器面板上的按键名称和功能。4.了解计算器的形状、款式、功能不同的基础上，学会计算器的基本操作方法、并能进行简单的四则计算。5.培养运用计算器解决生活中的实际问题的能力，培养运用意识和解决问题的能力。1.掌握有理数混合运算的法则并熟练进行计算2.会用计算器进行计算并解决实际问题活动1：探究有理数怎样进行乘除混合运算活动2：探究怎样进行有理数加减乘除混合运算活动3：探究有理数的混合运算活动4：认识计算器活动5：用计算器进行计算活动6：探究什么是近似数
《有理数及其运算》单元教学设计
活动1：出示生活情景，用正负数表示，总结正负数的定义
2.1.1认识有理数
活动2：列举生活中其他用负数表示的例子，总结可以利用正负数表述具有相反意义的量
活动3：通过例题巩固正负数的表示
活动4：有理数的分类
2.2.3有理数的加减运算
活动3：出示例题，实际应用有理数的减法法则
活动2：计算实例，总结有理数减法的运算法则
活动1：观察全国主要城市天气预报，了解温差的计算方法
活动4：总结运算规律
活动3：出示例题
活动2：探究有理数的加法运算律
活动1：出示生活情景，引入课题
2.2.2有理数的加减运算
2.2.1有理数的加减运算
活动3：出示例题应用有理数的加法运算法则
活动2：探究并总结有理数的加法运算法则
活动1：探究互为相反数的两个数相加的和是多少
2.1.2认识有理数
活动4：探究数轴上的两个点的大小关系
活动3：探究任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
活动2：借助实例，总结数轴的定义、特征及画法
活动1：借助实例，总结数轴的定义及特征
活动3：探究比较负数的大小
2.1.2认识有理数
有理数及其运算
活动1：探究相反数的定义,总结一个数的相反数的求法
活动2：探究绝对值的定义，求数的绝对值
活动1：根据课本上的小游戏理解有理数的混合运算
2.2.4有理数的加减运算
活动2：总结有理数的加减混合运算法则
活动3：用有理数的加减混合运算法则计算例题
活动4：总结加减混合运算时可运用加法交换律和结合律简化运算
活动3：用有理数的加减混合运算法则计算例题
活动2：探究有理数的倒数
活动1：通过实际问题总结有理数乘法法则
2.3.1有理数的乘除运算
有理数及其运算
活动2：探究并总结有理数的乘法运算律
活动1：通过例题总结几个数相乘的符号确定
活动3：例题巩固
2.3.2有理数的乘除运算
活动1：探究有理数的除法法则
2.3.3有理数的乘除运算
活动3：探究有理数的除法法则2
活动2：根据总结的有理数除法法则做例题
活动4：例题应用
活动3：计算例题
活动2：总结乘方的概念
活动1：思考、讨论乘方的意义
2.4.1有理数的乘方
活动4：探索乘方的符号法则
活动1：探究科学计数法的定义
活动2：探究科学计数法中a，n的确定方法
2.4.2有理数的乘方
活动3：探索怎样将用科学记数法表示的数据还原成原来的数
2.5.1有理数的混合运算
有理数及其运算
活动2：探究怎样进行有理数加减乘除混合运算
活动1：探究有理数怎样进行乘除混合运算
活动3：探究有理数的混合运算
活动1：认识计算器
2.5.2有理数的混合运算
活动2：用计算器进行计算
活动3：探究什么是近似数
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分课时教学设计
第一课时《2.1.3认识有理数》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课主要是在学生学习了有理数概念的基础上，从实际事例出发，通过数学建模，初步向学生渗透数形结合的数学思想，以使学生借助直观的图形来理解有理数的有关问题。
学习者分析 在小学里已经学习过在“射线”上用点来表示数和读出或写出“射线”上的点所表示的数，对数与点的这种对应关系有了初步的认识和理解。又学习了有理数的概念，为数轴概念的建立和进一步学习数轴上的点与有理数的对应关系积累了必要的学习经验，具备了“表示”的基本技能和基本方法。
教学目标 1.正确理解数轴的意义，了解数轴的概念及其三个要素，会画数轴； 2.会由数轴上的已知点说出它所表示的数，能将有理数用数轴上的点表示出来;会用数轴比较有理数的大小； 3.通过举出生活中常见的温度计的例子，经历观察、画数轴的过程，掌握数轴的三要素和数轴的画法，初步体会数形结合的思想方法； 4.结合本课教学特点，向学生进行热爱生活教育和美育渗透，激发学生学习兴趣。
教学重点 正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数
教学难点 会用数轴上的点表示有理数，能说出数轴上已知点所表示的数
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3m和7.5m处有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境． 学生活动1： 学生思考，回答活动意图说明：以创设情境的方式吸引学生的目光，让学生先在脑海中有一个模糊认识与大胆的猜想，为后续的探索、证明、讨论、验证打好基础。其次，这种方式方法也能使学生更好地理解所学的知识。最后，让学生明白数学在生活中处处存在，即数学来源于生活回归于生活环节二：新知探究教师活动2： (1)图中的温度计上显示的温度各是多少？ (2)温度计上的刻度有什么特点 ①刻度是均匀的，相邻刻度间的距离相等； ②刻度都标在一条直线上，刻度数对应有理数； ③0℃以上的刻度表示零上温度，0℃以下的刻度表示零下温度，即刻度表示温度有方向性. (3)你能用直线上的点表示有理数吗 在一条水平直线上取一点(称为原点)表示0，选取某一长度作为单位长度，规定这条直线上向右的方向为正方向，那么相反方向就是负方向. 原点右边的点可以表示正数，原点左边的点可以表示负数. 这样，所有有理数就都可以用直线上的点表示了. 像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴. 通常将数轴画成水平直线，并选择向右的方向为正方向. 在这条数轴上，+3可以用位于原点右边3个单位长度的点表示，-4可以用位于原点左边4个单位长度的点表示。 尝试·思考 用数轴上的哪个点表示？-1.5呢？其他数呢？ 归纳：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示. 用数轴上的点表示有理数的一般步骤： (1)画数轴; (2)标对应点:在数轴上找到对应点，并标上实心小圆点; (3)标数:在实心小圆点上标出数字.学生活动2： 学生积极参与到教学活动当中，认真思考问题，大胆地进行想象，小组成员之间积极发言共同探讨，活动结束后，小组代表踊跃地发言回答问题。 学生思考，总结 活动意图说明：借助实例做类比，让学生分组展开积极讨论，引导学生合作学习，指出画数轴需要具备的条件，从而揭示了本节的目标是让学生正确地画出数轴．环节三：典例精析教师活动 例2 （1）下图数轴上A，B，C，D各点分别表示什么数 解：点A表示-2，点B表示2，点C表示0，点D表示-1. （2）画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ，-3.5，0，5，-4，- 解：如图所示. 学生活动 学生根据教师所展示的例题认真完成，完成后举手示意教师，并积极地发言分享自己的答题思路。在教师给予评价、分析后，学生做好更正、总结以及反思。活动意图说明：通过例题巩固本节课的重、难点内容以及基本基础知识，加深对相反数的认识。环节四：探究新知教师活动 观察·思考 观察图中表示3与-3的两个点，它们在数轴上的位置有什么关系 表示与-的两个点呢 表示5与-5的两个点呢 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等. 绝对值的几何意义 一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离. 思考交流 将例4（2）中的各数按照从小到大的顺序排列，并用“<”连接起来；观察它们在数轴上对应点的位置（如图2-6)，你有什么发现？与同伴进行交流。 -4 < -3.5 < - < 0 < < 5 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。 正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 学生活动 学生积极参与到教学活动当中，认真思考问题，并踊跃地进行回答。 活动意图说明：引导学生进行观察、独立思考和总结，培养观察能力、善于动脑的能力。
板书设计 数轴 1．画一条水平直线，在直线上取一点表示0(叫做原点)选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到了数轴． 2．数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大． 正数大于0，负数小于0，正数大于负数.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列图形表示的数轴正确的是( ) 2.如图，有理数a，b在数轴上的位置，则下列各式成立的是( ) A. a＞b B. b<0 C. a<0 D. b=1 选做题： 3.已知：如图,在数轴上有A，B，C，D四个点： (1)请写出点A，B，C，D分别表示什么数？ (2)在数轴上表示出﹣5，0，＋3，﹣2的点. 4. 如图，在数轴上有点 A ， B ， C ， D ，且点 B ， C 均为所在单
位长度线段的中点，请回答下列问题： （1）点 A 表示的数是 ，点 B 表示的数是 ，点 C 表示的数是 ，点 D 表示的数是 ； （2）点 B 与点 C 之间的距离为 ，点 B 与点 D 之间的距离为 . 【综合拓展类作业】 5.在数轴上，老师不小心把一滴墨水滴在画好的数轴上，如图所示，试根据图中标出的数值判断被墨水盖住的整数，并把它写出来.
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.在数轴上原点以及原点左边的点表示的数是( ) A. 正数 B. 负数 C. 零和正数 D. 零和负数 2. 下列说法正确的是( ) A. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B. 数轴上的每一个点都表示一个整数 C. 规定了正方向和单位长度的一条直线叫做数轴 D. 在同一数轴上，单位长度可以不统一 选做题 3.有理数a,b,c 在数轴上的位置如图所示,则(　　) A.a,b,c 均是正数 B.a,b,c 均是负数 C.a,b是正数,c 是负数 D.a,b是负数,c 是正数 【综合拓展类作业】 4.（1）已知数轴上点 A 表示的数是－2，将点 A 在数轴上移动3个
单位长度得到点 B ，则点 B 表示的数是 ； （2）在纸上画一条数轴，将这张纸对折后，若该数轴上表示4的点与表示－1的点恰好重合，则此时与表示－3的点重合的点所表示的数是多少？
教学反思 数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是密切联系的.我们常常用代数的方法来处理几何图形问题，反过来，也借助于几何图形来理解代数概念，寻找解题思路.这种数与形之间的相互应用，是一种重要的数学思想——数形结合思想.运用数形结合思想的关键是建立数与形之间的联系，我们学习的数轴就是一个很好的数形结合的工具.
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