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7.1植树问题
教学目标 1.掌握植树问题中的基本概念和分类情况，包括两端都栽、只栽一端、两端都不栽，归纳并理解三种植树问题中棵数与间隔数之间的关系。 2.通过学生自主探究、合作交流、发现规律，构建植树问题的数学模型，提高学生推理意识和模型意识，会应用植树问题的模型解决一些相关的实际问题，培养学生的应用意识和创新意识。 3.感受数学与生活的联系，提高学生学习数学兴趣，增强学好数学的信心，养成良好数学习惯。
教学 重难点 1.理解和掌握植树问题在不同情况下棵数和间隔数之间的关系，并且能利用它们之间的关系解决相关的实际问题。 2.能对具体的植树问题情况进行判断，灵活解决问题。
教学准备 课件、学习任务单、练习本
目标落实 教师活动 学生活动 二次备课
游戏引入，激发学生的学习兴趣。 一、游戏导入 游戏：指手画脚说成语 活动要求：两人根据给出的成语做动作，不能说话，其余同学猜。 的确是“一刀两断”，如果老师写成“段”，你觉得有道理吗？ 别着急，老师相信学完今天的知识你会有所收获。 一、发现问题 两名同学根据老师给出的“一刀两断”进行动作比画，其余同学猜。
借助教室内场景，指导学生掌握植树问题中“间隔数”的基本概念。初步感受每两人之间有一个间隔，为后面学习植树问题的规律做铺垫。 二、引导合作 活动一：揭示课题 刚才上台的两位同学是前后桌，他俩之间有一个空，第二名同学和第三名同学之间又有一个空……这个空数学上叫“间隔”。 1.想一想，三名同学之间有几个间隔？四名同学呢？这列一共七名同学，你还能知道什么？ 2.咱班有多少人？如果也这样坐一列，会产生多少间隔？ 二、探究问题 活动一：揭示课题 1.学生根据刚才给出的“间隔”定义进行分析和判断。 预设1：三名同学之间有2个间隔。 预设2：四名同学之间有3个间隔。 预设3：七名同学之间有6个间隔。 2.学生思考后回答问题。 预设1：咱班有45人，会产生44个间隔。 预设2：我发现间隔的数比人数少1。
厘清题意，尝试发现和提出有意义的数学问题，提升学生的创新意识。 学生在动手操作中，发挥主体性，对后面植树数学模型的得出进行实践性的体验。 学生汇报交流，再次经历观察、发现和感受的全过程，学习解决问题的方法。 3.根据大家的发现，如果咱们全校的同学坐成一列，一共产生了2000个间隔，那你知道咱学校一共多少名同学吗？ 今天一起学习和间隔数有关的数学问题“植树问题”。 活动二：植树问题分类 1.先读题。 北园小学要在通往图书馆的小路一侧栽树，小路全长60米，每隔5米栽一棵，这项活动由四年级三个班合作完成。 一班先栽20米； 二班接着一班再栽20米； 三班栽剩下的20米，一直到图书馆。 读题后，说说你的理解。 2.理解了题目的意思，你想提一个什么问题？ 3.想不想帮帮这三个班的同学？请根据活动要求完成学习单。 活动要求： 在学习单上量一量，画一画，看三个班各栽多少棵树，并将表格填完整。 学习单： ________________________ 派三名同学分别代表一、二、三班完成板书上的学习单。 4.都完成了，采访一下上台的三位同学。 根据预设1、2、3小结：一班、二班连接的地方一班栽了，二班就不用栽；同样的，二班、三班连接的地方也是这样。 3.学生思考后回答问题。 预设：根据刚才的发现，间隔数比人数少1，间隔数是2000的话，人数就应该是2001。 活动二：植树问题分类 1.学生读题理解题目意思，并说一说自己的理解。 预设1：三个班栽树，每个班栽20米，隔5米栽一棵。 预设2：我来解释“每隔5米栽一棵”的意思，就是两棵树之间的间隔是5米。 2.学生尝试提出问题。 预设1：每个班各栽多少棵树？ 预设2：三个班一共栽多少棵树？ 3.学生根据活动要求完成学习单。 4.三位同学上台进行汇报，其余同学可以提问、补充或纠正。 预设1：我代表一班，开头栽了一棵，然后每5米栽一棵的话，我一共栽了5棵。 预设2：我代表二班，我本来想在二班开头的地方栽一棵，结果一班栽了，所以我就往后每5米栽一棵，一共栽了4棵。 预设3：三班的开头也是被二班栽了，往后栽的话一共也是4棵。
掌握植树问题的分类情况，包括两端都栽、只栽一端、两端都不栽。 课件演示，数形结合，向学生示范线段图的画法，渗透一一对应的思想。 化繁为简，以小见大。学生在交流中，探究出总长、间距、间隔数的关系，便于后面学生更好地理解植树问题的数学模型。 根据预设4，教师纠正板书，将最后一棵树换成图书馆的图片。 教师小结：正像这位同学所说的，今天学习的植树问题就分为了这三种情况，分别是①一班从头栽到尾，那就是两端都栽。②二班只栽了尾没栽头，就是只栽一端。③最后一个班既不栽头也不栽尾，就是两端都不栽。 活动三：“两端都栽”的植树问题 1.三种情况咱们先来仔细研究其中的一种“两端都栽”的情况。 课件呈现：用线段表示两端都栽的情况（用线段表示小路，用短竖线表示树），你能再说说这个栽树的过程吗？ 2.如果这条小路变得很长，变成了1000米，不量不画，你还能解决吗？ 小结：这个同学是用了算式的方法解决的，当我们画图比较麻烦的时候，就可以尝试用算式的方法。 3.不着急，咱们先从简单的开始，回到刚才的20米，你能用刚才这个同学算式的方法来讲讲吗？ 根据预设2，请同学上台指一指哪4段。 小结：4段其实就是咱们一开始知道的“间隔”。 教师完善算式：20÷5=4，4+1=5（棵） 预设4：我来纠正，最后一棵的位置是图书馆，我觉得不应该栽，三班只用栽3棵就可以了。 预设5：我发现虽然每个班都是栽20米，但是栽的数量却是不一样的，为什么？ 预设6：我能解决，一班栽了自己的起点和末尾，二班因为起点被一班栽了，所以只栽了末尾，而三班起点和末尾都不用栽，所以栽的是最少的。 活动三：“两端都栽”的植树问题 1.学生再说说两端都栽的过程。 预设：每5米栽一棵，再从头上栽一棵，一共栽了5棵树。 2.学生思考后回答。 预设：先用1000除以5，求出间隔数，就是1000÷5=200，再用200+1=201，也就是再在开头上栽一棵。 3.学生尝试用计算的方法解决。 预设1：先用20÷5=4（棵），再加上开头的一棵，4+1=5（棵） 预设2：我有不同的想法，我觉得他说的算式里应该是4个间隔，不是4（棵）。
明确每个算式及算式中每个数的含义，提高学生推理意识，为后面归纳数学模型积累经验。 4.再指学生说一说算式每部分的意思。 教师根据学生回答，规范每个数字的含义：20表示全长，5表示间距，4表示间隔数。 5.分析到这，你还有什么问题？ 4.学生思考后回答。 预设：20表示总长度，5表示每5米栽一棵树，4表示有4段。 5.学生思考，提出问题 预设1：求出来是4个间隔，为什么还要加1？ 预设2：我来帮他回答，加的1棵是栽在开头位置上的，加上这棵就是5棵树。 预设3：我还有个问题，4+1=5后面的单位怎么是“棵”不是“段”或者“个”？
在分析变与不变中，尝试建立两端都栽的数学模型，提高学生的推理意识和模型意识。 通过归纳类比、迁移类推，发现其余两种植树问题的数学模型，提高学生推理意识和创新意识。 根据预设4，也就是说第二个算式里的4表示的是4个间隔对应着的4棵树。 补充板书： 20÷5=4（个）　4+1=5（棵） 6.还是这段20m的小路，除了可以5m栽一棵，还可以几米栽一棵？这时又需要栽几棵树呢？ 根据预设1板书： 20÷4=5　5+1=6（棵） 根据预设2板书： 20÷2=10 10+1=11（棵） 7.这条小路现在变成100米了，还是每隔5米栽一棵，你能解决吗？ 8.这条小路长1000米呢？ 9.观察黑板上这些算式，哪里变了？哪里没变？ 小结：棵数=间隔数+1 预设4：我上台给大家指着解答，1个间隔对应1棵树，4个间隔就对应着4棵树，这4棵树再加上头上栽的1棵，就是5棵树。 6.学生思考后回答。 预设1：我觉得可以每隔4米栽1棵树，算式是20÷4=5，5个间隔对应5棵树，5+1=6（棵）。 预设2：我想的是每隔2米栽一棵，算式是20÷2=10，10个间隔对应10棵树，10+1=11（棵）。 预设3：每隔10米栽一棵，就是20÷10=2，2个间隔对应2棵树，2+1=3（棵）。 7.学生独立思考后汇报。 预设：100÷5=20，20个间隔对应20棵树，20+1=21（棵）。 8.学生一起回答算式。 预设：1000÷5=200，200个间隔对应200棵树，200+1=201（棵）。 9.学生4人一组，讨论后汇报。 预设1：全长、间隔数、棵数都在变。 预设2：间隔数没变，还有第二个算式的加1没变。 预设3：我觉得间隔数和棵数之间的关系是没变的，都是间隔数+1=棵数。
举例生活中的植树问题，多角度拓展对植树问题的认识，激发学习的兴趣，也让学生切实感受到身边处处有数学，使学生深刻感受到数学的应用价值。 将数学模型拓展到线上的点数问题，再次提高学生的模型意识。 活动四：方法类推 1.两端都栽的情况下，棵数和间隔数存在着关系，那只栽一端和两端都不栽的情况，棵数和间隔数是不是也有着什么不变的关系呢？小组里讨论讨论。 小结：只栽一端　棵数=间隔数 两端都不栽棵数=间隔数-1 2.观察对比这三种情况及对应的关系，哪里相同？哪里不同？ 3.看来间隔数很重要，那间隔数如何求呢？ 4.大家都研究明白了。想一想，植树问题一定要栽树吗？ 课件呈现走方队、带扣子的衬衣、剪绳子的图片、播放钟声。 5.总结一下上面这三幅图，虽然每幅图的情况都不一样，但是有什么一样的地方吗？ 结合抽象出的线和点，师进行小结： 这些树都种在了这些点上，今天研究的植树问题其实就是这些线上的点数问题。 活动四：方法类推 1.学生小组讨论后汇报。 预设1：我们讨论的只栽一端的情况，棵数=间隔数，因为开头那棵不用栽，所以不用加1。 预设2：两端都不栽的情况是棵数=间隔数-1，因为不光开头的不用栽，最后一个间隔也不用栽。 2.学生思考后回答。 预设：棵数和间隔数都有关系，就是关系不太一样，有的加1，有的相等，还有的减1。 3.学生回答。 预设：间隔数=全长÷间距 4.学生观察，说自己的发现。 预设1：走方队中每一行学生的数量是植树问题，可以看成两端都栽。 预设2：衬衣上的扣子排列也是植树问题，是只栽一端的，因为最下面不用栽。 预设3：剪绳子是两端都不栽的情况，因为两端都不用剪。 预设4：钟声属于两边都栽的植树问题，一开始要响一声，中间一个间隔响一声，到最后还要再响一声。 5.学生回答。 预设：虽然都没有真的栽树，但都是植树问题。
首先巩固总长、间距、间隔数的概念和它们之间的关系，再通过画一画，直观夯实植树问题规律。 考查学生是否能对具体的植树问题情况进行判断，并解决实际问题，培养学生的应用意识和创新意识。 三、辅导练习 1.基础练习 （1）选择。 ①公路一边栽了17棵桂花树，如果每相邻两棵桂花树中间栽一棵银杏树，那么一共要栽（　　）棵银杏树。 A.16　　　　　B.17 C.18　　　　　　 D.19 ②刘村有一条长600m的公路，计划在路的一侧每隔6m栽一棵树，如果两端都栽，那么“600÷6”求出的是（　　）。 A.总距离 B.株距 C.棵数 D.间隔数 （2）画一画。 一个舞台长20m，每隔5m挂一面彩旗。（用↑代表彩旗） ①两端都挂 ②只挂一端 ③两端都不挂 三、解决问题 1.基础练习 （1）①17棵桂花树之间有16个间隔，1个间隔对应着1棵银杏树，两端都不用栽，所以一共要种16棵银杏树。 ②600÷6就是总长度÷间距，求出的是间隔数。 （2）
可以利用直观演示，让线段、点数产生的画面灵动起来，从而帮助学生建构数学模型，提升学生的推理意识和思维水平。 2.变式练习 1路公共汽车从起点站到终点站行驶路线全长10km，如果相邻两个站点之间的路程是500m，那么这条路线一共设有多少个站点？ 3.提升练习 一位老人沿路边散步，从第1盏路灯处走到第12盏路灯处共用了22分钟。当这位老人走了44分钟时，他走到了第几盏路灯处？ 2.变式练习 分析：总长度为10km，间距为500m，在路线上设站点属于两端都栽的植树问题。 10km=10000m 间隔数：10000÷500=20 站点数：20+1=21（个） 3.提升练习 分析：路边的路灯属于两端都栽的植树问题，原公式中的棵数为现在的路灯数（盏数）。 根据“路灯数=间隔数+1”得知，“间隔数=路灯数-1”，因此在走到第12个路灯的时候，间隔数为12-1=11，走每个间隔需要的时间为22÷11=2（分），走44分钟就是走了44÷2=22个间隔，则路灯数=22+1=23（盏）。
梳理本节课知识，巩固三种植树问题的数学模型，培养学生总结概括的能力。 四、引导反思 通过这节课的学习，你有哪些收获？ 四、提升问题 同桌汇报并总结本节课收获。 预设1：植树问题分为三类：两端都栽、只栽一端和两端都不栽。 预设2：这三种情况中，棵数和间隔数都有关系，分别是棵数=间隔数+1、棵数=间隔数和棵数=间隔数-1。 预设3：我还会求间隔数。间隔数=全长÷间距。 预设4：生活中也有一些类似的植树问题，也可以利用这些模型来解决，比如站队、锯木头问题和敲钟问题等。
板书设计 植树问题 两端都栽　　　　只栽一端　　两端都不栽　　迁移类推　　数形结合 棵数=间隔数+1　棵数=间隔数　棵数=间隔数-1　　　　　　数学模型 全长÷间距=间隔数 20÷5=4 4+1=5（棵） 20÷4=5 5+1=6（棵） 20÷2=10 10+1=11（棵）
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