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7.2 封闭图形的植树问题
教学目标 1.理解并掌握封闭图形的植树问题的规律，会用规律解决实际生活中类似植树的问题。 2.通过观察、操作、交流等活动，经历知识形成的过程，体会数形结合、化繁为简、化曲为直、一一对应的解题策略和方法，提高解决问题的能力，培养推理意识和模型意识。 3.感受数学在日常生活中的广泛应用，体会数学的价值，激发学习数学的兴趣，培养应用意识。
教学 重难点 1.理解并掌握封闭图形的植树问题的规律，会用规律解决实际生活中类似植树的问题，培养模型意识。 2.综合运用知识灵活解决问题的能力。
教学准备 课件、学习任务单、练习本
目标落实 教师活动 学生活动 二次备课
感受数学在日常生活中的应用，体会数学的价值，激发学习数学的兴趣，提高解决问题的能力，培养应用意识。 一、情境导入 学校“庆元旦”艺术节马上要进行了，学校艺术节筹备组也在精心布置会场。 1.课件出示：艺术节筹备组准备在舞台前摆绿色盆栽，每隔2m放一盆，40m长的舞台（两端都要放），一共要放多少盆绿色盆栽？ 2.课件继续出示问题：为了更漂亮美观，学校准备在两盆绿色盆栽之间放一盆鲜花，需要买多少盆鲜花？ 师：我们利用植树问题解决了舞台前的布置问题，那接下来还有问题需要我们一起帮着来解决，让我们一起看看吧。 一、发现问题 学生理解情景问题，独立思考并进行解答。 预设1：这是两端都栽的情况，棵数=间隔数+1：40÷2+1=21（盆） 预设2：学生进一步思考并回答。 鲜花的盆数=间隔数： 21-1=20（盆）
进一步体会数学与生活的联系，培养学生观察、分析、比较、迁移类推的能力，提高解决问题的能力。 进一步体会数形结合、化繁为简的解决策略，提高解决问题能力，初步培养推理意识和模型意识。 二、引导合作 活动一：探究“圆”上的植树问题。 1.课件出示问题：学校设计了一个圆形舞台，周长80m，每隔4m安装一盏彩灯，请问一共要安装多少盏灯？ （1）问：这和我们之前学过的植树问题一样吗？ （2）继续追问：根据上节课研究植树问题的方法和经验，你想如何研究“圆”上的植树问题？ 2.师：我们一起动手探究一下。 教师出示活动要求。 （1）选一选：我想选周长（　　）m的舞台进行研究。 （2）画一画：用一个圆表示这个舞台，每隔4米安装一盏灯。 二、探究问题 活动一：探究“圆”上的植树问题。 1.学生观察情境图，思考这个问题和上节课学习的植树问题的联系。 （1）预设：安装灯相当于是植树，所以这也是植树问题，只是这是在圆形上植树，而上节课我们探究的是在线段上的植树问题。 （2）学生回想上节课的研究方法，思考研究“圆”上的植树问题的方法。 预设1：可以画图。 预设2：可以化繁为简，选周长短一些的舞台先画画试试。 2.学生按要求进行探究活动，并思考交流。 汇报（可以找多名同学进行投影展示并汇报） 预设1：周长12m，每隔4m一盏灯，有3个间隔，能安3盏。 预设2：周长16m，每隔4m一盏，有4个间隔，能安4盏。
经历知识形成的过程，理解封闭图形植树问题的规律，进一步体会数形结合、化曲为直、一一对应的解决策略和方法，培养科学严谨的思维习惯，进一步提高推理意识和模型意识。 （3）数一数：画好后，数一数有几个间隔，几盏灯。 （4）想一想：在圆形植树问题中，棵数和间隔数有什么关系？ 教师根据学生汇报课件展示12m、16m、20m、24m等的植树情况。 活动二：大胆探究，验证猜想 师：在圆形上植树问题中，我们通过画图举例，也就是数形结合，发现“棵数=间隔数”，但这只是个猜想，还需要进一步验证。 请同学们打开学具袋，认真阅读要求，思考验证方法。 要求： 你想怎样验证这个结论？小组内分享自己的想法。 学具袋里有三种灯带，以周长16m为例，如果用灯带绕圆形舞台一周，你选择哪种灯带？ 教师根据学生情况及时进行指导。 1.教师进一步通过课件演示，一棵树对应一个间隔，强化棵数和间隔数一一对应。 2.教师根据学生汇报引导学生理解选择第二种灯带的合理性。 3.教师引导学生借助化曲为直的方法将圆形植树问题转化为一端植树问题。 教师小结：通过刚才的说理验证、化曲为直等方法，得出圆形植树问题“棵数=间隔数”。 预设3：周长20m，每隔4m一盏，有5个间隔，能安5盏。 …… 预设4：发现：在圆形上植树，棵数=间隔数。 活动二：大胆探究，验证猜想 学生思考验证方法，并组内交流分享自己的想法。 汇报： 预设1：根据刚才的汇报，观察发现，在圆形上植树，不管周长是多少，都是一棵树对应一个间隔，有几个间隔，就有几棵树，所以得出“棵数=间隔数”。 预设2：以周长16m为例，验证发现应该选择第二种灯带绕舞台一周，因为第一种首尾相接处有两盏灯，不符合要求；第三种首尾相接处没有灯，也不符合要求。所以第二种刚好符合要求。 预设3：沿着第一棵树的旁边剪开，把它拉直，正好和第一种灯带的情况一样。这是实际转化成前面学习的一端植树问题一样，所以“棵数=间隔数”。
进一步掌握封闭图形植树问题的规律，体会结论从特殊到一般，培养迁移类推的能力，进一步提高思维的严谨性，培养推理意识和模型意识。 会用规律解决实际生活中植树的问题，培养应用意识。 活动三：迁移类推，总结规律 1.在圆形植树问题上，我们发现“棵数=间隔数”。如果是其他形状的舞台呢？ 课件出示： 师问：这些图形都是什么样的图形？ 教师小结：像这样一条首尾相接的封闭图形，都可以把它拉直，转化成一端植树问题，所以“棵数=间隔数”。 2.那你现在能解决“周长80m的舞台，每隔4m一盏灯，需要安装多少盏灯”吗？ 活动三：迁移类推，总结规律 1.学生思考讨论其他形状的情况并汇报交流。 预设：可以把他们也从一端剪开，拉直，都可以转化成我们学过的一端植树问题，都是“棵数=间隔数”。 学生思考这些图形的特点并回答。 预设：这些图形都是首尾相接，没有开口的封闭图形。 2.学生独立思考并解决。 预设：80÷4=20（盏）
理解并掌握封闭图形植树问题的规律，培养模型意识和应用意识。 三、辅导练习 1.基础练习 张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120m，如果每隔10m栽一棵树，一共要栽多少棵？ 三、解决问题 1.基础练习 引导学生应用封闭图形植树模型：棵数=间隔数。 120÷10=12（棵）。
培养学生灵活利用规律解决类似植树问题，进一步培养推理意识和应用意识。 培养学生思维的灵活性，提高推理意识和应用意识。 2.变式练习 一个长方形公园，在其周围栽树，每隔10m栽一棵，共栽树200棵。公园的周长是多少米？ 3.提升练习 学校运动会开幕式上，五年级代表队站成了一个方阵，这个方阵的最外层每边站了9人。最外层一共站了多少人？这个方阵共有多少人？ 2.变式练习 引导学生理解：周长=间隔数×间隔长。 间隔数=棵数，所以200×10=2000（米）。 3.提升练习 引导学生理解题意，可以借助画图理解，每边站9人，把每条边都看成一端植树问题，每条边上有9-1=8（人），8×4=32（人）。
进一步掌握封闭图形的植树问题的规律，积累解决问题的方法和策略，提高解决问题的能力。 四、引导反思 本节课我们研究了封闭图形上的植树问题，在知识和方法上都有哪些收获？ 四、提升问题 学生交流分享本节课的收获。 知识： 预设：我知道了封闭图形的植树问题都是“棵数=间隔数”。 方法： 预设1：本节课，我们还是利用化繁为简、数形结合、一一对应的解决策略和方法。 预设2：可以把封闭图形转化成一端植树问题。 预设3：在研究封闭图形的植树问题时，先利用化繁为简、画图尝试得到初步的猜想结论；然后动手验证得出结论，最后把结论推广到一般的封闭图形上。
板书设计 封闭图形的植树问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 棵数 间隔数 化繁为简 3棵 12÷4=3 数形结合 4棵 16÷4=4 一一对应 5棵 20÷4=5 化曲为直——转化 棵数=间隔数
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