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5.6解决问题
教学目标 1.结合具体情境，认识方中圆和圆中方图形的关系，掌握“方中圆”和“圆中方”的图形面积计算方法，解决实际问题。 2.让学生经历画图、观察、计算、总结规律的全过程，运用分割、平移、转化等方法进行思考，培养学生解决问题的策略多样性，提高学生分析问题、解决问题的能力。 3.体验数学与实际生活的联系，使学生获得数学活动经验的同时，感受中国传统文化。
教学重难点 重点：掌握“方中圆”和“圆中方”的图形面积计算及图形之间的关系。 难度：理解、分析“方中圆”与“圆中方”的图形关系。
教学准备 课件、圆形、正方形
目标落实 教师活动 学生活动 二次备课
结合具体情境，初步认识方中圆、圆中方，体验数学与生活实际的联系，感受中国传统文化。 一、情境导入 生活中的方中圆、圆中方 同学们，我国自古就有天圆地方的说法，虽然这一说法被后人证明是错误的，但是依然对人们的生活产生了深远影响。请看！（课件出示图片） 一、发现问题 活动：
在图中，你发现了哪些与数学有关的信息？ 小结：你们非常有数学的眼光！总是能从其中发现数学。像这样的图，正方形中画一个最大的圆，从圆中画一个最大的正方形，我们就称为方中圆，圆中方。 预设1：图中都有圆形和正方形。 预设2：第1幅图是在正方形中画最大的圆，第2幅图是在圆形中画最大的正方形。
结合画图活动，感受“方中圆”中直径和边长，以及“圆中方”中直径和对角线的关系，使学生获得数学活动经验。 通过观察，运用平移等方法，理解、掌握“方中圆”中直径和边长，以及“圆中方”中直径和对角线的关系。 二、引导合作 1.画方中圆、圆中方 你能想办法在正方形里画一个最大的圆、在圆里画一个最大的正方形吗？动手试一试。 （课件出示一个正方形，一个圆形） 有同学总是画得不合适，哪位同学能说说有什么技巧，一下就画对了！ 结合学生讲解，课件依次出示虚线折痕、圆形、正方形。 展示学生优秀作品。选2幅作品贴到黑板上。 2.观察方中圆、圆中方 同学们，在刚才画方中圆、圆中方的时候，你对正方形和圆形的关系还有哪些发现？仔细观察，小组内互相说一说。 根据学生的回答，课件演示正方形边长平移后，与圆形直径重合的动画。 板书： 二、探究问题 1.活动一：画一画 预设1：盲目地尝试画，总是大小不合适。 预设2：正方形对折找到圆心、半径后画圆形。圆形对折后，画正方形。 2.活动二：观察 预设1：我发现方中圆中， 正方形的边长平移，就是圆的直径。 预设2：我发现在圆中方中，圆的直径就是正方形的对角线。
尝试用不同的方法计算 方中圆、圆中方阴影面积。 培养学生解决问题的策略多样性，提高学生分析问题、解决问题的能力。 3.算一算 如果图中两个圆的半径都是1 m，你能算出图中阴影部分的面积分别是多少吗？动手试一试。 请完成的同学在黑板上板书。 仔细观察，你能看明白这些同学的想法吗？ 根据学生回答补充答题思路，并板书： 方中圆： a：1×2=2（m） S正-S圆=2×2-3.14×12=0.86（m2） 图1比较简单，大家很快就算出来了。图2有不少同学因为算不出正方形边长，所以就迟迟算不出来。现在，看了大家的算法，你有没有受到什么启发？ 小结：是的，我们要善于发现图形之间的关系来解决问题，当一种方法走不通时，一定要学会换一个角度思考，把正方形转化成三角形，问题就解决了。 3.活动三：算一算 预设1：图1 1×2=2（m） 2×2-3.14×12=0.86（m2） 预设2： ×2=2（m2） 3.14×12-2=1.14（m2） 预设3： ×4=2（m2） 3.14×12-2=1.14（m2） 预设4：图2算不出正方形的边长，所以就无法计算面积。 预设5：图2算不出正方形的边长，无法算面积时，我们可以考虑换一个角度思考，把正方形转化2个或者4个三角形，再来计算。
总结规律，提高学生分析问题、解决问题的能力。 4.总结规律 如果圆形的半径用r表示，能不能用刚才的方法，试着用含有字母的式子表示出圆形和这两个正方形的面积，看看能不能发现其中的规律？ 根据同学的汇报，课件出示各个面积的表达式。 板书结论： 图1　S正∶S圆=4∶π　S阴=0.86r2 图2　S圆∶S正=π∶2　S阴=1.14r2 小结：大家通过过计算，用式子和比表达出了正方形和圆形之间的关系，阴影部分的面积计算也更加简洁、方便。在今后的学习中，可以巧妙地利用它们之间的关系进行计算。 4.活动四：总结规律 预设1：图1 S正=2r×2r=4r2 S圆=πr2 S阴=0.86r2 图2 S正=×2=2r2 S圆=πr2 S阴=1.14r2 预设2：我发现方中圆中S正∶S圆=4∶π，圆中方中，S圆∶S正=π∶2 预设3：我发现大正方形面积是小正方形面积的2倍。
数形结合，利用图形间的关系解决问题。 三、辅导练习 1.基础练习 求下面各图中涂色部分的面积。 （1）　（2） （3） 学生独立完成后集体订正。 小结：我们可以借助圆形和正方形的关系，运用公式进行计算；也可以运用总结的规律直接进行计算。大家可以根据自己的理解灵活选择。 三、解决问题 1.基础练习 预设： （1）3.14×22-×（2×2）×2×2=4.56（cm2） （2）62-3.14×（6÷2）2= 7.74（cm2） （3）3.14×32×-×（3×2）×3=5.13（cm2）
培养学生解决问题的策略多样性，运用方中圆和圆中方关系解决问题。 2.变式练习 选择。 （1）在一个圆内画一个最大的正方形，这个圆的面积是正方形的（　　）倍。 A. 　B. 　C. 　D. （2）下面四个正方形的边长都相等，涂色部分面积的大小关系是（　　）。 A.③>②>①>④ B.①>②>③>④ C.①=②=③=④ D.无法比较 第2题课件演示方中圆变形的过程，由图1转化为图2、图3。图4分为9个方中圆。 3.提升练习 如图，已知圆外面正方形的面积是15 dm2，则阴影部分的面积是多少平方分米？ 小结：根据正方形面积，算不出边长，所以不妨换一个角度进行思考。观察图，图中既有方中圆，又有圆中方，可以运用它们之间的关系来进行解决。 2.变式练习 预设：（1）B　（2）C 3.提升练习 预设： S大正=4r2=15（dm2） S圆=πr2=π（dm2） S小正=2r2=×2=7.5（dm2） S阴= π-7.5=4.275（dm2）
回顾画图、观察、计算、总结规律的全过程，提高学生解决问题的能力。 四、引导反思 说一说，在今天的学习活动中，你有哪些收获？ 这节课，我们通过动手画一画、观察等活动，发现了圆形和正方形之间的关系，方中圆：正方形边长等于圆的直径，圆中方：圆的直径是正方形的对角线。解决问题时，遇到困难，我们把正方形的面积转化为2个或者4个三角形的面积进行计算。最后还总结出了规律。希望大家能够运用这些方法，来解决更多的问题。 四、提升问题 预设1：找到了圆形和正方形的面积关系。 预设2：当一种方法解决不了，要学会换一个角度思考。 ……
板书设计 解决问题
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