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第一章　勾股定理
1　探索勾股定理
第1课时　探索勾股定理（1）
教学目标：
1.会用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程、理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系.
2.学会运用勾股定理进行简单的计算和实际运用.
教学重难点：
学会运用勾股定理进行简单的计算和实际运用.
教学过程：
一、情境导入
2002年国际数学家大会在我国北京召开，投影显示本届国际数学家大会的会标：
会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图形来作为与“外星人”联系的信号.今天我们就来一同探索勾股定理.
二、探索新知
投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形：
　　　　
问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
学生通过观察，归纳发现：
【结论】以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
观察下面两幅图，探索正方形3的面积.
【结论】以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
你能用直角三角形的边长a，b，c来表示上图中正方形的面积吗？
你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度.上面发现的规律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名.（勾股定理在很多国家文献中被称为毕达哥拉斯定理）
三、掌握新知
例　如图，为得到池塘两岸A点和B点间的距离，观测者在C点设桩，使△ABC为直角三角形，并测得AC为100米，BC为80米.求A，B两点间的距离是多少.
解：如图，根据题意，得Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝100米，BC＝80米.
由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，即AB2＋802＝1002.∴AB＝60.
∴A，B两点间的距离是60米.
四、巩固练习
1.求出下列直角三角形中未知边的长度.
（1）
（2）
解：（1）由勾股定理，得62＋82＝x2.
∴x2＝100.
∴x＝10.
（2）由勾股定理，得52＋y2＝132.
∴y2＝144.
∴y＝12.
2.小明妈妈买了一部29英寸（约74cm）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58cm长和46cm宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
解：不同意.能.
∵462＋582＝5480，而742＝5476，
∴屏幕对角线大约为74cm.
∴售货员没搞错.
∴不同意他的想法.
3.求斜边长为17cm、一条直角边长为15cm的直角三角形的面积.
解：如图所示，AB＝17cm，AC＝15cm.
根据勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝172－152＝64.
∴BC＝8.
∴S△ABC＝AC·BC＝×15×8＝60（cm2）.
五、归纳小结
1.知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.
2.方法：（1）观察——探索——猜想——验证——归纳——应用；（2）“割、补、拼、接”法.
3.思想：（1）特殊——一般——特殊；（2）数形结合思想.
六、布置作业
从教材习题1.1中选取.
让学生体会数形结合和由特殊到一般的思想方法，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国的悠久文化历史，激励学生发奋学习.
第2课时　探索勾股定理（2）
教学目标：
1.学会用拼图法、等积法验证勾股定理的正确性.
2.学会用勾股定理解决实际问题.
教学重难点：
学会用勾股定理解决实际问题.
教学过程：
一、复习导入
教师提出问题：
（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）
（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将验证勾股定理.
二、探索新知
今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.
层层设问，完成验证一.学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：
　　　　
图1　　　　　　　　图2
在此基础上教师提问：
（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）
（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书（a＋b）2＝4×ab＋c2.并得到a2＋b2＝c2）
从而利用图1验证了勾股定理.
自主探究，完成验证二.
教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？
三、掌握新知
例　我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
解：由勾股定理，可以得到
AB2＝BC2＋AC2，也就是5002＝BC2＋4002，所以BC＝300.
敌方汽车10s行驶了300m，那么它1h行驶的距离为300×6×60＝108000（m），即它行驶的速度为108km/h.
四、巩固练习
1.如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是5000万元/千米，该沿江高速的造价预计是多少？
解：因为OM2＝MN2＋NO2＝302＋402＝502，OQ2＝OP2＋PQ2＝502＋1202＝1302，
所以OM＝50km，OQ＝130km.
所以5000×（50＋130）＝900000（万元）.
因此该沿江高速的造价预计是900000万元.
2.如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处.旗杆折断之前有多高？
解：如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝52.所以AB＝5.所以3＋5＝8.因此旗杆折断之前高8m.
3.如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2m的半圆形，一个长、宽、高分别是1.2m，1m，0.8m的箱子能放进储藏室吗？
解：如图所示，设半圆形的圆心为点O，且OA＝0.5m，作矩形ABCD，过点A作AB⊥OA，交半圆形于点B，连接OB，作OE⊥BC于点E.由题意知，OB＝1.2m，所以AB2＋OA2＝OB2，即AB2＋0.52＝1.22，解得AB2＝1.19.因为0.82＝0.64，1.19＞0.64，所以AB＞0.8m.所以箱子能放进储藏室.
五、归纳小结
教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.
六、布置作业
从教材习题1.2中选取.
通过拼图法或等积法验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，学会勾股定理的应用并逐步培养学生应用数学解决实际问题的能力，为后面的学习打下基础.

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