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2.1　认识无理数
第1课时　认识无理数（1）
教学目标：
1.通过拼图活动，感受“新数”（无理数）产生的实际背景和引入的必要性.
2.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.
3.会判断一个数是有理数还是无理数.（重点）
教学重点：
会判断一个数是有理数还是无理数.
教学难点：
助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.
教学过程：
一、情境导入
能帮忙吗？
a.小红是刚升入八年级的新生，一个周末的上午，当工程师的爸爸给小红出了两个数学题：
（1）两个数3.252525…与3.252252225…一样吗？它们有什么不同？
（2）一个边长为6cm的正方形木板，按如图的痕迹锯掉四个一样的直角三角形.请计算剩下的正方形木板的面积是多少？剩下的正方形木板的边长又是多少厘米呢？你能帮小红解决这个问题吗？
b.你能求出面积为2的正方形的边长吗？你知道圆周率的精确值吗？……它们能用整数或分数（即有理数）来表示吗？
二、探索新知
1.【算一算】
已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，并提出问题：x是整数（或分数）吗？
2.【剪剪拼拼】
把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？
目的：选取客观存在的“无理数”实例，让学生深刻感受“数不够用了”.
效果：巧设问题背景，顺利引入本节课题.
已知a2＝2，请问a可能是整数吗？a可能是分数吗？为什么？
让学生回顾“有理数”的概念，既然不是整数也不是分数，那么一定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础.
三、掌握新知
例　B，C是一个村庄的两个路口，BC长为4千米，A处是一个果园，从A到B，C两路口的距离都是4千米，现要从果园到村庄修一条最短的路，这条路的长可能是整数吗？可能是分数吗？说明理由.
解：这条路的长既不是整数也不是分数，因为这个数的平方等于12.
四、巩固练习
1.用16个边长为1的小正方形拼成了如图的网格，任意连接两个格点，就得到一条线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段.
答案不唯一.如图所示，线段CD，FG的长都是有理数；线段AB，CE的长都不是有理数.
2.如图，等边三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？
解：因为h2＝22－12＝3，所以h不可能是整数，也不可能是分数.
3.请你在方格纸上按照如下要求设计直角三角形：
（1）使它的三边中有一边边长不是有理数；
（2）使它的三边中有两边边长不是有理数；
（3）使它的三边边长都不是有理数.
解：答案不唯一.如图所示.
（1）如△ABC.（2）如△DEF.（3）如△GHI.
五、归纳小结
1.通过拼图活动，感受有理数不够用了.谈谈本节课你有什么收获与体会？有哪些困难需要别人帮你解决？
2.感受数不够用了，会确定一个数是有理数或不是有理数.
3.本节课通过动手操作，观察思考，猜想验证，归纳推理等过程，获取数学知识.
六、布置作业
引导学生回顾旧知、探索新知，形成一定的数学探究能力.
第2课时　认识无理数（2）
教学过程：
一、复习导入
1.有理数是如何分类的？
有理数
2.除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数？如圆周率π，0.020020002…上节课又了解到一些数，如a2＝2，b2＝5中的a，b不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目.
二、探索新知
1.借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a和面积为5的正方形的边长b进行估计.
请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a的取值范围大致是多少？如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2？说说你的理由.
边长a 面积S
1＜a＜2 1＜S＜4
1.4＜a＜1.5 1.96＜S＜2.25
1.41＜a＜1.42 1.9881＜S＜2.0164
1.414＜a＜1.415 1.999396＜S＜2.002225
1.4142＜a＜1.4143 1.99996164＜S＜2.00024449
归纳总结：a是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.
请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.
2.请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式.
议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？
探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数，即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
强调：像0.585885888588885…，1.41421356…，－2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，所以它们都是无限不循环小数.
我们把无限不循环小数叫做无理数.（圆周率π＝3.14159265…也是一个无限不循环小数，故是无理数）
3.到目前为止我们所学过的数可以分为几类？（按小数的形式来分）
数
强调：“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分类？
三、掌握新知
例　填空：
0.351，－4.，－， 3.14159， 6，－5.2323323…，，1234567891011…（由相继的正整数组成）.
有理数集合　　无理数集合
点拨：
1.无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.
2.任何一个有理数都可以化成分数的形式（q≠0， p，q为整数且互质），而无理数则不能.
解：有理数有：0.351，－4.，－，3.14159，6；无理数有：－5.2323323…，，1234567891011…（由相继的正整数组成）.
四、巩固练习
1.以下各正方形的边长是无理数的是（ C ）
A.面积为25的正方形
B.面积为的正方形
C.面积为8的正方形
D.面积为1.44的正方形
2.判断下列说法是否正确：
（1）有限小数都是有理数； （ √ ）
（2）所有无限小数都是无理数； （ × ）
（3）所有无理数都是无限小数； （ √ ）
（4）有理数都是有限小数. （ × ）
3.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0.4583，3.，－π，－，18.
0.4583，3.，－，18是有理数；－π是无理数.
4.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5，则斜边a是有理数吗？
解：由勾股定理，得a2＝32＋52，即a2＝34.因为34不是完全平方数，所以a不是有理数.
五、归纳小结
1.无理数的定义.
2.你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的？
3.已学过的数怎样分类？
4.本节课你还有哪些收获？
六、布置作业
从教材习题2.2中选取.
让学生通过估计、借助计算器进行探索和讨论，体会数学学习的乐趣，体会无限逼近的数学思想，得到无理数的概念；同时引导学生回顾旧知、探索新知，形成一定的数学探究能力，进一步培养学生的分类和归纳的思想，为今后的数学学习打下坚实的基础.

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