资源简介

2.2　平方根
第1课时　平方根（1）
教学目标：
1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.
2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根.
3.了解算术平方根的性质.
教学重点：
了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根.
教学难点：
了解算术平方根的性质.
教学过程：
一、情境导入
上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，如图①得到一个边长为a的大的正方形，那么有a2＝2，a＝　　　　，2是有理数，而a是无理数.在前面我们学过若x2＝a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们一起来学习.
　　
①　　　　　　　　　②
内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图②完成填空：
x2＝　　　　，y2＝　　　　，z2＝　　　　，w2＝　　　　.
二、探索新知
x2＝2，y2＝3，z2＝4，w2＝5，已知幂和指数，求底数x，你能求出来吗？
学生可以估算出x，y是1到2之间的数，w是2到3之间的数，但无法表示x，y，w，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方.
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”.特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即＝0.
三、掌握新知
例1　求下列各数的算术平方根：
（1）900；（2）1；（3）；（4）14.
解：（1）因为302＝900，所以900的算术平方根是30，即＝30；
（2）因为12＝1，所以1的算术平方根是1，即＝1；
（3）因为＝，所以的算术平方根是，即＝；
（4）14的算术平方根是.
例2　自由下落物体下落的距离s（m）与下落时间t（s）的关系为s＝4.9t2.有一铁球从19.6m高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
解：将s＝19.6代入公式s＝4.9t2，得t2＝4，所以t＝＝2（s）.
所以铁球到达地面需要2s.
四、巩固练习
1.填空题：
（1）若一个数的算术平方根是，那么这个数是　7　；
（2）的算术平方根是　　；
（3）的算术平方根是　　；
（4）若＝2，则（m＋2）2＝　16　.
2.求下列各数的算术平方根：
36，，15，0.64，10－4，，.
6，，，0.8，10－2，，1.
3.如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷.若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？
解：由题意，得AC＝5.5米，BC＝4.5米，∠ABC＝90°.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝＝（米）.所以帐篷支撑竿的高是米.
五、归纳小结
1.算术平方根的概念，式子中的双重非负性：一是a≥0，二是≥0.
2.算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根.
3.求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根.
六、布置作业
从教材习题2.3中选取.
让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化.概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有帮助的.概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化.
第2课时　平方根（2）
教学过程：
一、复习导入
1.什么叫算术平方根？
①3的平方等于9，那么9的算术平方根就是3.
②的平方等于，那么的算术平方根就是.
③展厅的地面为正方形，其面积为49平方米，则其边长为7米.
2.到目前为止，我们已学过哪些运算？这些运算之间的关系如何？乘方有没有逆运算？
平方与算术平方根之间的关系？
已知折叠着的正方形ABCD的面积为1，则其边长为1.将它扩展，若面积变为原来的2倍，则它的边长为；若面积变为原来的3倍，则它的边长为；若面积变为原来的n倍，则它的边长为.
平方等于9，，49的数还有吗？
二、探索新知
填空
32＝9 （ ）2＝9 02＝0
＝ （ ）2＝ （不存在）2＝－4
【形成概念】一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（square root，也叫做二次方根）.而把正的平方根叫做a的算术平方根.
如果x2＝a，那么x叫做a的平方根.记作±.
例如：（±4）2＝16，则＋4和－4都是16的平方根，即16的平方根是±4；4是16的算术平方根.
探索平方与开平方的关系：给出几组具体的数据，探索开平方与平方的互逆关系.
【概念辨析】平方根与算术平方根的联系与区别
联系　1.包含关系　平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3.0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别　1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为±，而算术平方根表示为.
三、掌握新知
例　求下列各数的平方根：
（1）64；（2）；（3）0.0004；（4）（－25）2；（5）11.
解：（1）∵（±8）2＝64，∴64的平方根是±8，即±＝±8；
（2）∵＝，
∴的平方根是±，即±＝±；
（3）∵（±0.02）2＝0.0004，
∴0.0004的平方根是±0.02，即±＝±0.02；
（4）∵（±25）2＝（－25）2，
∴（－25）2的平方根是±25，即±＝±25；
（5）11的平方根是±.
四、巩固练习
1.已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ D ）
A. a＋1 B. C. a2＋1 D.
2.填一填：
（1）（－5）2的平方根是　±5　，的算术平方根是　3　，的平方根是　±　；
（2）（）2＝　64　，＝　5　，±＝　±8　，＝　0.2　；
（3）＝　　，当a≥0时，＝　a　.
3.当x为何值时，有意义？
解：因为－≥0，所以x≤0.∴当x≤0时，有意义.
五、归纳小结
1.如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，x＝±.
2.平方根的个数：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根.
3.平方与开方之间的关系.
4.求平方根的方法：求一个数的平方根就是转化寻找哪个数的平方等于这个数.
六、布置作业
1.从教材习题2.4中选取.
2.见《一线课堂》.
为学生提供有趣且富有数学含义的问题，让学生进行充分的探索和交流.如把正方形的面积不断地扩大为原来的2倍、3倍、n倍，引导学生充分进行交流、讨论与探索，从中感受学习平方根的必要性.

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