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2.7　二次根式
教学目标：
1.了解二次根式和最简二次根式的概念，能将二次根式（根号下仅限于数）化为最简二次根式.
2.探索并掌握二次根式的性质.（重点）
教学重点：
探索并掌握二次根式的性质.
教学难点：
会进行二次根式（根号下仅限于数）的简单四则运算.
第1课时　二次根式（1）
教学过程：
一、情境导入
问题1：，，，，（其中b＝24，c＝25）.上述式子有什么共同特征？
答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数.
介绍二次根式的概念.一般地，式子（a≥0）叫做二次根式，a叫做被开方数.强调条件：a≥0.
问题2：二次根式怎样进行运算呢？
答：这是我们本节课要解决的新问题.
二、探索新知
内容：通过探究得出＝·（a≥0，b≥0），＝（a≥0，b＞0）.
具体过程如下：
（1）×＝　　　　，＝　　　　；×＝　　　　，＝　　　　；
＝　　　　，＝　　　　；＝　　　　，＝　　　　.
（2）用计算器计算：
×＝　　　　，＝　　　　；＝　　　　，＝　　　　.
观察上面的结果你可得出什么结论？
从你上面得出的结论中发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？
其中的字母a，b有限制条件吗？
三、掌握新知
例　化简：（1）；（2）；（3）.
解：（1）＝×＝9×8＝72；
（2）＝×＝5；
（3）＝＝.
观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？
被开方数中都不含分母，也不含能开得尽方的因数.一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.
四、巩固练习
1.化简：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
解：（1）＝＝×＝4；
（2）＝＝×＝6；
（3）＝＝＝＝；
（4）＝＝＝＝；
（5）＝＝.
2.化简：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.
解：（1）＝×＝3×7＝21；
（2）＝×＝4；
（3）＝＝＝；
（4）＝＝×＝3；
（5）＝＝×＝3；
（6）＝＝＝；
（7）＝＝＝＝；
（8）＝＝.
3.一个直角三角形的斜边长为15cm，一条直角边长为10cm，求另一条直角边长.
解：设另一条直角边为xcm.由勾股定理，得
x2＝152－102＝125.因为x＞0，所以x＝，
即x＝5.所以另一条直角边长为5cm.
五、归纳小结
本节课主要内容：
1.掌握并会运用公式：＝·（a≥0，b≥0），＝（a≥0，b＞0）.
2.理解本节课中用过的数学方法：类比，找规律，归纳总结.
3.一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
六、布置作业
从教材习题2.9中选取.
教学反思：
本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系，加深学生对运算法则的理解，能根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能确认结果的合理性等等.
第2课时　二次根式（2）
教学过程：
一、复习导入
内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？
这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算律解释它吗？点明本节课研究课题.
二、探索新知
1.在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则：
·＝（a≥0，b≥0），＝（a≥0，b＞0）.
2.提出问题：能否根据该公式将化成2？
3.计算：（1）×；（2）；（3）.
解：（1）×＝＝＝2；
（2）＝＝＝＝3；
（3）＝＝＝.
三、掌握新知
例1　计算：
（1）3×2；（2）×－5；（3）（＋1）2；
（4）（＋3）（－3）；（5）×；（6）.
解：（1）3×2＝3×2×＝6；
（2）×－5＝－5＝－5＝6－5＝1；
（3）（＋1）2＝5＋2＋1＝6＋2；
（4）（＋3）（－3）＝（）2－32＝4；
（5）×＝×－×＝－＝6－1＝5；
（6）＝＋＝＋＝2＋3＝5.
从本例开始，正式进行二次根式的加减乘除运算，但设计时注意了题目的梯度.本例还侧重于乘除法运算，只是已经开始考虑有关运算律和公式的运用了（如交换律、结合律、分配律、乘法公式等）；教学中，注意体会这些题目之间的层次性，教学中务必循序渐进地开展相关技能训练，让更多的学生感受到成功的喜悦.
例2　计算：（1）＋；（2）－；（3）×.
解：（1）＋＝＋＝×＋＝4＋＝5；
（2）－＝－＝－＝；
（3）×＝＋＝＋＝2＋3＝5.
四、巩固练习
化简：（1）；（2）；（3）2＋；（4）＋－；（5）3－－.
解：（1）＝＝×＝8×＝8；
（2）＝＝×＝30×＝30；
（3）2＋＝2＋＝2×＋×＝2×2×＋4×＝4＋4＝8；
（4）＋－＝＋－＝＋×－×＝＋5－4＝；
（5）3－－＝3－－＝3××－×－＝6－3－＝.
五、归纳小结
二次根式也可进行加减运算，这时，以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用.当然，如果运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并.
六、布置作业
从教材习题2.10中选取.
教学反思：
通过对公式的逆运用，达到化简的目的.学会这种特殊的思考方法.在合作探究过程中，提升学生的探究能力和合作意识.通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
第3课时　二次根式（3）
教学过程：
一、复习导入
（1）最简二次根式的概念.
（2）在二次根式化简的过程中，你有哪些体会？
（3）上节课课后作业：已知≈1.414，≈1.732，≈2.449，计算.你是怎样解决的？
二、探索新知
例1　计算：（1）－；（2）－＋；（3）÷.
解：（1）－＝－＝－＝；
（2）－＋＝－＋＝3－2＋＝；
（3）÷＝÷－÷＝－＝－＝－＝2－＝.
例2　计算：（1）－；（2）－＋；（3）×.
解：（1）－＝－＝－＝；
（2）－＋＝－＋＝2－＋＝；
（3）×＝×－×＝－＝－＝12－2＝10.
做一做：如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD的面积.你有哪些方法？与同伴进行交流.
1.交流
让学生充分发表意见.
2.答案
（1）直接求法.
过点D作AB边上的高DE，可发现边AB，DC及DE都是某一个小直角三角形的斜边.根据勾股定理可求得AB＝5，CD＝，DE＝3，梯形ABCD的面积是（5＋）×3＝18.
（2）间接求法.
将梯形ABCD补成一个5×7的长方形，用长方形的面积减去3个小直角三角形的面积，得梯形ABCD的面积是5×7－×5×5－×4×2－×1×1＝18.
三、掌握新知
例　化简：（1）（a＞0，b＞0）；
（2）（x＋y≥0）；（3）（a＞0，b＞0）.
解：（1）＝＝·＝5ab；
（2）＝＝（x＋y）·；
（3）＝＝·＝.
四、巩固练习
1.当a＞0，b＞0时，化简：
（1）；
（2）；
（3）10a2·5÷15.
解：（1）＝·＋·＝＋＝＋＝a＋b；
（2）＝＝·＝2ab；
（3）10a2·5÷15＝（10a2×5÷15）＝a2＝a2·＝a2·＝a2·＝ab.
2.求代数式·的值，其中a＝3，b＝2.
解：由题知a＞0，b＞0.
原式＝·－·＝－＝－＝－b.当a＝3，b＝2时，原式＝－2.
五、归纳小结
1.二次根式的化简：二次根式的化简一定要化成最简二次根式.
2.利用式子＝a（a＞0）可将根号内含字母的二次根式化简，结果也要化成最简二次根式.
六、布置作业
从教材习题2.11中选取.
教学反思：
经历本节课的学习，进一步理解二次根式的概念，熟悉二次根式的化简，了解根号内含有字母的二次根式的化简，利用二次根式的化简解决简单的数学问题.学生通过独立思考，能选择合理的方法解决问题；在运算过程中巩固知识，与小组成员交流总结方法.

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