资源简介

教学设计
课题名称： 4.1.3 指数函数
一、教学内容分析
本课是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,它是重要的基本初等函数之一,作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的基础,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以应重点研究.本节的教学重点是在理解定义的基础上掌握的图象和性质.难点是指数函数的图象性质与底数a的关系．指数函数是学生完全陌生的一类函数,对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题,所以从研究过程中得到相应的结论固然重要,但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法,所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法,以便能将其迁移到其他函数的研究.
二、教学目标
知识与技能： 掌握指数函数的定义、图象、性质及其简单的应用．过程与方法：培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．情感与价值观：培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养独立思考等良好的个性品质．
三、学习者特征分析
指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的。是学生对函数概念及性质的第一次应用。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。
四、教学策略选择与设计
这节课主要采用讲练结合和小组合作的教学方法．本节课由生活中的真实例子导入新课，引入指数函数的定义，并通过一组练习深化指数函数的定义．先通过列表——描点——连线得到指数函数的图象，然后在教师的启发下，充分利用函数的图象来研究函数的性质．为了加强学生对函数性质的应用，增加了一道求函数定义域的例题，然后安排一定数量的练习，体现练为主线，讲练结合的教学方法．
五、教学重点及难点
教学重点：指数函数的图象与性质．教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系．
六、教学过程
教师活动 预设学生活动 设计意图
一、导入 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的质量约是原来的84%．试写出这种物质的剩留量随时间变化的函数解析式． 学生听教师分析解题的过程，得到y＝0.84x． 通过实例引入，让学生得到指数函数的一些特征，从而有了感性认识，对理解和掌握指数函数的定义、性质会起到很好的帮助作用．
新 课 一、指数函数的定义一般地，函数y＝ax (a＞0且a1，xR)叫做指数函数．其中x是自变量，定义域为R．探究1y＝2×3x是指数函数吗？探究2为什么要规定a＞0，且a≠1呢？(1) 若a＝0，则当x＞0时，ax ＝0；当x≤0时，ax无意义． (2) 若a＜0，则对于x的某些数值，可使ax无意义． 如 (－2)x，这时对于x＝，x＝，…等等，在实数范围内函数值不存在．(3) 若a＝1，则对于任何xR，ax＝1，是一个常量，没有研究的必要性． 为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a1．在规定以后，对于任何xR，ax都有意义，且 ax＞0. 因此指数函数的定义域是R，值域是 (0，＋∞)．练习1 指出下列函数哪些是指数函数：(1) y＝43x；　　(2) y＝x；(3) y＝0.3x；　　(4) y＝x3．二、指数函数的图象和性质在同一坐标系中分别作出函数y＝2x和y＝()x的图象．(1)列表：略．(2)描点：略．(3)连线：略．练习2 作函数y＝3x与y＝()x的图象．探究3观察y＝2x，y＝()x，y＝3x与y＝()x的图象，找出图象特征．(1) 图象向左右无限延伸；(2) 图象在x轴上方，向上无限延伸，向下无限接近于x轴；(3) 图象都经过点(0，1)；(4) a＝2或a＝3时，从左向右看图象逐渐上升；a＝ 或a＝ 时，从左向右看图象逐渐下降．探究4(1)“图象向左右无限延伸”揭示了“函数的定义域为R”；(2)“图象在x轴上方，向上无限延伸，向下无限接近于x轴”揭示了“函数的值域为(0，＋∞)；(3)“图象都经过点(0，1)”揭示了“当x＝0时，ax＝1”；(4) “a＝2或a＝3时，从左向右看图象逐渐上升；a＝ 或a＝ 时，从左向右看图象逐渐下降”揭示了“当a＞1时，指数函数是增函数；当0＜a＜1时，指数函数是减函数”． 指数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋)定点(0，1)单调性增函数减函数x≥0时，y≥1；x＜0时，0＜y＜1X≥0时，0＜y≤1；x＜0时，y＞1练习3(1) 指数函数y＝ax，当　　　　　时，函数是增函数；当　　　　　　　时，函数是减函数．(2)若函数f(x)＝(a＋1)x是减函数，则a的取值范围是 ．例1 用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：(1) 1.72.5和1.73； (2) 0.8－0.1和0.8－0.2．解 (1) 考察函数y＝1.7x，它在实数集上是增函数．因为 2.5＜3，所以 1.72.5＜1.73．请同学们用函数的图象来验证一下答案是否正确？(2) 考察函数y＝0.8x，它在实数集上是减函数．因为 －0.1＞－0.2，所以 0.8－0.1＜0.8－0.2．请同学们用计算器验证一下答案是否正确？练习4 比较下列各题中两个值的大小：(1) 0.70.8　　0.70.7；(2) 1.1－2.1　　　1.1－2；(3) 如果2n＜2m，则n　　m．例2 求函数 y＝的定义域．解：要使函数有意义，则有3x－3≥0，所以 3x≥3，所以 x≥1．所以函数的定义域为 [1，＋∞)．练习5 求函数 y＝的定义域 教师板书课题．通过探究问题，教师强调指数函数的解析式y＝ax中，ax的系数是1．学生分组合作探究教师提出的问题．教师在学生分组探究的过程中要注意巡视指导．师：函数的图象是研究函数性质的有力工具，那么指数函数的图象是怎样的？如何作指数函数的图象呢？教师引导学生一起把描出的点用光滑的曲线连接起来，得到指数函数y＝2x的图象．重复描点、连线的步骤，在同一坐标系中完成指数函数y＝()x的图象．同学分组完成练习2，教师巡查指导．学生完成题目后，利用实物投影将学生的解答投影到屏幕．师：指数函数：y＝2x，y＝()x，y＝3x与y＝()x的图象有什么共同的特征？又有哪些不同？师：你能用学过的数学语言来表示这些函数的性质吗？教师引导学生用数学语言来表示这些函数的性质．学生分组，采用小组合作形式完成．师生共同完成该表．全体学生一起回答．教师强调：对于比较大小的问题，若是底数相同，通过构造一个指数函数，用指数函数单调性来解决．学生画图验证．学生用计算器验证．学生练习并解答．学生体会求定义域的方法． 由实例的引入，进而归纳出这种自变量在指数位置上的函数——指数函数．对于a＞0，且a≠1这一点，学生容易忽略，通过讨论研究，可以加深学生的印象，从而把新旧知识衔接得更好．同时又可以强化学生对指数函数的定义的理解记忆．让学生完成画图过程，从画图过程中加深对指数函数的感性认识．有条件的学校可以让学生通过计算机画图软件上机操作．为了学习指数函数的性质，先引导学生观察四个函数的图象特征，从而顺理成章地总结出指数函数的性质，这符合人认识问题的一般规律：由特殊到一般，学生很容易接受．锻炼学生的口头表达能力以及文字语言与数学语言的转化能力．设置本练习其目的为了进一步强化学生对指数函数性质的掌握．通过构造指数函数来比较两值的大小，并让学生采用不同的途径来进行检验．增加本例为学生顺利解答课后相关练习及习题做基础．加深训练．
小结：1．指数函数的定义；2．指数函数的图象与性质；3．应用：(1) 比较大小；(2) 求函数的定义域． 师生共同回顾本节主要内容，加深理解指数函数的概念、图象与性质． 简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆．
作业：1． 必做题：教材 P102，练习 A 组 第2题；选做题：教材 P102，练习 B 组 第2题．2．计算机上的练习在同一坐标系中画出函数y＝10x与y＝()x的图象，并指出这两个函数各有什么性质以及它们的图象关系(操作步骤参照教材167页)． 标记作业． 针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题和计算机上的练习两层．
七、教学评价设计
课后学生采用等级评价的方式进行自我评价，评价时参照如下评价量化表。评价等级（得分）优（5分）良（4分）中（3分）差（2分）我能认真听老师讲课，听同学发言。认真专注专注一般分心遇到能回答的问题我能举手积极主动参与能主动参与态度一般较差我发言时声音响亮，表达清楚。自由表达表达不主动表达不能表达我能积极参与小组讨论活动，积极参与善于表达参与被动参与不参与我能与他人合作善于合作能合作被动合作不合作善于思考，并能有条理的表达自己的不同看法独立思考，有条理的表达自己的不同看法。独立思考，有自己的不同看法独立思考不能思考我敢指出同学错误的解答 积极指出会指出指出指不出我能常得到老师的表扬，同学的赞扬。经常较多有时很少
八、板书设计
4.1.3 指数函数一、指数函数的定义一般地，函数y＝ax (a＞0且a1，xR)叫做指数函数．其中x是自变量，定义域为R．练习1 指出下列函数哪些是指数函数：(1) y＝43x；　　(2) y＝x； (3) y＝0.3x；　　(4) y＝x3．二、指数函数的图象和性质a＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋)定点(0，1)单调性增函数减函数x≥0时，y≥1；x＜0时，0＜y＜1X≥0时，0＜y≤1；x＜0时，y＞1例1 用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：(1) 1.72.5和1.73； (2) 0.8－0.1和0.8－0.2．例2 求函数 y＝的定义域．
九、实践反思关于的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是y＝ax (a＞0且a1，xR) 的样子,不能有一点差异, 对底数a 的限制条件的理解与认识也是认识的重要内容.如果有可能尽量让学生自己去研究对底数,指数都有什么限制要求,教师再给予补充或用具体例子加以说明,因为对这个条件的认识不仅关系到对指数函数的认识及性质的分类讨论,还关系到后面学习对数函数中底数的认识,所以一定要真正了解它的由来.关于图象的绘制,虽然是用列表描点法,但在具体教学中应避免描点前的盲目列表计算,也应避免盲目的连点成线,要把表列在关键之处,要把点连在恰当之处,所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简单的讨论,取得对要画图象的存在范围,大致特征,变化趋势的大概认识后,以此为指导再列表计算,描点得图象.本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。 教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率。本课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的动态过程，让学生直观观察底数对指数函数单调性的影响。
y＝( EQ \F(1,2))x
x
y
1
2
3
－1
－2
－3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
O
y＝2x
y＝1
x
y
(0,1)
O
y＝1
x
y
(0,1)
O
y＝1
x
y
(0,1)
O
y＝1
x
y
(0,1)
O

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