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等腰三角形 知识点
一、定义
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。这两条相等的边称为三角形的腰，另一边称为底边。两腰之间的夹角称为顶角，腰与底边之间的夹角称为底角。
二、性质
等腰三角形的两个底角相等：这是等腰三角形的基本性质，也称为“等边对等角”。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合：这一性质通常简称为“三线合一”。这一性质使得等腰三角形在作图、计算和证明中都有许多便利之处。
等腰三角形的对称性：等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是顶角的平分线所在的直线。由于这一性质，等腰三角形在几何图形中具有重要的地位。
三、特殊性质
等边三角形：是特殊的等腰三角形，即三边都相等的三角形。等边三角形的三个角都相等，且每个角都为60°。
等腰直角三角形：是有一个角为直角的等腰三角形。这种三角形具有所有等腰三角形的性质，同时还具有所有直角三角形的性质。
四、判定定理
定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
等角对等边：在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。这是判定等腰三角形的重要定理之一。
五、相关概念
三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的中线：三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。
三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
六、其他性质
等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
经典例题1
题目：已知等腰三角形ABC中，AB = AC，且∠A = 70°，求∠B和∠C的度数。
分析：
识别等腰三角形：首先，根据题目条件，ABC是等腰三角形，且AB = AC。
应用等腰三角形性质：等腰三角形的两个底角相等，即∠B = ∠C。
利用三角形内角和定理：三角形的三个内角之和为180°。因此，在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°。
代入已知条件求解：由于∠A = 70°，且∠B = ∠C，我们可以将∠B和∠C看作一个未知数，设为x。则方程变为70° + 2x = 180°。
解方程得解：解这个方程，我们得到x = 55°。因此，∠B = 55°，∠C = 55°。
经典例题2
题目：在等腰三角形ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线，若AB = 10cm，BC = 16cm，求AD的长度。
分析：
识别等腰三角形及其中线：根据题目条件，ABC是等腰三角形，AB = AC，且AD是BC边上的中线。
利用等腰三角形“三线合一”性质：在等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。因此，AD也是BC边上的高和∠BAC的平分线。
利用直角三角形性质求解：由于AD是BC边上的高，且BC = 16cm（已知BC为底边，中线AD将其平分，但此题中我们不需要直接使用这一性质来求解AD），我们可以将△ABD看作一个直角三角形。在这个直角三角形中，AB是斜边，BD是直角边（BD = BC/2 = 8cm，因为AD是中线）。
利用勾股定理求解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，有AB = AD + BD 。代入已知条件AB = 10cm和BD = 8cm，我们可以求出AD的长度。即10 = AD + 8 ，解得AD = 36，所以AD = 6cm。
经典例题3
题目：在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°，求∠B和∠C的度数。
分析：
识别等腰三角形：虽然题目没有直接说明ABC是等腰三角形，但给出了AB = AC这一条件，因此我们可以确定ABC是等腰三角形。
应用等腰三角形性质：等腰三角形的两个底角相等，即∠B = ∠C。
利用三角形内角和定理：三角形的三个内角之和为180°。在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠C = 180°。
代入已知条件求解：由于∠BAC = 120°，且∠B = ∠C，我们可以将∠B和∠C看作一个未知数，设为x。则方程变为120° + 2x = 180°。
解方程得解：解这个方程，我们得到x = 30°。因此，∠B = 30°，∠C = 30°。
练习
1.如图，ΔABC和ΔDEC均为等边三角形，∠ADB=80°.
（1）求证：ΔDAC≌ΔEBC；
（2）求∠DBE的度数．
2.如图，线段AB,DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC=∠EDC=72°,∠AEB=92°.
（1）求证：BD=AE
（2）求∠EBD的度数．
3.如图，在RtΔABC中，AB=AC,D是AC边上一点，AE⊥BD于点F，O是BC边的中点，求∠BFO的度数.
4.如图，在四边形ABCD中，AC=BC=BD,AC⊥BDD于点E.
（1）求证：∠ACB=2∠ABD
（2）AB=6，求ΔABD的面积.
5．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且，BD平分∠GBE，AD∥BE，连接CD．
求证：
（1）；
（2）CD平分∠ACE．
6.如图，在四边形ABCD中，，连接对角线AC，E为CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，AF平分.
（1）求证：.
（2）判断AF与CD的位置关系，并说明理由.
7．如图在中、，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与相交于点．
（1）若、求的周长；
（2）若，求的度数．

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