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九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
21.3实际问题与一元二次方程（2）
学习目标：
1.根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。
2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。
老师告诉你
1.增长率、降低率问题的规律：
平均增长（降低）率问题
①设基数为，平均增长率为，则第一次增长后的值为，两次增长后的值为，依次类推，次增长后的值为．
②设基数为，平均降低率为，则第一次降低后的值为，两次降低后的值为，依次类推，次降低后的值为
2.面积问题应注意三点：
（1）图形的面积公式是基本的等量关系
（2）利用平移的性质把零散的图形拼接在一起
（3）取舍根时注意图形中边长的限制。
一、知识点拨
知识点1 增长率问题
增长率问题：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数，
原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。
【新知导学】
例1-1．某市2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x,则下面所列方程正确的是（　　）
A. 2.7（1+x）2=2.36 B. 2.36（1+x）2=2.7
C. 2.7（1-x）2=2.36 D. 2.36（1-x）2=2.7
例1-2．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x,则根据题意，下列方程正确的是（　　）
A. 16（1-x）2=9 B. 16（1-x2）=9
C. 9（1-x）2=16 D. 9（1+x2）=16
【对应导练】
1．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
（2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
2．某公司今年1月的成本价格是万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月的成本价格为万元，若已知该公司2、3、4月每个月成本价格下降率相同．
（1）求每个月成本价格的下降率；
（2）若4月以后均保持此趋势下降，令成本为c（单位：万元），时间为t（单位：月），其中，请分析判断c关于t的函数类型并求出函数c的解析式．
知识点2 面积问题
利用勾股定理建立一元二次方程。
利用面积公式建立二元一次方程。
【新知导学】
例2-1．为加快推动城市生态建设的步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依，林路相随”的生态格局，昆明市政府计划在某公园的一块矩形空地上修建草坪，如图，矩形长为50m,宽为40m,在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1824m2，道路的宽度应为多少？设矩形地块四周道路的宽度为x m,根据题意，下列方程正确的是（　　）
A. 2000-（100x+80x+4x2）=1824 B. （50-x）（40-x）=1824
C. 100x+2x（40-2x）=1824 D. （50-2x）（40-2x）=1824
例2-2．如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD，剪去图中阴影部分的四个全等的直角三角形，再沿图中虚线折起，可以得到一个长方体盒子（A，B，C，D正好重合于上底面一点，且AE=BF）若所得到的长方体盒子的表面积为11cm2，则线段AE=_____．
例2-3．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=16cm,BC=8cm,一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【对应导练】
1．如图，某学校有一块长35米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为米，根据题意可列方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
2．现要在一个长为40m,宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为864m2，那么小道的宽度应是_____m.
3．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为13m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为x m（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
4．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=4cm,动点P从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点A开始沿边AC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别从C、A两点同时出发，移动时间为t（单位：s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值；
（2）问：△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
二、题型训练
增长率的应用
1．如图是某公司去年8-12月份生产成本统计图，设9-11月每个月生产成本的下降率都为x,根据图中信息，得到x所满足的方程是（　　）
A. 15（1+x）2=30 B. 30（1-2x）2=15
C. 30（1-x）2=15 D. 15（1+2x）2=30
2．2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为x,则可列方程为（　　）
A. 600（1+2x）=2850
B. 600（1+x）2=2850
C. 600+600（1+x）+600（1+x）2=2850
D. 2850（1-x）2=600
面积问题的应用
3．如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m,边BC的长为25m,该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m2，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为x m,下列方程正确的是（　　）
A. （40-3x）（25-2x）=200 B. （40-4x）（25-2x）=600
C. 40×25-80x-100x+8x2=200 D. 40×25-80x-100x=600
4．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm.
5．如图，客轮沿折线A─B─C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮，两船同时起航，并同时到达折线A─B─C上的某点E处，已知AB=BC=200海里，∠ABC=90°，客轮速度是货轮速度的2倍．
（1）选择：两船相遇之处E点 _____
A、在线段AB上；
B、在线段BC上；
C、可以在线段AB上，也可以在线段BC上．
（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？
6．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=x m.
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
三、牛刀小试
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．为了美化环境，2021年某市的绿化投资额为20万元，2023年的绿化投资额为45万元，则这两年该市绿化投资额的年平均增长率为（　　）
A. 40% B. 50% C. 60% D. 70%
2．如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m,设雕像下部高x m,则可列方程为（　　）
A. x2=2x（2-x） B. 2x=x（2-x）
C. x2=2（2-x） D. x2=2（2+x）
3．“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（　　）
A. w=（99-x）[200+10（x-50）]
B. w=（x-50）[200+10（99-x）]
C. w=（x-50）（200+×10）
D. w=（x-50）（200+×10）
4．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x,则根据题意，下列方程正确的是（　　）
A. 16（1-x）2=9 B. 16（1-x2）=9
C. 9（1-x）2=16 D. 9（1+x2）=16
5．某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x,那么可列出方程是（　　）
A. 20（1+2x）=31.2 B. 20（1+2x）-20=31.2
C. 20（1+x）2=31.2 D. 20（1+x）2-20=31.2
6．在应用一元二次方程解决问题时，老师展示出一张图片如图所示，在矩形纸片上截去两个同样大小的圆，要求使两圆的面积和是剩余面积的一半，已知矩形的长和宽分别为80mm和60mm,圆的半径为xmm,根据题意列方程为（　　）
A. B.
C. D.
7．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（　　）
A. x2-9x+8=0 B. x2-9x-8=0 C. 2x2-9x+8=0 D. x2+9x-8=0
8．如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（　　）
A. 32×12-32x-12x=300 B. （32-x）（12-x）+x2=300
C. （32-x）（12-x）=300 D. 2（32-x+12-x）=300
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国．今年6月份盈利12000元，8月份盈利27000元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x,根据题意，可列方程为 _____．
10．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．按此比例设计一座高度为3米的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是______米．（结果精确到0.1米）
11．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为15m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成．为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，则所围矩形猪舍的长为 _____宽为 _____时面积为96m2．
12．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=8cm,动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到_____秒时，点P和点Q的距离是10cm.
13．五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是_____cm2．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）如图，有一农户要建一个长方形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门．
（1）若，则长方形的边长分别为多少时，鸡舍的面积为？
（2）问a的值在什么范围内时，题（1）的解有两个解？一个解？无解？
15．（8分）如图，小烨用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为6cm，长BC为10cm．当小烨折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？
16．（8分）某公司今年1月的成本价格是万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月的成本价格为万元，若已知该公司2、3、4月每个月成本价格下降率相同．
（1）求每个月成本价格的下降率；
（2）若4月以后均保持此趋势下降，令成本为c（单位：万元），时间为t（单位：月），其中，请分析判断c关于t的函数类型并求出函数c的解析式．
17．（8分）为满足师生阅读需求，某校图书馆的藏书量不断增加，2020年年底的藏书量为5万册，2022年年底的藏书量为9.8万册．
（1）求该校这两年藏书的年均增长率；
（2）假设2023年该校藏书的年均增长率与前两年相同，请你预测到2023年年底该校的藏书量是多少？
18．（8分）某校准备在一块长为30米，宽为24米的矩形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路（阴影部分），四条小路围成的四边形恰好为一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，4条小路所占面积为80平方米．其余部分种植月季花．
（1）求小路的宽度．
（2）若修建小路的成本为每平方米100元，种植月季花的成本为每平方米45元．求此花圃的总成本．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB=m,BC=40m,∠C=90°，点P从点A开始沿边AC边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着边CB匀速移动，几秒时，△PCQ的面积等于432m2？
九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
21.3实际问题与一元二次方程（2）（解析版）
学习目标：
1.根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。
2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。
老师告诉你
1.增长率、降低率问题的规律：
平均增长（降低）率问题
①设基数为，平均增长率为，则第一次增长后的值为，两次增长后的值为，依次类推，次增长后的值为．
②设基数为，平均降低率为，则第一次降低后的值为，两次降低后的值为，依次类推，次降低后的值为
2.面积问题应注意三点：
（1）图形的面积公式是基本的等量关系
（2）利用平移的性质把零散的图形拼接在一起
（3）取舍根时注意图形中边长的限制。
人教版九年级数学上 点拨*训练
第11讲 实际问题与一元二次方程（2）（解析版）
学习目标：
1.根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。
2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。
二、老师告诉你
1.增长率、降低率问题的规律：
平均增长（降低）率问题
①设基数为，平均增长率为，则第一次增长后的值为，两次增长后的值为，依次类推，次增长后的值为．
②设基数为，平均降低率为，则第一次降低后的值为，两次降低后的值为，依次类推，次降低后的值为
2.面积问题应注意三点：
（1）图形的面积公式是基本的等量关系
（2）利用平移的性质把零散的图形拼接在一起
（3）取舍根时注意图形中边长的限制。
一、知识点拨
知识点1 增长率问题
增长率问题：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数，
原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。
【新知导学】
例1-1．某市2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x,则下面所列方程正确的是（　　）
A. 2.7（1+x）2=2.36 B. 2.36（1+x）2=2.7
C. 2.7（1-x）2=2.36 D. 2.36（1-x）2=2.7
【答案】B
【解析】利用2022年间每年人均可支配收入=2020年间每年人均可支配收入×（1+每年人均可支配收入的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：根据题意得2.36（1+x）2=2.7．
故选：B．
例1-2．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x,则根据题意，下列方程正确的是（　　）
A. 16（1-x）2=9 B. 16（1-x2）=9
C. 9（1-x）2=16 D. 9（1+x2）=16
【答案】A
【解析】设该药品平均每次降价的百分率为x,根据降价后的价格=降价前的价格×（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是16（1-x），第二次后的价格是16（1-x）2，据此即可列方程求解．
解：根据题意得：16（1-x）2=9，
故选：A．
【对应导练】
1．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
（2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
【解析】（1）利用平均增长率的等量关系：a（1+x）2=b,列式计算即可；
（2）利用总利润=单件利润×销售数量，列方程求解即可．
（1）解：设平均增长率为x,由题意得：256×（1+x）2=400，
解得：x=0.25或x=-2.25（舍）；
∴四、五这两个月的月平均增长百分率为25%；
（2）解：设降价y元，由题意得：（40-y-25）（400+5y）=4250，
整理得：y2+65y-350=0，
解得：y=5或y=-70（舍）；
∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．
2．某公司今年1月的成本价格是万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月的成本价格为万元，若已知该公司2、3、4月每个月成本价格下降率相同．
（1）求每个月成本价格的下降率；
（2）若4月以后均保持此趋势下降，令成本为c（单位：万元），时间为t（单位：月），其中，请分析判断c关于t的函数类型并求出函数c的解析式．
【答案】（1）
（2）一次函数．．
【解析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据1月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）设出一次函数，代入点，即可得出结论，注意取值范围．
【小问1详解】
解：设下降百分率为x．
由题意，
解得．
检验：，不符题意，舍去．
．
答：每个月成本下降率为20％．
【小问2详解】
解：成本与时间的图象趋势为一条单调递减的直线，为一次函数．
取点，，
设解析式，
将两点代入得
解得，．
．
【点睛】本题考查了一元二次方程应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
知识点2 面积问题
利用勾股定理建立一元二次方程。
利用面积公式建立二元一次方程。
【新知导学】
例2-1．为加快推动城市生态建设的步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依，林路相随”的生态格局，昆明市政府计划在某公园的一块矩形空地上修建草坪，如图，矩形长为50m,宽为40m,在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1824m2，道路的宽度应为多少？设矩形地块四周道路的宽度为x m,根据题意，下列方程正确的是（　　）
A. 2000-（100x+80x+4x2）=1824 B. （50-x）（40-x）=1824
C. 100x+2x（40-2x）=1824 D. （50-2x）（40-2x）=1824
【答案】D
【解析】根据在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1824m2，列一元二次方程即可．
解：根据题意，得（50-2x）（40-2x）=1824，
故选：D．
例2-2．如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD，剪去图中阴影部分的四个全等的直角三角形，再沿图中虚线折起，可以得到一个长方体盒子（A，B，C，D正好重合于上底面一点，且AE=BF）若所得到的长方体盒子的表面积为11cm2，则线段AE=_____．
【答案】0.5cm
【解析】设AE=BF=x cm,由题意可得，长方体盒子的底面为正方形，其边长为x cm,长方体盒子的高为cm,根据长方体盒子的表面积为11cm2列出方程，即可得出线段AE的长．
解：设AE=BF=x cm,
由题意可得，长方体盒子的底面为正方形，其边长为x cm,长方体盒子的高为cm,
∵得到的长方体盒子的表面积为11cm2，
∴2[2x2+x（6-2x）+x（6-2x）]=11，
整理得：4x2-24x+11=0，
解得x=0.5或x=5.5（舍去），
故线段AE=0.5cm.
故答案为：0.5cm.
例2-3．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=16cm,BC=8cm,一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【解析】（1）当运动时间为t s时，CP=2t,CQ=（16-4t）cm,根据△PCQ的面积是△ABC面积的，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）△PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等，根据△PCQ的面积与四边形ABPQ面积相等（即△PCQ的面积是△ABC面积的），即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ=-16＜0，即可得出该方程没有实数根．进而可得出△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等．
解：（1）当运动时间为t s时，CP=2t,CQ=（16-4t）cm,
根据题意得：×2t（16-4t）=××8×16，
整理得：t2-4t+4=0，
解得：t1=t2=2．
答：t的值为2．
（2）△PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等，理由如下：
当运动时间为t s时，CP=2t,CQ=（16-4t）cm,
根据题意得：×2t（16-4t）=××8×16，
整理得：t2-4t+8=0，
∵Δ=（-4）2-4×1×8=-16＜0，
∴该方程没有实数根．
∴△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等．
【对应导练】
1．如图，某学校有一块长35米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为米，根据题意可列方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设小道的宽为米，则剩余部分可合成长米，宽米的长方形，根据种植面积为600平方米，列出关于的一元二次方程即可.
解：设小道的宽为米，则剩余部分可合成长米，宽米的长方形，
依题意得：.
故选：C.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、列出一元二次方程是解答本题的关键.
2．现要在一个长为40m,宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为864m2，那么小道的宽度应是_____m.
【答案】2
【解析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为864m2列出方程求解即可．
解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（40-2x）（26-x）=864，
整理，得x2-46x+88=0．
解得，x1=2，x2=44．
∵44＞40（不合题意，舍去），
∴x=2．
答：小道进出口的宽度应为2米．
故答案为：2．
3．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为13m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为x m（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【解析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为2x m,长为=（8-x） m,可得（x+2x）×（8-x）=36，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是y m2，根据墙的长度为13，可得0＜x≤，根据题意得出函数解析式，由二次函数性质求最值．
解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2x m,长为=（8-x） m,
∴（x+2x）×（8-x）=36，
解得x=2或x=6，
经检验，x=6时，3x=18＞13不符合题意，舍去，
∴x=2，
答：此时x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是y m2，
∵墙的长度为13m,
∴0＜x≤，
根据题意得：y=（x+2x）×（8-x）=-3x2+24x=-3（x-4）2+48，
∵-3＜0，
∴当x=时，y取最大值，最大值为-3×（-4）2+48=（m2），
答：当x=时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．
4．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=4cm,动点P从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点A开始沿边AC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别从C、A两点同时出发，移动时间为t（单位：s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值；
（2）问：△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
【解析】（1）当运动时间为t s时，CP=t cm,AQ=2t cm,CQ=（8-2t）cm,根据△PCQ的面积是△ABC面积的，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）△PCQ的面积不能为△ABC面积的一半，根据△PCQ的面积是△ABC面积的，即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ=-16＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．
解：（1）当运动时间为t s时，CP=t cm,AQ=2t cm,CQ=（8-2t）cm,
根据题意得：CP CQ=×BC AC，
即t（8-2t）=××4×8，
整理得：t2-4t+4=0，
解得：t1=t2=2．
答：t的值为2．
（2）△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半，理由如下：
根据题意得：CP CQ=×BC AC，
即t（8-2t）=××4×8，
整理得：t2-4t+8=0，
∵Δ=（-4）2-4×1×8=-16＜0，
∴该方程没有实数根，
∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．
二、题型训练
增长率的应用
1．如图是某公司去年8-12月份生产成本统计图，设9-11月每个月生产成本的下降率都为x,根据图中信息，得到x所满足的方程是（　　）
A. 15（1+x）2=30 B. 30（1-2x）2=15
C. 30（1-x）2=15 D. 15（1+2x）2=30
【答案】C
【解析】设9～11月每个月生产成本的下降率都为x,根据该公司9月份及11月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程．
解：设每个月生产成本的下降率为x,
根据题意得：30（1-x）2=15，
故选：C．
2．2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为x,则可列方程为（　　）
A. 600（1+2x）=2850
B. 600（1+x）2=2850
C. 600+600（1+x）+600（1+x）2=2850
D. 2850（1-x）2=600
【答案】C
【解析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于2850，列方程即可．
解：设进馆人次的月平均增长率为x,则由题意得：
600+600（1+x）+600（1+x）2=2850．
故选：C．
面积问题的应用
3．如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m,边BC的长为25m,该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m2，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为x m,下列方程正确的是（　　）
A. （40-3x）（25-2x）=200 B. （40-4x）（25-2x）=600
C. 40×25-80x-100x+8x2=200 D. 40×25-80x-100x=600
【答案】B
【解析】由人行通道的宽度为x m,可得出每个展位的长为（25-2x）m,宽为m,根据每个展位的面积都为200m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵人行通道的宽度为x m,
∴每个展位的长为（25-2x）m,宽为m.
依题意得： （25-2x）=200，
即（40-4x）（25-2x）=600．
故选：B．
4．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm.
【解析】（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=（16-3x）cm,QC=2xcm,根据梯形的面积公式可列方程：（16-3x+2x）×6=33，解方程可得解；
（2）作QE⊥AB，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．
解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，
则PB=（16-3x）cm,QC=2xcm,
根据梯形的面积公式得（16-3x+2x）×6=33，
解之得x=5，
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm,
作QE⊥AB，垂足为E，
则QE=AD=6，PQ=10，
∵PA=3t,CQ=BE=2t,
∴PE=AB-AP-BE=|16-5t|，
由勾股定理，得（16-5t）2+62=102，
解得t1=4.8，t2=1.6．
答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm.
5．如图，客轮沿折线A─B─C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮，两船同时起航，并同时到达折线A─B─C上的某点E处，已知AB=BC=200海里，∠ABC=90°，客轮速度是货轮速度的2倍．
（1）选择：两船相遇之处E点 _____
A、在线段AB上；
B、在线段BC上；
C、可以在线段AB上，也可以在线段BC上．
（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？
【答案】B
【解析】（1）连接BD，则△ABD是等腰直角三角形，假设E为AB的中点，有AB=2DE，此时DE最短；假设E点在线段AB上，但不在中点，根据已知客轮速度是货轮速度的2倍可得AE=2DE，由假设E为AB的中点，有AB=2DE得出AE=AB，很明显假设不成立．故E点不在AB上，应该在线段BC上；
（2）设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里，过D点作DF⊥CB于F，连接DE，则DE=x,AB+BE=2x,根据D点是AC的中点，得DF=AB=100，EF=400-100-2x,在Rt△DFE中，DE2=DF2+EF2，得x2=1002+（300-2x）2解方程求解即可．
解：（1）两船相遇之处E点在线段BC上．
故答案为：B．
（2）设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里，过D点作DF⊥CB于F，连接DE，则DE=x,AB+BE=2x,
∵D点是AC的中点，
∴DF=AB=100，EF=400-100-2x,
在Rt△DFE中，DE2=DF2+EF2，得x2=1002+（300-2x）2，
解得x=200±，
∵200+＞100（舍去），
∴DE=200-．
答：货轮从出发到两船相遇共航行了（200-）海里．
6．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=x m.
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
【解析】（1）根据题意得出长×宽=192，进而得出答案；
（2）由题意可得出：S=x（28-x）=-x2+28x=-（x-14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值．
解：（1）∵AB=x,则BC=（28-x），
∴x（28-x）=192，
解得：x1=12，x2=16，
答：x的值为12或16；
（2）∵AB=xm,
∴BC=28-x,
∴S=x（28-x）=-x2+28x=-（x-14）2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m,
∵28-15=13，
∴6≤x≤13，
∴当x=13时，S取到最大值为：S=-（13-14）2+196=195，
答：花园面积S的最大值为195平方米．
三、牛刀小试
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．为了美化环境，2021年某市的绿化投资额为20万元，2023年的绿化投资额为45万元，则这两年该市绿化投资额的年平均增长率为（　　）
A. 40% B. 50% C. 60% D. 70%
【答案】B
【解析】设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x,利用2023年该市的绿化投资额=2021年该市的绿化投资额×（1+这两年该市绿化投资额的年平均增长率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x,
根据题意得：20（1+x）2=45，
解得：x1=0.5=50%，x2=-2.5（不符合题意，舍去），
∴这两年该市绿化投资额的年平均增长率为50%．
故选：B．
2．如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m,设雕像下部高x m,则可列方程为（　　）
A. x2=2x（2-x） B. 2x=x（2-x）
C. x2=2（2-x） D. x2=2（2+x）
【答案】C
【解析】设雕像下部高为x m,则雕像上部高为（2-x）m,根据雕像的上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设雕像下部高为x m,则雕像上部高为（2-x）m,
根据题意得：=，即x2=2（2-x）．
故选：C．
3．“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（　　）
A. w=（99-x）[200+10（x-50）]
B. w=（x-50）[200+10（99-x）]
C. w=（x-50）（200+×10）
D. w=（x-50）（200+×10）
【答案】D
【解析】设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），根据每件利润=实际售价-成本价，销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，总利润=每件利润×销售数量，即可得出w与x之间的函数解析式．
解：设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），
则每件盈利（x-50）元，每天可销售（200+×10）件，
根据题意得：w=（x-50）（200+×10），
故选：D．
4．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x,则根据题意，下列方程正确的是（　　）
A. 16（1-x）2=9 B. 16（1-x2）=9
C. 9（1-x）2=16 D. 9（1+x2）=16
【答案】A
【解析】设该药品平均每次降价的百分率为x,根据降价后的价格=降价前的价格×（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是16（1-x），第二次后的价格是16（1-x）2，据此即可列方程求解．
解：根据题意得：16（1-x）2=9，
故选：A．
5．某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x,那么可列出方程是（　　）
A. 20（1+2x）=31.2 B. 20（1+2x）-20=31.2
C. 20（1+x）2=31.2 D. 20（1+x）2-20=31.2
【答案】D
【解析】根据“2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆”列方程求解．
解：由题意得：20（1+x）2-20=31.2，
故选：D．
6．在应用一元二次方程解决问题时，老师展示出一张图片如图所示，在矩形纸片上截去两个同样大小的圆，要求使两圆的面积和是剩余面积的一半，已知矩形的长和宽分别为80mm和60mm,圆的半径为xmm,根据题意列方程为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据圆的面积公式和矩形面积公式结合两圆的面积和是剩余面积的一半，列出方程即可．
解：由题意得，
故选：C．
7．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（　　）
A. x2-9x+8=0 B. x2-9x-8=0 C. 2x2-9x+8=0 D. x2+9x-8=0
【答案】A
【解析】设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米2，列出一元二次方程．
解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（18-3x）（6-2x）=60，
化简整理得，x2-9x+8=0．
故选：A．
8．如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（　　）
A. 32×12-32x-12x=300 B. （32-x）（12-x）+x2=300
C. （32-x）（12-x）=300 D. 2（32-x+12-x）=300
【答案】C
【解析】根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于长为（32-x）米、宽（12-x）米的矩形面积，结合草坪的面积为300平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵道路的宽为x米，
∴铺设草坪的面积等于长为（32-x）米、宽（12-x）米的矩形面积．
∵草坪的面积为300平方米，
∴（32-x）（12-x）=300．
故选：C．
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国．今年6月份盈利12000元，8月份盈利27000元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x,根据题意，可列方程为 _____．
【答案】12000（1+x）2=27000
【解析】利用今年8月份的盈利=今年6月份的盈利×（1+6月份到8月份盈利的月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意得12000（1+x）2=27000，
故答案为：12000（1+x）2=27000．
10．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．按此比例设计一座高度为3米的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是______米．（结果精确到0.1米）
【答案】1.9
【解析】设下部高为米，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．
设下部高为米，则上部高度是米，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
∴，
解得：或（舍去），
经检验，是原方程的解，
∴
故答案为：1.9
【点睛】本题考查黄金分割及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程解决问题．
11．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为15m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成．为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，则所围矩形猪舍的长为 _____宽为 _____时面积为96m2．
【答案】(1)12m;(2)8m;
【解析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为x m,可以得出平行于墙的一边的长为（27-2x+1）m.根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．
解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为x m,
可以得出平行于墙的一边的长为（27-2x+1）m,
由题意得x（27-2x+1）=96，
解得：x1=6，x2=8．
当x=6时，27-2x+1=16＞15（舍去），
当x=8时，27-2x+1=12．
答：当所围矩形猪舍的长为12m宽为8m时面积为96m2．
故答案为：12m,8m.
12．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=8cm,动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到_____秒时，点P和点Q的距离是10cm.
【答案】2或
【解析】设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm,此时AP=3xcm,DQ=（16-2x）cm,利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm,此时AP=3xcm,DQ=（16-2x）cm,
根据题意得：（16-2x-3x）2+82=102，
解得：x1=2，x2=．
答：当P、Q两点从出发开始到2秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm.
故答案为：2或．
13．五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是_____cm2．
【答案】9
【解析】设小长方形的长为xcm,宽为xcm,根据大长方形的周长结合图形可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据正方形的面积公式即可得出结论．
解：设小长方形的长为xcm,宽为xcm,
根据题意得：（x+2×x） x=135，
解得：x=9或x=-9（舍去），
则x=3．
所以3×3=9（cm 2）．
故答案为：9．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）如图，有一农户要建一个长方形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门．
（1）若，则长方形的边长分别为多少时，鸡舍的面积为？
（2）问a的值在什么范围内时，题（1）的解有两个解？一个解？无解？
【答案】（1）长方形鸡舍的长为，宽为
（2），解有两个；，解有一个；无解
【解析】（1）设宽为，根据所用篱笆长为得长为，再由解出x的值，再判断其小于12则符合；
（2）根据（1）知，长方形中平行于墙的边长为或为临界点可分为三个范围分别是，解有两个，，解有一个，无解．
【小问1详解】
解：设长方形鸡舍垂直于房墙的一边长为，则长方形鸡舍的另一边长为．
依题意，得，
解得．
当时，（舍去），
当时，．
答：长方形鸡舍的长为，宽为；
【小问2详解】
解：由（1）知，长方形中平行于墙的边长为或，
∴当时，（1）中的解有两个，
当时，（1）中的解有一个，
当时，无解．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键在于找准等量关系建立方程．
15．（8分）如图，小烨用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为6cm，长BC为10cm．当小烨折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？
【答案】cm.
【解析】结合题意，根据矩形的性质和折叠的性质，得到AF、AB的长度，再由勾股定理得到方程，求解即可得到答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6cm，AD=CB=10cm．
由折叠方法可知：AD=AF=10cm，DE=EF，
设EC=xcm，则EF=ED=（6﹣x）cm，AF=AD=10cm，
在Rt△ABF中，由勾股定理可知：BF==8（cm），
则CF=BC﹣BF=10﹣8=2（cm）．
在Rt△CEF中，由勾股定理可知：CF2+CE2=EF2，
即22+x2=（6﹣x）2，
解得x=，
即cm．
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、一元二次方程，解题的关键是熟悉翻折变换、矩形的性质，掌握勾股定理、一元二次方程的应用.
16．（8分）某公司今年1月的成本价格是万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月的成本价格为万元，若已知该公司2、3、4月每个月成本价格下降率相同．
（1）求每个月成本价格的下降率；
（2）若4月以后均保持此趋势下降，令成本为c（单位：万元），时间为t（单位：月），其中，请分析判断c关于t的函数类型并求出函数c的解析式．
【答案】（1）
（2）一次函数．．
【解析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据1月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）设出一次函数，代入点，即可得出结论，注意取值范围．
【小问1详解】
解：设下降百分率为x．
由题意，
解得．
检验：，不符题意，舍去．
．
答：每个月成本下降率为20％．
【小问2详解】
解：成本与时间的图象趋势为一条单调递减的直线，为一次函数．
取点，，
设解析式，
将两点代入得
解得，．
．
【点睛】本题考查了一元二次方程应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
17．（8分）为满足师生阅读需求，某校图书馆的藏书量不断增加，2020年年底的藏书量为5万册，2022年年底的藏书量为9.8万册．
（1）求该校这两年藏书的年均增长率；
（2）假设2023年该校藏书的年均增长率与前两年相同，请你预测到2023年年底该校的藏书量是多少？
【解析】（1）设该校这两年藏书的年平均增长率为x,利用该校图书馆2021年底的藏书量=该校图书馆2020年底的藏书量×（1+这两年藏书的年平均增长率）2，列出一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）利用该校图书馆2023年底的藏书量=该校图书馆2022年底的藏书量×（1+藏书的年平均增长率），即可得出结论．
解：（1）设该校这两年藏书的年平均增长率为x.
由题意得：5（1+x）2=9.8，
解得：x1=0.4=40%，x2=-2.4（不合题意，舍去），
答：这两年藏书的年平均增长率为40%；
（2）9.8×（1+40%）=13.72（万册）．
答：预测到2023年年底该校的藏书量是13.72万册．
18．（8分）某校准备在一块长为30米，宽为24米的矩形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路（阴影部分），四条小路围成的四边形恰好为一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，4条小路所占面积为80平方米．其余部分种植月季花．
（1）求小路的宽度．
（2）若修建小路的成本为每平方米100元，种植月季花的成本为每平方米45元．求此花圃的总成本．
【解析】（1）设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为4x米，由小路的面积=小路的宽×小路的总长度，且4条小路所占面积为80平方米，列出一元二次方程，解方程即可；
（2）求出种植部分的面积，再列式计算即可．
解：（1）设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为4x米，
由题意得：（30+4x+24+4x）x=80，
解得：x1=-8（不合题意，舍去），x2=1.25，
答：小路的宽度为1.25米．
（2）种植部分的面积为：30×24-80=640（平方米），
∴此花圃的总成本为：80×100+640×45=36800（元），
答：此花圃的总成本为36800元．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB=m,BC=40m,∠C=90°，点P从点A开始沿边AC边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着边CB匀速移动，几秒时，△PCQ的面积等于432m2？
【解析】在△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长度，设x秒时，△PCQ的面积等于432m2，根据三角形的面积公式，可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
解：在△ABC中，AB=m,BC=40m,∠C=90°，
∴AC==50m.
设x秒时，△PCQ的面积等于432m2，
依题意，得：×3x×（50-2x）=432，
解得：x1=9，x2=16．
∵3x＜40，
∴x＜13，
∴x=9．
答：9秒时，△PCQ的面积等于432m2．
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