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《8.2 数与形（二）》教学设计
课题 数与形（二） 单元 第八单元 学科 数学 年级 六年级
教材分析 例2中，先观察发现加数的规律，即第一个加数是，后面每个加数是前一个加数的。接下来，让学生通过计算，发现和的规律，即和为1减去最后一个加数，随着加数越来越多，和越来越接近于1。通过前面的计算，学生已经看到，越往后加，所得的结果越接近于1。但这个无限接近于1的数的具体值是多少？学生无法解答。教材呈现了圆形模型和线段模型来表示“1”，使学生结合分数的意义，在图上和线段上分别有规律地表示出这些加数，当这个过程无止境地持续下去时，所有的扇形和线段就会把整个圆和整条线段占满，即这些数相加之和为1。用画图的方式来表示计算的过程和结果，可以让学生直观地理解其中的道理。
学习目标 1.学习目标描述：在学习过程中探索研究数与形之间的联系，寻找规律，发现规律，学会利用图形来解决一些有关数的问题。2.学习内容分析：本节内容的学习使学生能借助图形解决一些比较抽象的、复杂的、不好解释的问题。为初高中学习方程组、函数、解析几何打下基础。3.学科素养核心分析：会用数形结合的思想，解决“用形解决数”的这类问题。在经历猜想与验证的过程，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。
重点 探索数与形之间的联系，寻找规律，并利用图形来解决有关数的问题。
难点 借助数形之间的联系发现用“形”解决“数”的问题的方法。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.复习旧知（1）运用学过的画图方法解释下面算式的结果。（2）算一算，填一填。+++=（ ）2.导入新课师：上节课，我们学习了有关数与图形之间的联系，发现了一些隐藏的数的规律，今天我们继续来研究数与形之间的规律。板书课题：数与形（二） 学生独自完成，然后集体订正。 通过复习旧知，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的知识做准备。
讲授新课 任务一：初步探索规律课件出示：++++++…师：观察上面的算式，数字之间有什么规律？师：还有不同的发现吗？展示：=× =× =× ……师：你能计算出这个算式的结果吗？师巡视，然后提问：大家有什么想说的？师：按照常规的方法计算，需要通分，这样连续相加，通分后分母的确很大，也容易出错，那么怎样巧妙解答呢 展示：+= += += ……师：大家发现什么规律了？ 学生：我发现这些分数的分子都是1，分母每次乘2倍。学生：从第二个数开始，每个数是前一个数的。学生独自计算。学生：通分后，分母太大了，计算太麻烦了。 学生：我一个一个加下去看看，答案好像有点规律。学生1：我发现 加下去，得数等于1减去最后一个加数。学生2：我还发现加下去，等号右边的分数越来越接近于 1。…… 引导学生先观察发现加数的规律，为后面的进一步探究做准备。让学生通过计算，发现和的规律，即和为1减去最后一个加数，随着加数越来越多，和越来越接近于1，培养学生的观察、分析、比较等思维能力。
任务二：借助图形探究计算方法师：其实，我们还可以画图来帮助思考。用一个圆或一条线段表示“1”。师讲解：用一个圆表示“1”，先取它的一半就是圆的，再取剩下部分的一半就是圆的，再取剩下部分的一半就是圆的……师：用一条线段表示“1”，然后在线段上分别有规律地表示出这些加数。 师：当这个过程无止境地持续下去时，会发生什么事？师：也就是说这些分数不断加下去，总和就是……根据学生的回答，课件出示：++++++…=1师：有些问题通过画图，把数字、算式转化为图形，利用图形解答，更简洁、直观。 学生独自思考，然后回答：所有的扇形和线段就会把整个圆和整条线段占满。学生：这些分数不断加下去总和就是 1。 让学生用画图的方式来表示计算的过程和结果，引导学生发现这些数相加之和为1，这样可以让学生直观地理解其中的道理。
课堂练习 基础题：1.请你根据上面的结论算一算。1－－－－－－1－－－－－－－…2.你能用所学知识解决下列问题吗？ ++++… 学生独自完成，然后集体订正。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，语言，有效应用。
提高题：3.一个皮球从10m高的地方落下，当球落地时会反弹上升，每次反弹上升的高度是前一次落地高度的。根据这个规律，当皮球第五次落地时，皮球在空中下落的路程一共有多少米？
拓展题 4.巧算。 －－－－－
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生自由说说。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书 数与形（二） ++++++…=1+= += →+=…… 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.下图能够大概表示汽车由静止发动，加速到一定速度匀速行驶一段距离后减速上坡，再加速下坡，然后逐渐减速到匀速行驶的一个过程的是( )。2.观察一组算式： 2×4=32－1 3×5=42－1 4×6=52－1 5×7=62－1 那么：2010×2012=（ ）2－1 选做题：1.计算：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=（ ）2.请将一根绳子沿中间对折，再沿对折的绳子中间再对折，这样连续对折5次，最后用剪刀沿对折5次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成多少段？
【综合实践类作业】《庄子·天下篇》中有一句话:“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”请把这句话的意思在一条线段中表示出来，说说你发现了什么。
得数=1－最后一个加数
加下去，等号右边的分数越来越接近于 1。
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第二课时
数与形（二）
（人教版）六年级
上
01
学习目标
内容总览
02
新知导入
03
探究新知
04
课堂练习
05
课堂总结
06
分层作业
核心素养目标
在学习过程中探索研究数与形之间的联系，寻找规律，发现规律，学会利用图形来解决一些有关数的问题。
01
02
用数形结合的思想，解决“用形解决数”的这类问题。
03
在经历猜想与验证的过程，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。
新知导入
1.运用学过的画图方法解释下面算式的结果。
× =___________
1
2
1
2
× =___________
3
4
1
3
1
4
1
4
新知导入
2.算一算，填一填。
1
2
1
4
1
8
1
16
1
2
1
4
1
8
1
16
+ + + =（ ）
15
16
学习任务一
初步探索规律
探究新知
计算 + + + + + +…。
2
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
观察上面的算式，数字之间有什么规律？
我发现这些分数的分子都是1，分母每次乘2倍。
探究新知
计算 + + + + + +…。
2
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
= ×
1
4
1
2
1
2
= ×
1
8
1
2
1
4
= ×
1
16
1
2
1
8
……
从第二个数开始，每个数是前一个数的 。
1
2
探究新知
计算 + + + + + +…。
2
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
你能计算出这个算式的结果吗？
通分后，分母太大了，计算太麻烦了。
探究新知
怎样巧妙解答？
计算 + + + + + +…。
2
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
我一个一个加下去看看，答案好像有点规律。
1
2
1
4
+ =
3
4
3
4
1
8
+ =
7
8
+ =
7
8
1
16
15
16
……
得数=1－最后一个加数
探究新知
计算 + + + + + +…。
2
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
+ =
7
8
1
16
15
16
……
+ =
15
16
1
32
31
32
+ =
31
32
1
64
63
64
加下去，等号右边的分数越来越接近于 1。
学习任务二
借助图形探究计算方法
探究新知
计算 + + + + + +…。
2
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
可以画图来帮助思考。用一个圆表示“1”。
…
探究新知
计算 + + + + + +…。
2
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
+…
还可以用一条线段表示“1”。
探究新知
当这个过程无止境地持续下去时，会发生什么事？
所有的扇形和线段就会把整个圆和整条线段占满。
探究新知
这些分数不断加下去总和就是 1。
+ + + + + +…=
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
1
探究新知
有些问题通过画图，把数字、算式转化为图形，利用图形解答，更简洁、直观。
课堂练习
基础题：
1.请你根据上面的结论算一算。
1－ － － － － －
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
=1－（ + + + + + ）
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
=1－
63
64
=
1
64
课堂练习
基础题：
1.请你根据上面的结论算一算。
1－ － － － － － －…
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
=1－（ + + + + + +…）
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
=1－1
=0
课堂练习
基础题：
2.你能用所学知识解决下列问题吗？
+ + + +…
2
3
2
9
2
27
2
81
+ =
2
3
2
9
8
9
……
+ =
8
9
2
27
26
27
+ =
26
27
2
81
80
81
所以：
+ + + +…=1
2
3
2
9
2
27
2
81
课堂练习
提高题：
3.一个皮球从10m高的地方落下，当球落地时会反弹上升，每次反弹上升的高度是前一次落地高度的 。根据这个规律，当皮球第五次落地时，皮球在空中下落的路程一共有多少米？
1
2
28.75（m）
10+10×（ + + + ）×2 =
1
2
1
4
1
8
1
16
答：皮球在空中下落的路程一共有28.75米。
课堂练习
拓展题：
4.巧算。
1
2
1
6
1
12
1
20
1
30
1
42
－ － － － －
=
1
7
1
2
1
3
1
4
1
3
1
4
1
2
1
5
1
6
1
5
1
6
1
7
= － + － + － + － + － +
课堂总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我发现有时“形”与“数”能相互解释。
我还知道当用数形结合的方法解决问题时，使许多问题的解决变得很简单。
板书设计
数与形（二）
+ + + + + +…=
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
1
1
2
1
4
+ =
3
4
3
4
1
8
+ =
7
8
+ =
7
8
1
16
15
16
……
得数=1－最后一个加数
加下去，等号右边的分数越来越接近于 1。
分层作业
【知识技能类作业】
必做题：
1.下图能够大概表示汽车由静止发动，加速到一定速度匀速行驶一段距离后减速上坡，再加速下坡，然后逐渐减速到匀速行驶的一个过程的是( )。
B
分层作业
【知识技能类作业】
必做题
2. 观察一组算式：
2×4=32－1
3×5=42－1
4×6=52－1
5×7=62－1
那么：2010×2012=（ ）2－1
2011
分层作业
【知识技能类作业】
选做题：
1.计算：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=（ ）
2+4=6=22+2
2+4+6=12=32+3
2+4+6+8=20=42+4
从2起连续偶数的和等于偶数个数的平方加偶数个数，即( n2+n )。
110
【知识技能类作业】
选做题：
2.请将一根绳子沿中间对折，再沿对折的绳子中间再对折，这样连续对折5次，最后用剪刀沿对折5次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成多少段？
对折1次，将绳子中间剪断，绳子被剪成3段。
对折2次，沿绳子中间剪断，绳子被剪成5段。
对折3次，沿绳子中间剪断，绳子被剪成9段。
……
对折n次后，沿绳子中间剪断，绳子被剪成了2n+1段。
分层作业
【知识技能类作业】
选做题：
2.请将一根绳子沿中间对折，再沿对折的绳子中间再对折，这样连续对折5次，最后用剪刀沿对折5次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成多少段？
答：沿对折5次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成33段。
25+1
=32+1
=33（段）
分层作业
作业布置
《庄子·天下篇》中有一句话:“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”请把这句话的意思在一条线段中表示出来，说说你发现了什么。
【综合实践类作业】
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《数学广角——数与形》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《数学广角——数与形》单元是图形与几何领域第三学段中的重要内容。《义务教育数学课程标准(2022年版)》在“学段目标”的“第三学段”中提出:“尝试在真实的情境中发现和提出问题，探索运用基本的数量关系，以及几何直观、逻辑推理和其他学科的知识、方法分析与解决问题，形成模型意识和初步的应用意识、创新意识。”在“课程内容”的“第二学段”中提出：“探索给定情境中隐含的规律或变化趋势。”
（二）单元教材内容分析
本单元主要包括两课时的内容，例1主要通过数形结合，让学生探索从1开始的连续奇数之和与“正方形数”（即平方数）之间的关系；例2是让学生能借助图形解决一些比较抽象的、复杂的、不好解释的问题。教材在编排上体现了先“数”后“形”的顺序，通过“以形助教”或“以数解形”，使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而为培养学生的逻辑能力而服务。
（三）学生认知情况
在学习本单元知识之前，学生已经学会了逐渐借助推理与知识迁移来完成学习任务，也能借助数形结合的思想解决一些较复杂的问题。学生在前面五年的学习中，逻辑思维能力已有一定发展，但是仍以形象思维为主，所以本单元的学习需要在尊重学生思维发展规律的基础上，以数的运算为载体，运用数形结合思想解决数学问题。
二、单元目标拟定
1.通过自主探究，引导学生发现图形中隐藏着的数的规律，运用数形结合的方法发现的规律。
2.能利用图形来解决一些有关数的问题，渗透数形结合的思想。
3.体会“数”与“图形”之间的关系，让学生在解决数学问题的过程中，掌握数形结合、归纳推理、极限等基本的数学思想。
三、关键内容确定
（一）教学重点
借助“数”与“图形”之间的关系发现规律，并正确地运用规律进行计算。
（二）教学难点
经历探索规律及验证规律的过程，掌握数形结合、归纳推理、极限等基本的数学思想。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。《义务教育数学课程标准(2022 年版)》中提出：“初步形成数感和空间观念，感受符号和几何直观的作用。在观察、实验、猜想、验证等活动中,发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。在运用数学知识和方法解决问题的过程中,认识数学的价值。”
本单元教材的具体编排结构如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*com
1.教材在编排上注重突出探索规律、应用规律的编排意图，数学知识的呈现逐渐由借助直观形式过渡到知识的迁移与推理。
2.在利用数形结合解决问题的过程中，帮助学生积累一定的活动经验，培养数形结合、归纳推理、极限等基本的数学思想。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 8
单元主题 单元名称 主要内容 课时
图形与几何 数学广角——数与形 数与形（一） 1
数与形（二） 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 函数 统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
8.1《数与形（一）》 目标： 通过自主研究，发现图形中隐藏着的数的规律，并会应用所发现的规律。 任务一：画图感悟，初步感知数与形的关系 → 任务二：对比观察，借助图形发现计算的规律 → 1.能借助图形列出算式。 2.通过对比观察，能发现数与形、数与数之间的关系，进而利用发现的规律解决问题。
8.2《数与形（二）》 目标： 在学习过程中探索研究数与形之间的联系，寻找规律，发现规律，学会利用图形来解决一些有关数的问题。 任务一：初步探索规律 → 任务二：借助图形探究计算方法 → 1.通过观察，能发现加数的规律，并通过计算，能发现和的规律。 2.会用画图的方式来表示计算的过程和结果，能够发现这些数相加之和为1。
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