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九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
专题 一元二次方程八大易错、易混问题
易错一、忽视二次项系数不为0的条件而致错
典例1．方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（　　）
A. m=±2 B. m=2 C. m=-2 D. m≠±2
错解：A
错因：忽视二次项系数不为0的条件
针对训练1
1．关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（　　）
A. a=±2 B. a=-2
C. a=2 D.
2．关于x的方程（m+3）+（m-3）x+2=0是一元二次方程，则m的值为_____．
3．x2a+b-2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值．
易错二、将多项式配方与方程配方相混淆而致错
典例2．用配方法将2x2-4x-3变形，结果是（　　）
A. 2（x-1）2-4 B. 2（x-1）2-
C. （x-1）2-5 D. 2（x-1）2-5
错解：A C
错因：将多项式配方与方程配方相混淆
针对训练2
1．已知实数m,n满足m2+n2=2+3mn,则（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）的最小值为（　　）
A. B.
C. D.
2．4x2+9y2+12x-6y+10=0，则8x-9y=_____．
3．已知二次三项式4x2+8x+8，圆圆同学对其进行变形如下：
4x2+8x+8=x2+2x+2=（x+1）2+1，所以圆圆得到结论：当x=-1时，这个二次三项式有最小值为1．
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
4．用配方法解一元二次方程：
（1）x2-2x-2=0；
（2）2x2+1=3x；
（3）6x2-x-12=0．
5．阅读下列材料：
“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，所以，我们常需要将代数式配成完全平方式．
例如“试说明多项式x2+4x+5的最小值为1”．
x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴x2+4x+5的最小值为1．
试利用“配方法”解决下列问题：
（1）因式分解：x2+4x-5；
（2）求多项式-x2+4x+5的最大值．
易错三、应用根的判别式求字母的取值范围时忽视一元二次方程的隐含条件
典例3．若关于x的方程kx2+4x-2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A. k＞-2 B. k＞-2且k≠0
C. k＜2 D. k＜2且k≠0
错解：A
错因：应用根的判别式求字母的取值范围时忽视一元二次方程的隐含条件
针对训练3
1．若关于x的一元二次方程nx2-2x-1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x-n的图象不经过（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2．若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k-1=0有两个实数根，则k的取值范围是 _____．
3．关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
4．已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）若抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式．
易错四、解方程时方程两边同时除以含有未知数的式子，导致失根
典例4．一元二次方程x（x-2）=x的根是（　　）
A. 0或3 B. 0 C. 0或2 D. 2
错解：D
错因：解方程时方程两边同时除以x导致失根
针对训练4
1．某节数学课上，甲、乙、丙三位同学都在黑板上解关于x的方程x（x-1）=3（x-1），下列解法完全正确的个数为（　　）
甲 乙 丙
两边同时除以（x-1），得x=3． 整理得x2-4x=-3，配方得x2-4x+2=-1，∴（x-2）2=-1，∴x-2=±1，∴x1=1，x2=3． 移项得x（x-1）-3（x-1）=0，∴（x-3）（x-1）=0，∴x-3=0或x-1=0，∴x1=1，x2=3．
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
2．方程（2x+3）2=4（2x+3）的解是（　　）
A. ， B. ，
C. D.
3．老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解一元二次方程，规则是：每人只能看到前一人计算的结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后得到方程的解．部分过程如图所示，接力中，谁负责的一步开始出现错误（　　）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4．解方程：x（x-5）=5-x.小滨的解答如下：
解：原方程可化简为x（x-5）=-（x-5），
方程两边同时除以x-5，得x=-1，
小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程．
5．阿进用因式分解法解一元二次方程时，他做法如下：
解：方程两边分解因式，得，（第一步）
方程变形为，（第二步）
方程两边同时除以，得，（第三步）
系数化为1，得．（第四步）
（1）阿进的解法是不正确的，他从第______步开始出现了错误．
（2）请用阿进的方法完成这个题的解题过程．
易错五、利用根与系数的关系时未考虑其成立的前提条件是方程有根，即b2-4ac≥0
典例5．已知关于x的方程x2-（k+3）x+3k=0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若斜边为5的直角三角形的两条直角边长分别是方程的两根，求k的值．
错解：（2）k=±4
错因：利用根与系数的关系时未考虑k的取值范围出错
针对训练5
1．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2-1=0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若x12+x22=9，求k的值．
2．已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若x1，x2满足x1x2+x1+x2=4．求m的值．
3．已知：关于x的方程x2-（8-4m）x+4m2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求实数m的取值范围．
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2=x1x2，求出符合条件的m的值．
4．已知关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9=0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1=3-x2，求方程的两个根．
易错六、忽视几何图形对方程的解的要求出错
典例6．如图，有长为46米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度25米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD．为了方便出入，在BC上用其他材料建了两扇宽为1米的门，问：当AB的长是多少米时，围成长方形花圃ABCD的面积为180m2？
错解：设AB=x,所以BC=46-3x+2=48-3x,根据题意列出方程即可求出答案．
解：设AB=x,
∴BC=46-3x+2=48-3x,
由题意可知：48-3x≤25，
解得：x≥，
∴x（48-3x）=180，
解得：x=6，或x=10，
AB的长是6米或10米
围成长方形花圃ABCD的面积为180m2
错因：AB=6时，BC为30>25，不符号题意，忽视几何图形对方程的解的要求。
针对训练6
1．如图，有一农户要建一个长方形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门．
（1）若，则长方形的边长分别为多少时，鸡舍的面积为？
（2）问a的值在什么范围内时，题（1）的解有两个解？一个解？无解？
2．如图，学校准备搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用现成的围墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用总长38m的铁栏围成．若围成矩形ABCD（BC＞AB）的面积为180m2，求出矩形自行车车棚的长和宽．
3．如图，一矩形草坪的长为25米，宽为12米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的矩形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是230平方米．
（1）求小路的宽．
（2）每平方米小路的建设费用为200元，求修建两条小路的总费用．
4．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm,面积为Sm2．
（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
（2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
易错七、忽视实际问题对方程根的要求
典例7．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
错解：解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x-40）元，日销售量为20+=（140-2x）件，
依题意，得：（x-40）（140-2x）=（60-40）×20，
整理，得：x2-110x+3000=0，
解得：x1=50，x2=60
答：售价应定为50元，60元；
错因：忽视实际问题对方程根的要求，商家想尽快销售完该款商品
针对训练7
1．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg,通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系．
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
2．某批发商以24元/箱的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，已知这种蔬菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八折．批发商通过分析销售情况，发现这种蔬菜的日销售量y（箱）与当天的售价x（元/箱）满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值．
售价x（元/箱） … 35 38 …
销售量y（箱） … 130 124 …
（1）若某天这种蔬菜的售价为42元/箱，则当天这种蔬菜的销售量为 _____箱；
（2）若某天该批发商销售这种蔬菜获利1320元，则当天这种蔬菜售价为多少元？
（3）批发商搞优惠活动，购买一箱这种蔬菜，赠送成本为6元的土豆，这种蔬菜的售价定为多少时，可获得日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
3．暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动 ，已知纪念品每件的进货价为30元 ，经市场调研发现 ，当该纪念品的销售单价为40元时 ，每天可销售280件；当销售单价每增加1元 ，每天的销售数量将减少10件．（销售利润=销售总额-进货成本）
（1）若该纪念品的销售单价为45元，则当天销售量为______件．
（2）当该纪念品的销售单价超过40元时，定价为多少元 ，该产品的当天销售利润是2610元．
（3）该纪念品的当天利润有可能达到3700元吗？若能 ，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
4．某商场销售一款商品，每件成本为50元，现在的售价为每件100元，每月可卖出50件．销售人员经调查发现：如调整价格，每降价1元，则每月可多卖出5件．
（1）求出该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若该商品每月的销售利润为4000元，为了让顾客获得更多的实惠，应如何定价．
易错八、考虑问题不全面，出现漏解
典例8．如图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，设时间为x秒
（1）经过几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米？
（2）经过几秒时，△PBQ的面积等于矩形面积的？
错解：解：（1）设经过x秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米，则PB=（6-x）厘米，BQ=2x厘米，
根据题意得：×（6-x）×2x=8，
整理得：x2-6x+8=0，
解得：x1=2，x2=4（舍去）．
答：经过2秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米．
错因：考虑问题不全面，出现漏解
针对训练8
1．如图，在Rt△ABC中，AC=8cm,BC=6cm,P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为1cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为2cm/s,若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为4cm？
（2）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？
2．已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为x秒，
（1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）求几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）运动过程中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
3．已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
4．如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=12cm,点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果Q、P分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于10cm2？试说明理由．
九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
专题 一元二次方程八大易错、易混问题
易错一、忽视二次项系数不为0的条件而致错
典例1．方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（　　）
A. m=±2 B. m=2 C. m=-2 D. m≠±2
错解：A
错因：忽视二次项系数不为0的条件
正解：
【答案】B
【解析】本题根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．据此即可求解．
解：由一元二次方程的定义可得，解得：m=2．故选B．
针对训练1
1．关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（　　）
A. a=±2 B. a=-2
C. a=2 D.
【答案】C
【解析】本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解：根据题意得，解得a=2．
故选：C．
2．关于x的方程（m+3）+（m-3）x+2=0是一元二次方程，则m的值为_____．
【答案】3
【解析】根据一元二次方程的定义可知，二次项系数为2，则可以得到m2-7=2；再根据一元二次方程中二次项系数不等于零，即可确定m的值．
解：∵该方程为一元二次方程，
∴m2-7=2，
解得m=±3；
当m=-3时m+3=0，则方程的二次项系数是0，不符合题意；
所以m=3．
3．x2a+b-2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值．
【解析】本题根据一元二次方程的定义求解．分5种情况分别求解即可．
解：∵x2a+b-2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程，
∴①，解得；
②，解得；
③，解得；
④，解得；
⑤，解得．
综上所述，，，，．
易错二、将多项式配方与方程配方相混淆而致错
典例2．用配方法将2x2-4x-3变形，结果是（　　）
A. 2（x-1）2-4 B. 2（x-1）2-
C. （x-1）2-5 D. 2（x-1）2-5
错解：A C
错因：将多项式配方与方程配方相混淆
正解
【答案】D
【解析】先提取二次项系数，再加上一次项系数一半的平方，同时减去一次项系数一半的平方 最后整理成完全平方式即可．
解：提取二次项系数得 ，2(x2-2x)-3
括号内加一次项系数一半的平方，得2（x2-2x+1-1）-3
整理，得 ．2（x-1）2-2-3=2（x-1）2--5
故选：D．
针对训练2
1．已知实数m,n满足m2+n2=2+3mn,则（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）的最小值为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】先化简（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）=10+3mn,再判断出mn≥-，即可求出答案．
解：∵m2+n2=2+3mn,
∴（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）
=4m2+9n2-12mn+m2-4n2
=5m2+5n2-12mn
=5（2+3mn）-12mn
=10+3mn,
∵m2+n2=2+3mn,
∴（m+n）2=2+5mn≥0（当m+n=0时，取等号），
∴mn≥-，
∴（m-n）2=2+mn≥0（当m-n=0时，取等号），
∴mn≥-2，
∴mn≥-，
∴3mn≥-，
∴10+3mn≥，
即（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）的最小值为．
故选：A．
2．4x2+9y2+12x-6y+10=0，则8x-9y=_____．
【答案】-15
【解析】已知等式左边配方后，利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出代数式的值．
解：∵4x2+9y2+12x-6y+10=（4x2+12x+9）+（9y2-6y+1）=（2x+3）2+（3y-1）2=0，
可得2x+3=0，3y-1=0，
解得：x=-，y=，
则8x-9y=8×（-）-9×=-15，
故答案为：-15．
3．已知二次三项式4x2+8x+8，圆圆同学对其进行变形如下：
4x2+8x+8=x2+2x+2=（x+1）2+1，所以圆圆得到结论：当x=-1时，这个二次三项式有最小值为1．
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
【解析】由4x2+8x+8=x2+2x+2可知圆圆的解答错误．根据配方法的解题步骤将4x2+8x+8改写为4（x+1）2+4，再利用非负数的性质求解．
解：圆圆的解答错误．
4x2+8x+8=4（x2+2x+1）+4=4（x+1）2+4，
所以当x=-1时，这个二次三项式有最小值为4．
4．用配方法解一元二次方程：
（1）x2-2x-2=0；
（2）2x2+1=3x；
（3）6x2-x-12=0．
【解析】（1）根据配方法的步骤将方程常数项移动右边，两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
（2）根据配方法的一般步骤，把常数项移到等号的右边，一次项移到等号的左边，再在等式的两边同时加上一次项系数的平方，化为完全平方式，再开方即可得出答案；
（3）根据配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边，把二次项的系数化为1，在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后开方即可得出答案．
解：（1）x2-2x-2=0，
x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，
（x-1）2=3，
x-1=，
x1=1，x2=1-；
（2）2x2+1=3x,
2x2-3x=-1，
x2-x=-，
x2-x+=-+，
（x-）2=，
x-=，
x1=1，x2=；
（3）6x2-x-12=0，
（2x-3）（3x+4）=0
x1=，x2=-．
5．阅读下列材料：
“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，所以，我们常需要将代数式配成完全平方式．
例如“试说明多项式x2+4x+5的最小值为1”．
x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴x2+4x+5的最小值为1．
试利用“配方法”解决下列问题：
（1）因式分解：x2+4x-5；
（2）求多项式-x2+4x+5的最大值．
【解析】（1）原式配方后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可；
（2）原式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可．
解：（1）x2+4x-5
=x2+4x+4-9
=（x+2）2-9
=[（x+2）+3][（x+2）-3]
=（x+5）（x-1）；
（2）-x2+4x+5
=5-（x2-4x）
=5-（x2-4x+4-4）
=5-（x-2）2+4
=9-（x-2）2，
∵（x-2）2≥0，
∴当（x-2）2=0时，9-（x-2）2取得最大值9．
易错三、应用根的判别式求字母的取值范围时忽视一元二次方程的隐含条件
典例3．若关于x的方程kx2+4x-2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A. k＞-2 B. k＞-2且k≠0
C. k＜2 D. k＜2且k≠0
错解：A
错因：应用根的判别式求字母的取值范围时忽视一元二次方程的隐含条件
正解：
【答案】B
【解析】根据一元二次方程的定义和判别式，得出k≠0且Δ=42+8k＞0，即可得到k的取值范围．
解：∵关于x的方程kx2+4x-2=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ=42+8k＞0，
解得：k＞-2且k≠0．
∴k的取值范围是k＞-2且k≠0．
故选：B．
针对训练3
1．若关于x的一元二次方程nx2-2x-1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x-n的图象不经过（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】一次函数y=kx+b的图象，根据k、b的取值确定直角坐标系的位置．
在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
（1）二次项系数不为零；
（2）在无实数根下必须满足Δ=b2-4ac＜0．
解：一元二次方程nx2-2x-1=0无实数根，说明Δ=b2-4ac＜0，即（-2）2-4×n×（-1）＜0，
解得n＜-1，所以n+1＜0，-n＞0，故一次函数y=（n+1）x-n的图象不经过第三象限．
故选：C．
2．若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k-1=0有两个实数根，则k的取值范围是 _____．
【答案】k≥-且k≠0
【解析】若一元二次方程有两个等实数根，则根的判别式Δ=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
解：∵关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k-1=0有两个实数根，
∴Δ=4（k+1）2-4k（k-1）=12k+4≥0，且k≠0．
解得：k≥-且k≠0，
∴故本题答案为：k≥-，且k≠0．
3．关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由于关于x的方程有两个不相等的实数根，那么它的判别式△应该是大于0，由此可以建立关于k的不等式，解不等式即可求出实数k的取值范围；
（2）首先利用根与系数的关系求出两根之和和两根之积，然后利用：方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，即可列出关于k的方程，解方程即可求出k的值，再判断是否在（1）求出的k的范围内即可．
解：（1）依题意得，
∴k＞-1，
又∵k≠0，
∴k的取值范围是k＞-1且k≠0；
（2）解：不存在符合条件的实数k,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
理由是：设方程的两根分别为x1，x2，
由根与系数的关系有：，
∵方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
∴，
∴，
由（1）知，k＞-1，且k≠0，
∴k=-舍去，
因此不存在符合条件的实数k,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．
4．已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）若抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式．
【解析】（1）分类讨论：当m=0时，方程变形为一元一次方程，有一个解；当m≠0时，先计算判别式的值得到Δ=（3m-1）2，根据非负数的性质得△≥0，则根据判别式的意义得到方程总有两个实数解，然后综合两种情况得到不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）先解方程得到x1=-，x2=-3，根据抛物线与x轴的两交点问题得到交点坐标为（-，0），（-3，0），再根据正数的整除性易得m=1，从而得到抛物线解析式．
（1）证明：当m=0时，方程变形为x+3=0，解得x=-3；
当m≠0时，Δ=（3m+1）2-4m 3=（3m-1）2，
∵（3m-1）2≥0，即△≥0，
∴m≠0时，方程总有两个实数解，
∴不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）解：根据题意得m≠0，
mx2+（3m+1）x+3=0．
（mx+1）（x+3）=0，
解得x1=-，x2=-3，
则抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴的两交点坐标为（-，0），（-3，0），
而m为正整数，-也为整数，所以m=1，
所以抛物线解析式为y=x2+4x+3．
易错四、解方程时方程两边同时除以含有未知数的式子，导致失根
典例4．一元二次方程x（x-2）=x的根是（　　）
A. 0或3 B. 0 C. 0或2 D. 2
错解：D
错因：解方程时方程两边同时除以x导致失根
正解
【答案】A
【解析】利用因式分解法求解即可．
解：x（x-2）=x,
x（x-2）-x=0，
x（x-2-1）=0，
∴x=0或x-3=0，
∴x1=0，x2=3，
故选：A．
针对训练4
1．某节数学课上，甲、乙、丙三位同学都在黑板上解关于x的方程x（x-1）=3（x-1），下列解法完全正确的个数为（　　）
甲 乙 丙
两边同时除以（x-1），得x=3． 整理得x2-4x=-3，配方得x2-4x+2=-1，∴（x-2）2=-1，∴x-2=±1，∴x1=1，x2=3． 移项得x（x-1）-3（x-1）=0，∴（x-3）（x-1）=0，∴x-3=0或x-1=0，∴x1=1，x2=3．
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】C
【解析】分别利用解一元二次方程-因式分解法，公式法，配方法，进行计算逐一判断即可解答．
解：甲的解法错误，方程两边不能同时除以（x-1），这样会漏解；
乙的解法错误，配方时，方程两边应同时加上一次项系数一半的平方；
丙利用解一元二次方程-因式分解法，计算正确；
故选：C．
2．方程（2x+3）2=4（2x+3）的解是（　　）
A. ， B. ，
C. D.
【答案】A
【解析】先移项得到（2x+3）2-4（2x+3）=0，再利用因式分解法把方程转化为2x+3=0或2x+3-4=0，然后解两个一次方程即可．
解：（2x+3）2=4（2x+3），
（2x+3）2-4（2x+3）=0，
（2x+3）（2x+3-4）=0，
2x+3=0或2x+3-4=0，
所以x1=-，x2=．
故选：A．
3．老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解一元二次方程，规则是：每人只能看到前一人计算的结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后得到方程的解．部分过程如图所示，接力中，谁负责的一步开始出现错误（　　）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】A
【解析】甲在进行计算时，方程两边同除（2x-1），导致方程少了一个解，可得选项．
解：甲在解方程时，方程两边同除（2x-1），导致少了一个解，
所以从甲开始就错了．
正确的解法为：移项得（2x-1）2-3（2x-1）=0，分解因式得（2x-1）（2x-1-3）=0，
解之得或x=2，
故选：A．
4．解方程：x（x-5）=5-x.小滨的解答如下：
解：原方程可化简为x（x-5）=-（x-5），
方程两边同时除以x-5，得x=-1，
小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程．
【解析】方程解答不正确，两边除以（x-5）时，没有考虑为0的情况，写出正确过程即可．
解：方程解答不正确，
正确解答为：方程化简得：x（x-5）=-（x-5），
移项得：x（x-5）+（x-5）=0，
分解因式得：（x-5）（x+1）=0，
可得x-5=0或x+1=0，
解得：x1=5，x2=-1．
5．阿进用因式分解法解一元二次方程时，他做法如下：
解：方程两边分解因式，得，（第一步）
方程变形为，（第二步）
方程两边同时除以，得，（第三步）
系数化为1，得．（第四步）
（1）阿进的解法是不正确的，他从第______步开始出现了错误．
（2）请用阿进的方法完成这个题的解题过程．
【答案】（1）第三步 （2）过程见解析
【解析】对于（1），两边除以时，要考虑其是不是0即可判断；
对于（2），先确定公因式，再移项，然后提出公因式，即可得出答案．
【小问1详解】
当时，等式成立，所以从第三步开始出现错误；
故答案为：三；
【小问2详解】
，
因式分解，得，
整理，得，
移项，得，
提公因式，得，
即或，
∴，．
【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，确定公因式是解题的关键．
易错五、利用根与系数的关系时未考虑其成立的前提条件是方程有根，即b2-4ac≥0
典例5．已知关于x的方程x2-（k+3）x+3k=0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若斜边为5的直角三角形的两条直角边长分别是方程的两根，求k的值．
错解：（2）k=±4
错因：利用根与系数的关系时未考虑k的取值范围出错
正解
【解析】（1）对于一元二次方程根的情况需判断Δ的值，可得结论；
（2）设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,利用根与系数的关系可以得到a+b,ab的值，利用勾股定理化简带入求k的值．
（1）证明：∵Δ=[-（k+3）]2-4×1×3k=k2-6k+9=（k-3）2≥0
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,
则a+b=k+3＞0，ab=3k＞0，
∴k＞0，
又a2+b2=25，（a+b）2-2ab=25，
∴（k+3）2-2×3k=25，
解得：k=±4，
∵k＞0，
∴k=-4应舍去，
∴k=4．
针对训练5
1．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2-1=0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若x12+x22=9，求k的值．
【解析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2-1=0有实数根，
∴Δ=b2-4ac=（2k+1）2-4（k2-1）≥0，
∴4k2+4k+1-4k2+4≥0，
∴k；
（2）解：∵方程的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=-（2k+1），x1 x2=k2-1，
∵x=9，
∴（x1+x2）2-2x1x2=9，
∴[-（2k+1）]2-2（k2-1）=9，
∴4k2+4k+1-2k2+2=9，
∴k=-3或1，
∵k，
∴k=1．
2．已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若x1，x2满足x1x2+x1+x2=4．求m的值．
【解析】（1）根据Δ≥0，解不等式即可；
（2）由根与系数的关系得出x1+x2和x1x2的值，再代入x1x2+x1+x2=4得到关于m的方程计算可得．
解：（1）由题意得Δ=（2m-1）2-4m2≥0，
∴m≤．
故实数m的取值范围为m≤；
（2）依题意有x1+x2=-（2m-1），x1x2=m2，
∵x1x2+x1+x2=4，
∴m2-（2m-1）=4，
解得m1=-1，m2=3（舍去）．
故m的值是-1．
3．已知：关于x的方程x2-（8-4m）x+4m2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求实数m的取值范围．
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2=x1x2，求出符合条件的m的值．
【解析】（1）根据根的判别式的意义得到Δ=（8-4m）2-4×4m2＞0，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=8-4m,x1x2=4m2，则8-4m=4m2，再解关于m的方程，然后利用m的取值范围确定满足条件的m的值．
解：（1）根据题意得Δ=（8-4m）2-4×4m2＞0，
解得m＜1；
（2）根据题意得x1+x2=8-4m,x1x2=4m2，
∵x1+x2=x1x2，
∴8-4m=4m2，
整理得m2+m-2=0，
解得m1=-2，m2=1，
∵m＜1，
∴m的值为-2．
4．已知关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9=0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1=3-x2，求方程的两个根．
【解析】（1）根据一元二次方程的根的判别式Δ≥0来证明即可；
（2）解方程即可得到结论．
解：（1）∵Δ=（4m）2-4×1×（4m2-9）=16m2-16m2+36=36＞0，
∴已知关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9=0一定有两个不相等的实数根；
（2）∵x=，
∵，
∴x1+x2=6，
∵x1+x2=4m,
∴4m=6，
∴，
∴，
∴x1=6，x2=0．
易错六、忽视几何图形对方程的解的要求出错
典例6．如图，有长为46米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度25米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD．为了方便出入，在BC上用其他材料建了两扇宽为1米的门，问：当AB的长是多少米时，围成长方形花圃ABCD的面积为180m2？
错解：设AB=x,所以BC=46-3x+2=48-3x,根据题意列出方程即可求出答案．
解：设AB=x,
∴BC=46-3x+2=48-3x,
由题意可知：48-3x≤25，
解得：x≥，
∴x（48-3x）=180，
解得：x=6，或x=10，
AB的长是6米或10米
围成长方形花圃ABCD的面积为180m2
错因：AB=6时，BC为30>25，不符号题意，忽视几何图形对方程的解的要求。
正解
【解析】设AB=x,所以BC=46-3x+2=48-3x,根据题意列出方程即可求出答案．
解：设AB=x,
∴BC=46-3x+2=48-3x,
由题意可知：48-3x≤25，
解得：x≥，
∴x（48-3x）=180，
解得：x=6（舍去）或x=10，
答：当AB的长是10米时，围成长方形花圃ABCD的面积为180m2
针对训练6
1．如图，有一农户要建一个长方形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门．
（1）若，则长方形的边长分别为多少时，鸡舍的面积为？
（2）问a的值在什么范围内时，题（1）的解有两个解？一个解？无解？
【答案】（1）长方形鸡舍的长为，宽为
（2），解有两个；，解有一个；无解
【解析】（1）设宽为，根据所用篱笆长为得长为，再由解出x的值，再判断其小于12则符合；
（2）根据（1）知，长方形中平行于墙的边长为或为临界点可分为三个范围分别是，解有两个，，解有一个，无解．
【小问1详解】
解：设长方形鸡舍垂直于房墙的一边长为，则长方形鸡舍的另一边长为．
依题意，得，
解得．
当时，（舍去），
当时，．
答：长方形鸡舍的长为，宽为；
【小问2详解】
解：由（1）知，长方形中平行于墙的边长为或，
∴当时，（1）中的解有两个，
当时，（1）中的解有一个，
当时，无解．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键在于找准等量关系建立方程．
2．如图，学校准备搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用现成的围墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用总长38m的铁栏围成．若围成矩形ABCD（BC＞AB）的面积为180m2，求出矩形自行车车棚的长和宽．
【解析】设AB=x m,则BC=（28-2x）m,根据题意：若围成矩形ABCD（BC＞AB）的面积为180m2，列出一元二次方程，解方程即可．
解：设AB=x m,则BC=（28-2x）m,
根据题意得：x（28-2x）=180，
解得：x1=10，x2=9，
当x=9时，38-2x=20＞19，不符合题意，舍去；
当x=10时，38-2x=18；
答：若围成的面积为180m2，自行车车棚的长为18m,宽为10m.
3．如图，一矩形草坪的长为25米，宽为12米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的矩形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是230平方米．
（1）求小路的宽．
（2）每平方米小路的建设费用为200元，求修建两条小路的总费用．
【解析】（1）设小路的宽为x米，则非阴影部分可合成长为（25-x）米，宽为（12-x）米的矩形，根据非阴影部分的面积是230平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）利用总价=单价×（草坪的面积-非阴影部分的面积），即可求出结论．
解：（1）设小路的宽为x米，则非阴影部分可合成长为（25-x）米，宽为（12-x）米的矩形，
依题意得：（25-x）（12-x）=230，
解得：x2-37x+70=0，
解得：x1=2，x2=35（不符合题意，舍去）．
答：小路的宽为2米．
（2）200×（25×12-230）=14000（元）．
答：修建两条小路的总费用为14000元．
4．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm,面积为Sm2．
（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
（2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
【解析】（1）根据AB为xm,BC就为（24-3x），利用长方体的面积公式，可求出关系式．
（2）将s=45m代入（1）中关系式，可求出x即AB的长．
（3）当墙的宽度为最大时，有最大面积的花圃．此故可求．
解：（1）根据题意，得S=x（24-3x），
即所求的函数解析式为：S=-3x2+24x,
又∵0＜24-3x≤10，
∴，
（2）根据题意，设AB长为x,则BC长为24-3x
∴-3x2+24x=45．
整理，得x2-8x+15=0，
解得x=3或5，
当x=3时，BC=24-9=15＞10不成立，
当x=5时，BC=24-15=9＜10成立，
∴AB长为5m；
（3）S=24x-3x2=-3（x-4）2+48
∵墙的最大可用长度为10m,0≤BC=24-3x≤10，
∴，
∵对称轴x=4，开口向下，
∴当x=m,有最大面积的花圃．
即：x=m,
最大面积为：24×-3×（）2=m2
易错七、忽视实际问题对方程根的要求
典例7．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
错解：解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x-40）元，日销售量为20+=（140-2x）件，
依题意，得：（x-40）（140-2x）=（60-40）×20，
整理，得：x2-110x+3000=0，
解得：x1=50，x2=60
答：售价应定为50元，60元；
错因：忽视实际问题对方程根的要求，商家想尽快销售完该款商品
正解：
【解析】（1）根据日利润=每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x元，则每件的利润为（x-40）元，日销售量为20+=（140-2x）件，根据日利润=每件利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）设该商品需要打a折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可．
解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x-40）元，日销售量为20+=（140-2x）件，
依题意，得：（x-40）（140-2x）=（60-40）×20，
整理，得：x2-110x+3000=0，
解得：x1=50，x2=60（舍去）．
答：售价应定为50元；
（2）该商品需要打a折销售，
由题意，得，62.5×≤50，
解得：a≤8，
答：该商品至少需打8折销售．
针对训练7
1．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg,通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系．
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【解析】（1）根据题意设y=kx+b,当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg,则，求得k、b即可；
（2）定价为x元，每千克利润（x-4）元，销售量为y kg,则（x-4）y=1800即（x-4）（-50x+1200）=1800，解方程即可；
（3）设利润为W，根据题意可得W=（x-4）（-50x+1200）=-50x2+1400x-4800化为顶点式即可求出合适的值．
解：（1）根据题意设y=kx+b,
当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；
当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg,
则，
解得：，
则y与x的函数关系式；y=-50x+1200（4≤x≤7），
（2）∵定价为x元，每千克利润（x-4）元，
由（1）知销售量为y=-50x+1200（4≤x≤7），
则（x-4）（-50x+1200）=1800，
解得：x1=22（舍去），x2=6，
∴超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元；
（3）设利润为W元，
根据题意可得：W=（x-4）（-50x+1200），
即W=-50x2+1400x-4800=-50（x-14）2+5000，
∵a=-50＜0，对称轴为x=14，
∴当x＜14时，W随x的增大而增大，
又∵4≤x≤7，
∴x=7时，W最大值=-50（7-14）2+5000=2550（元），
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
2．某批发商以24元/箱的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，已知这种蔬菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八折．批发商通过分析销售情况，发现这种蔬菜的日销售量y（箱）与当天的售价x（元/箱）满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值．
售价x（元/箱） … 35 38 …
销售量y（箱） … 130 124 …
（1）若某天这种蔬菜的售价为42元/箱，则当天这种蔬菜的销售量为 _____箱；
（2）若某天该批发商销售这种蔬菜获利1320元，则当天这种蔬菜售价为多少元？
（3）批发商搞优惠活动，购买一箱这种蔬菜，赠送成本为6元的土豆，这种蔬菜的售价定为多少时，可获得日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
【答案】116
【解析】（1）设y与x之间的函数关系为y=kx+b,用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意列出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，然后根据这种蔬菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八折得出x的取值范围为36≤x≤45，从而确定方程的解；
（3）根据每天的利润=单箱的利润×销量列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值．
解：（1）设y与x之间的函数关系为y=kx+b,
根据题意得：，
解得：，
∴y=-2x+200，
∴当x=42时，y=-2×42+200=116，
∴当天这种蔬菜的销售量为116箱；
（2）根据题意得：（-2x+200）（x-24）=1320，
解得x1=34，x2=90，
∵这种蔬菜售价不低于45×0.8=36，且不高于45，
∴36≤x≤45，
∴34，90都不满足题意，
答：当获利为1320元时，当天这种蔬菜的售价无解；
（3）设日获得利润为w元，
则w=（-2x+200）（x-24-6）=-2（x-65）2+2450，
∵a=-2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜65时，w的值随x值的增大而增大，
∵这种蔬菜售价不低于45×0.8=36，
∴36≤x≤45，
∴当x=45时，（元），
答：这种蔬菜的售价为45元，可获得最大日利润为1650元．
3．暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动 ，已知纪念品每件的进货价为30元 ，经市场调研发现 ，当该纪念品的销售单价为40元时 ，每天可销售280件；当销售单价每增加1元 ，每天的销售数量将减少10件．（销售利润=销售总额-进货成本）
（1）若该纪念品的销售单价为45元，则当天销售量为______件．
（2）当该纪念品的销售单价超过40元时，定价为多少元 ，该产品的当天销售利润是2610元．
（3）该纪念品的当天利润有可能达到3700元吗？若能 ，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
【答案】（1）230 （2）59
（3）不能，理由见解析
【解析】（1）根据当天销售量=280-10×增加的销售单价，即可求出结论；
（2）设该纪念品的销售单价为x元（x＞40），则当天的销售量为[280-（x-40）×10]件，根据当天的销售利润=每件的利润×当天销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
（3）设该纪念品的销售单价为y元（y＞40），则当天的销售量为[280-（y-40）×10]件，根据当天的销售利润=每件的利润×当天销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由该方程根的判别式Δ=-36＜0，可得出该方程无实数根，进而可得出该纪念品的当天销售利润不能达到3700元．
【小问1详解】
解： 280-（45-40）×10=230（件）．
故答案为：230．
【小问2详解】
设该纪念品的销售单价为x元（x＞40），则当天的销售量为[280-（x-40）×10]件，
依题意，得：（x-30）[280-（x-40）×10]=2610，
依题意，得：，
解得：（不合题意，舍去），．
答：当该纪念品的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元．
【小问3详解】
不能，理由如下：
设该纪念品的销售单价为y元（y＞40），则当天的销售量为[280-（y-40）×10]件，
依题意，得：（y-30）[280-（y-40）×10]=3700，
整理，得： -98y+2410=0．
∵，
∴该方程无实数根，即该纪念品的当天销售利润不能达到3700元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．某商场销售一款商品，每件成本为50元，现在的售价为每件100元，每月可卖出50件．销售人员经调查发现：如调整价格，每降价1元，则每月可多卖出5件．
（1）求出该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若该商品每月的销售利润为4000元，为了让顾客获得更多的实惠，应如何定价．
【解析】（1）利用该商品每月的销售量=50+5×降低的价格，即可找出y与x之间的函数关系式；
（2）利用该商品每月的销售利润等于每件的销售利润乘以每月的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要让顾客得到更多的实惠，即可．
解：（1）根据题意得：y=50+5（100-x）=-5x+550，
∴每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y=-5x+550；
（2）根据题意得：y（x-50）=4000，
即（-5x+550）（x-50）=4000，
整理得：x2-160x+6300=0，
解得：x1=70，x2=90，
∵为了让顾客获得更多的实惠，
∴x=70，
答：销售单价应为70元．
易错八、考虑问题不全面，出现漏解
典例8．如图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，设时间为x秒
（1）经过几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米？
（2）经过几秒时，△PBQ的面积等于矩形面积的？
错解：解：（1）设经过x秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米，则PB=（6-x）厘米，BQ=2x厘米，
根据题意得：×（6-x）×2x=8，
整理得：x2-6x+8=0，
解得：x1=2，x2=4（舍去）．
答：经过2秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米．
错因：考虑问题不全面，出现漏解
正解
【解析】（1）设经过x秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米，则PB=（6-x）厘米，BQ=2x厘米，根据三角形的面积公式结合△PBQ的面积等于8平方厘米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）设经过y秒时，△PBQ的面积等于矩形面积的，则PB=（6-y）厘米，BQ=2y厘米，根据三角形、矩形的面积公式及△PBQ的面积等于矩形面积的，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：（1）设经过x秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米，则PB=（6-x）厘米，BQ=2x厘米，
根据题意得：×（6-x）×2x=8，
整理得：x2-6x+8=0，
解得：x1=2，x2=4．
答：经过2秒或4秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米．
（2）设经过y秒时，△PBQ的面积等于矩形面积的，则PB=（6-y）厘米，BQ=2y厘米，
根据题意得：×（6-y）×2y=×6×12，
整理得：y2-6y+6=0，
解得：y1=3-，y2=3+．
答：经过（3-）秒或（3+）秒时，△PBQ的面积等于矩形面积的．
针对训练8
1．如图，在Rt△ABC中，AC=8cm,BC=6cm,P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为1cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为2cm/s,若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为4cm？
（2）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？
【解析】（1）根据勾股定理PC2+CQ2=PQ2，便可求出经过2或s后，P、Q两点的距离为4cm；
（2）根据三角形的面积公式S△PCQ=×PC×CQ以及二次函数最值便可求出t=1.75s时△PCQ的面积最大，进而求出四边形BPQA的面积最小值．
解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=8cm,BC=6cm,
∴AB=10cm,
设经过ts后，P、Q两点的距离为4cm,
ts后，PC=6-t cm,CQ=2t cm,
根据勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2，
代入数据（6-t）2+（2t）2=（4）2；
解得t=2或t=，
故t为2或时，P、Q两点的距离为4cm；
（2）设经过ts后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小，
ts后，PC=6-tcm,CQ=2t cm,
S△PCQ=×PC×CQ=×（6-t）×2t=-t2+6t
当t=-时，即t=3s时，△PCQ的面积最大，
即S△PCQ=×PC×CQ=×（6-3）×6=9（cm2），
∴四边形BPQA的面积最小值为：S△ABC-S△PCQ最大=×6×8-9=15（cm2），
当点P运动3秒时，四边形BPQA的面积最小为：15cm2．
2．已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为x秒，
（1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）求几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）运动过程中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
【解析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6平方厘米，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．
（2）根据PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可；
（3）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2．
解：（1）设 经过x秒以后△PBQ面积为6
×（5-x）×2x=6
整理得：x2-5x+6=0
解得：x=2或x=3
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2
（2）当PQ=5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2=PQ2，
∴（5-t）2+（2t）2=52，
5t2-10t=0，
t（5t-10）=0，
解得t1=0（舍去），t2=2，
∴当t=2时，PQ的长度等于5cm.
（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8，
×（5-x）×2x=8
整理得：x2-5x+8=0
△=25-32=-7＜0
∴△PQB的面积不能等于8cm2．
3．已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
【解析】（1）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；
（2）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令×2x（5-x）=7，化简该方程后，判断该方程的Δ与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．
解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得（5-x）×2x=4，
整理得：x2-5x+4=0，
解得：x=1或x=4（舍去）．
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；
（2）仿（1）得（5-x）2x=7．
整理，得x2-5x+7=0，因为b2-4ac=25-28＜0，
所以，此方程无解．
所以△PBQ的面积不可能等于7cm2．
4．如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=12cm,点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果Q、P分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于10cm2？试说明理由．
【解析】（1）分别表示出线段PB和线段BQ的长，然后根据面积为8列出方程求得时间即可；
（2）根据面积为8列出方程，判定方程是否有解即可．
解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于8cm2，根据题意得：
×2t（6-t）=8，
解得：t=2或4．
答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）由题意得，
×2t（6-t）=10，
整理得：t2-6t+10=0，
b2-4ac=36-40=-4＜0，
此方程无解，
所以△PBQ的面积不能等于10cm2．
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