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第五单元圆
（知识梳理+专项练习）
分数乘法
一、认识圆形
1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等.
3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6、在同一个圆内或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。用字母表示为：d=2r或r=d÷2
8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。
10、只有1条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆;只有2条对称轴的图形是： 长方形;只有3条对称轴的图形是： 等边三角形;只有4条对称轴的图形是： 正方形;有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。
１１、画对称轴要用铅笔画，同时要用尺子（三角板）画出虚线，这条虚线两端要超出图形一点。
　二、圆的周长
1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。
3、圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母π(pai) 表示。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
(1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈ 3.14。
(2)、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。　
4、圆的周长公式： 圆的周长等于圆周率乘直径用字母表示C= πd 或圆的周长等于２乘圆周率乘半径，用字母表示C=2πr
(1)、已知圆的周长求直径用圆的周长除以圆周率，用字母表示d = C ÷π
(2)、已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的２倍字母表示 r = C ÷ 2π
5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
6、区分周长的一半和半圆的周长：
(1)、半圆弧的周长（周长的一半）：等于圆的周长÷2
计算方法：2π r ÷ 2 即C半= π r
(2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：半圆的周长=5.14 r （推导过程C半=2π r ÷ 2+d=πr+d=πr+2r =5.14 r）
　三、圆的面积
1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。
2、圆面积公式的推导：(1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。长方形的长相当于圆的周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径。
(2)拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
　　圆的半径 　　 = 　　长方形的宽
　　圆的周长的一半　 = 　　长方形的长
3、圆面积的计算方法：因为：长方形面积 = 长 ×宽
　所以：圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径
　即S圆 = Ｃ÷2× r＝πr × r＝πr
　圆的面积公式：S圆 =πr
4、环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母R表示，内圆的半径用字母r表示。
S环 = πR-πr或环形的面积公式：S环 = π(R-r)（建议用这个公式）。
5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大3的平方倍得到9倍。
6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。
例如：两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9
7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π
8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆的周长最短。
9、常用各π值结果：π = 3.14；2π = 6.28 ；5π=15.7　
10、外方内圆（内切圆）公式S=S正-S圆或S=0.86r。
11、外圆内方（外切圆）：把正方形看成两个面积相等的三角形，三角形的底就是直径，高是半径，公式S=S圆-S正=S圆-dr或S=1.14r
12、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。
S扇=S圆×；S扇环=S环×
14、求阴影部分的面积：S阴影=大图形的面积-小图形的面积，也可用割补法把阴影部分组合成一个图形。
分数乘法
一、选择题
1．有一根25.12厘米长的铁丝，围成( )图形时，图形的面积最大．
A．长方形 B．正方形 C．圆形
2．两个圆的半径比是2∶3，这两个圆的面积比是（ ）。
A．2∶3 B．3∶2 C．4∶9 D．9∶4
3．一个圆的直径扩大4倍，它的周长扩大（ ）倍。
A．4 B．16 C．2 D．8
4．学校有一个圆形蓄水池，半径是5m，现准备扩建，半径增加1m，这个蓄水池的面积增加了（ ）m2。
A．3.14 B．11 C．34.54 D．6.28
5．下面两个图形中阴影部分都是扇形，它们的半径都相等，比较它们阴影部分，（ ）。
A．周长与面积都相等 B．周长不相等，面积相等
C．周长相等，面积不相等 D．周长与面积都不相等
6．用周长3.14米的铁丝围成的下面图形中，（ ）的面积最大。
A．正方形 B．长方形 C．梯形 D．圆
二、填空题
7．把一个圆分成若干（尽量多等分）等份，然后把它拼成一个近似长方形（如图），已知这个长方形的长约是21.98cm，这个长方形的宽是( )cm。
8．一个圆的周长是125.6厘米，半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。
9．中国航天文创延续发行了“神舟十三号”纪念章，纪念章的主体采用圆形为底面，直径约4厘米，上面镶嵌着神舟十三号飞船图案，极具艺术性和观赏性。纪念章底面圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。
10．在长20cm，宽6cm的长方形里剪最大的圆，圆的直径是( )cm，最多可以得( )个这样的圆。
11．如果大圆半径和小圆直径的比是3∶2，那么大圆和小圆的周长比是( )，面积比是( )。
12．一块圆形铁皮的周长是125.6厘米，它的面积是( )平方厘米．
13．一棵柏树的树干横截面近似圆形，量得它树干的周长是12.56分米，树干横截面的面积是( )平方分米。
14．一个圆扩大后，面积比原来多8倍，周长比原来多50.24厘米，这个圆原来的面积是( )cm2，现在的周长是( )cm。
15．小明用圆规画圆，圆规两脚之间距离是5cm，这个圆的周长是( )cm，在圆内画一个最大的正方形，正方形的面积是( )cm2。
三、判断题
16．一个圆的周长是12.56米，半径增加了1米，周长增加了3.14米。( )
17．一棵树的树干横截面近似于圆，量得横截面周长是125.6cm，则它的直径是20cm。( )
18．一个圆的半径扩大到原来的2倍，它的周长就扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的4倍。( )
19．半径相等的两个半圆的周长之和大于相等半径的一个整圆的周长。( )
20．两个圆的周长的比是2∶3，则这两个圆的面积的比是4∶6。( )
四、计算题
21．求阴影部分的面积．
五、解答题
22．某公园准备把一块直径为100的圆形草坪修整每修整1平方米约需要14元,修整这草坪大约需要多少钱 (得数保留整万元)
图中是一大一小两个正方形组成的，大正方形的边长是10米，小正方形的边长是大正方形边长的，求图中阴影部分的面积．
24．（1）用20米的铁丝制作像下图这样的铁环，最多能制作多少个？
如果铁环的直径是35厘米，要制作20个铁环，至少需要多少米的铁丝？
25 一个大钟，它的分针长40厘米，这根分针的尖端移动2小时可以走多少路程？
26．有一个边长为3厘米的等边三角形，现将它按下图所示滚动，请问B点从开始到结束经过的路线的总长度是多少厘米？
27．自行车的车轮外直径是0.6m．
自行车的车轮转一圈，自行车行进了多少米？
如果自行车每分钟转200圈，那么骑这样的自行车通过3768m的大桥需要多少分钟？
28．一个圆形水池，直径是10米，在水池周围围一圈栅栏，再在水池外围修一条宽3米的环形小路。
（1）栅栏长度是多少米？
（2）这条小路的面积是多少？
/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
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参考答案：
1．C
2．C
【分析】圆的面积＝πr2，圆的半径比平方以后的比是面积比，据此分析。
【详解】22∶32＝4∶9
这两个圆的面积比是4∶9。
故答案为：C
【点睛】关键是理解比的意义，掌握并灵活运用圆的面积公式。
3．A
【分析】根据圆的周长公式C＝πd可知：一个圆的直径扩大到原来的n倍，周长也扩大到原来的n倍，据此解答即可。
【详解】一个圆的直径扩大4倍，它的周长扩大4倍。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查了圆的直径、周长与半径成正比例关系的灵活应用。
4．C
【分析】根据题意可知，半径为5m的圆形蓄水池扩建后的半径是（5＋1）m，求这个蓄水池增加的面积，就是求圆环的面积；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算即可求解。
【详解】5＋1＝6（m）
3.14×（62－52）
＝3.14×（36－25）
＝3.14×11
＝34.54（m2）
这个蓄水池的面积增加了34.54m2。
故答案为：C
5．B
【分析】观察图形可知，阴影部分扇形的半径都相等，第一幅图阴影部分的周长等于4条直径的长度再加上圆的周长，第二幅图阴影部分的周长等于两条直径的长度加上圆的周长；第一幅图的面积和第二幅的面积都是一个整圆的面积，据此选择即可。
【详解】由分析可知：
两个图形中阴影部分都是扇形，它们的半径都相等，比较它们阴影部分，周长不相等，面积相等。
故答案为：B
【点睛】本题考查圆的周长和面积，明确第一幅图和第二幅图周长的构成是解题的关键。
6．D
【分析】圆形的半径可由周长公式求得，再结合正方形、长方形、梯形的特点，令它们的周长为3.14米，通过假设法求得正方形的边长、长方形的长和宽、梯形的上下底和高，再求得它们的面积，最后比较即可。
【详解】A．3.14÷4＝0.785（m）
0.7852＝0.616225（m2）
B．3.14÷2＝1.57（m）
长方形的长和宽越接近，面积越大。
1.57＝0.79＋0.78
0.79×0.78＝0.6162（m2）
C．梯形的四条边越接近，面积越大。
3.14＝0.78＋0.79＋0.78＋0.79
令上下底分别为：0.78m、0.79m，高为0.78m，一腰长为0.79m，则面积为：
（0.78＋0.79）×0.78÷2
＝1.57×0.78÷2
＝1.2246÷2
＝0.6123（m2）
D．3.14÷3.14÷2
＝1÷2
＝0.5（m）
3.14×0.52
＝3.14×0.25
＝0.785（m2）
因为：0.785＞0.616225＞0.6162＞0.6123，所以用周长3.14米的铁丝围成的图形中，圆的面积最大。
故答案为：D
【点睛】本题具有一定难度，需要层层推理和计算，且过程繁琐，同时也是学生明白了，周长一定时，几种图形的面积大小的关系。
7．3.5
【分析】把一个圆分成若干（尽量多等分）等份，然后把它拼成一个近似长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，根据圆的周长公式求出圆的半径即可。
【详解】21.98÷3.14÷2
＝7÷2
＝3.5（厘米）
【点睛】本题考查圆的周长，解答本题的关键是掌握这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。
8． 20 1256
【分析】根据圆的周长公式，先求出圆的半径，再根据圆的面积公式求出面积即可。
【详解】125.6÷3.14÷2＝20（厘米）
3.14×20 ＝1256（平方厘米）
【点睛】圆的周长＝πd＝2πr，圆的面积＝πr 。
9． 12.56 12.56
【分析】利用圆的周长公式和圆的面积公式求出题目中的答案。
【详解】周长：3.14×4＝12.56（cm）；
面积：3.14×（4÷2）2
＝3.14×4
＝12.56（cm2）
【点睛】此题的解题关键是熟练掌握圆的周长和面积公式，解决实际的问题。
10． 6 3
【分析】根据原题可知，从一个长方形里剪一个最大的圆，长方形的宽是圆的直径；长20cm里面有3个6cm，所以最多能剪出3个这样的圆。
【详解】根据分析得，圆的直径等于长方形的宽，所以圆的直径是6cm。
20÷6＝3（个） 2（cm）
所以最多可以得3个这样的圆。
【点睛】解答本题的关键明确长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
11． 3∶2 9∶4
【分析】假设大圆和小圆的半径分别为3和2，据此利用圆的面积和周长公式，分别求出大圆的周长和面积、小圆的周长和面积，再做比即可。
【详解】令大圆半径为3，小圆半径为2，那么大圆周长：2×3.14×3＝18.84，大圆面积：3.14×32＝28.26，小圆周长：2×3.14×2＝12.56，小圆面积：3.14×22＝12.56，所以周长比：18.84∶12.56＝3∶2，面积比：28.26∶12.56＝9∶4。
【点睛】本题考查了圆的周长、面积以及比，属于综合性基础题，灵活运用圆的周长和面积公式是解题的关键。
12．1256
【分析】根据圆的周长公式（C=2πr）求出圆的半径，再根据圆的面积公式（S=πr2）求出面积即可。
【详解】125.6÷3.14÷2=20（厘米）
3.14×20×20=1256（平方厘米）
故答案为：1256
【点睛】此题主要考查圆的周长、面积公式。
13．12.56
【分析】根据圆的周长公式的变形式：r＝C÷2÷π算出树干的半径，再利用圆的面积公式：S＝πr2即可求出树干横截面的面积。
【详解】12.56÷2÷3.14＝2（分米）
3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方分米）
树干横截面的面积是12.56平方分米。
14． 50.24 75.36
【分析】
由“周长比原来多50.24厘米”，可求出现在圆的半径比原来多多少厘米，由“一个圆扩大后，面积比原来多8倍”，可知面积是原来的9倍，则半径就是原来的3倍，那么半径比原来多2倍，用半径比原来多的厘米数除以多的倍数，即求出原来的半径，然后即可求出原来的面积。
【详解】50.24÷3.14÷2
＝16÷2
＝8（厘米）
8＋1＝9
9＝3×3
3－1＝2
8÷2＝4（厘米）
3.14×42
＝3.14×16
＝50.24（平方厘米）
3.14×4×2
＝12.56×2
＝25.12（厘米）
25.12＋50.24＝75.36（厘米）
这个圆原来的面积是50.24平方厘米，现在的周长是75.36厘米。
15． 31.4 50
【分析】已知圆规两脚之间距离是5cm，即圆的半径是5cm；根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算即可；
如图，在圆内画一个最大的正方形，正方形的对角线把正方形平均分成两个完全一样的三角形，三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是正方形的面积。
【详解】圆的周长：
2×3.14×5
＝6.28×5
＝31.4（cm）
直径：5×2＝10（cm）
10×5÷2×2
＝50÷2×2
＝50（cm2）
【点睛】掌握圆的周长计算公式以及圆内最大正方形面积的求法是解题的关键。
16．×
【分析】先根据圆的周长求出圆原来的半径，再将半径加上1米，据此求出此时的周长。用变化后的周长减去圆原来的周长，求出周长增加了多少即可。
【详解】圆原来的半径：12.56÷2÷3.14＝2（米），
变化后的半径：2＋1＝3（米），
圆现在的周长：3.14×2×3＝18.84（米），
周长增加了：18.84－12.56＝6.28（米）。
故答案为：×
【点睛】本题考查了圆的周长，灵活运用圆的周长公式是解题的关键。
17．×
【分析】由圆的周长可推导出：，据此用125.6÷3.14求出树干横截面的直径，再与20cm作比较。
【详解】125.6÷3.14＝40（cm）
40cm≠20cm
所以它的直径是40cm。即原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】明确圆的周长计算公式是解决此题的关键。
18．√
【分析】圆的周长＝2πr，圆的面积＝πr2，可以设半径为2，则扩大到原来的2倍后的半径为4，分别求出原来的周长和面积以及扩大后的周长和面积，即可进行判断。
【详解】解：设半径为2，则扩大到原来的2倍后的半径为4，
原来的周长：2×π×2＝4π
扩大后的周长：2×π×（2×2）＝8π
周长扩大：8π÷4π＝2
原来的面积：π×22＝4π
扩大后的面积：π×（2×2）2＝16π
面积扩大：16π÷4π＝4
圆的半径扩大到原来的2倍，周长就扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的4倍，原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题主要考查圆的周长和面积公式的灵活应用。
19．√
【分析】半圆周长＝圆周长的一半＋直径，据此分析。
【详解】半径相等的两个半圆的周长之和包括一个整圆的周长和两条直径的长度，所以原题说法正确。
【点睛】关键是理解周长的含义，掌握半圆周长的求法。
20．×
【分析】两个圆的周长的比是2∶3，则这两个圆半径的比也是2∶3。设较小圆的半径为“2”，则较大圆的半径为“3”，根据圆面积计算公式“S＝πr2”分别写出小圆、大圆的面积，再根据比的意义即可写出这两个圆面积的比，再化成最简整数比。
【详解】两个圆的周长的比是2∶3，则这两个圆半径的比也是2∶3。设较小圆的半径为“2”，则较大圆的半径为“3”。
（π×22）∶（π×32）
＝4π∶9π
＝4∶9
两个圆的周长的比是2∶3，则这两个圆的面积的比是4∶9。即原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】两个圆半径的比＝直径的比＝周长的比，两个圆的面积比＝半径的平方的比。
21．1.66 3.44平方厘米
【详解】试题分析：（1）根据图知道阴影部分的面积为梯形的面积减去圆的面积，利用梯形的面积公式S=（a+b）×h÷2和圆的面积公式S=πr2分别求出梯形的面积和圆的面积，进而求出阴影部分的面积；
（2）阴影部分的面积为正方形的面积减去半径是2厘米的圆的面积，利用正方形的面积S=a×a和圆的面积公式S=πr2分别求出正方形的面积和圆的面积，进而求出阴影部分的面积．
解答：解：（1）（2+2.8）×2÷2﹣3.14×（2÷2）2，
=4.8﹣3.14，
=1.66，
（2）4×4﹣3.14×（4÷2）2，
=16﹣3.14×4，
=16﹣12.56，
=3.44（平方厘米）．
点评：关键是根据图，将阴影部分的面积可以转化为规则图形面积的和的问题，再利用相应的公式解决问题．
22．11万元
【详解】d=100(m)
r =100÷2=50(m)

=3.14×(50×50)
=3.14×2500
=7850(m )
7850×14≈11(万元)
答：修整这草坪大约需要11万元。
23．32.56平方米
【详解】试题分析：由题意可知：阴影部分由一个三角形和一个圆组成，三角形的底和高分别是两个正方形的边长，圆的半径是小正方形的边长，于是利用三角形和圆的面积公式即可求解．
解：小正方形的边长为：10×=4（米），
4×10÷2+×3.14×42，
=20+12.56，
=32.56（平方米），
答：阴影部分的面积是32.56平方米．
点评：解答此题的关键是明白：阴影部分的面积=三角形的面积+圆的面积．
24．（1）15个
（2）21.98米
【分析】（1）根据圆的周长C＝πd，求出制作一个铁环需要的铁丝长度，铁丝总长度÷一个铁环需要的铁丝长度，结果用去尾法保留近似数，就是最多制作的个数。
（2）根据圆的周长C＝πd，求出制作一个铁环需要的铁丝长度，一个铁环需要的铁丝长度×数量＝需要的铁丝长度，据此列式解答。
【详解】（1）3.14×40＝125.6（厘米）＝1.256（米）
20÷1.256≈15（个）
答：最多能制作15个。
（2）3.14×35＝109.9（厘米）＝1.099（米）
1.099×20＝21.98（米）
答：至少需要21.98米的铁丝。
【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长公式，理解用去尾法保留近似数的意义。
25．502.4厘米
【分析】由于分针转动一圈是60分钟，即1小时，分针的尖端移动2小时相当于分针转了2圈，分针长是40厘米，即半径是40厘米，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数代入公式即可求解。
【详解】3.14×40×2×2
＝125.6×2×2
＝502.4（厘米）
答：这根分针的尖端移动2小时可以走502.4厘米的路程。
【点睛】本题主要考查圆的周长公式，熟练掌握它的周长公式并灵活运用。
26、 18.84厘米
【详解】3.14×3×2÷360°×120°×3
=9.42×2÷360°×120°×3
=18.84÷360°×120°×3
＝18.84（厘米）
答：B点从开始到结束经过的路线的总长度是18.84厘米.
27．1.884m 10分钟
【详解】3.14×0.6=1.884（m）
3768÷（1.884×200）=10（分钟）
28．（1）31.4米
（2）122.46平方米
【分析】在水池周围围一圈栅栏，求栅栏长度，实际上是求直径是10米的圆的周长，根据公式：圆周长＝直径×圆周率计算即可。
（2）求这条小路的面积，实际上是求一个圆环的面积，圆环的面积＝外圆的面积－内圆的面积。先求出内圆的半径，而外圆的半径则等于内圆的半径加上环宽3米，再根据圆的面积＝圆周率×半径×半径，计算出内外两个圆的面积，最后再相减即可。
【详解】（1）3.14×10＝31.4（米）
答：栅栏长度是31.4米。
（2）10÷2＝5（米）
5＋3＝8（米）
3.14×8×8－3.14×5×5
＝200.96－78.5
＝122.46（平方米）
答：这条小路的面积是122.46平方米。
答案第1页，共2页
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