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新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第一章 有理数
1.2.4 绝对值
学习目标
1.理解绝对值的概念及性质.
2.会求一个有理数的绝对值.
重点：理解绝对值的概念及性质.
难点：会求一个有理数的绝对值
老师告诉你
(1)任意一个数的绝对值都是非负数，绝对值最小的数是 0.
(2)绝对值是它本身的数是非负数,即当=时,是正数或0(即非负数);绝对值是它的相反数的数是非正数，即当=时,是负数或(即非正数).
（3）任何有理数的绝对值都不小于它本身，即≥.
知识点拨
知识点1 绝对值的定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作
读作“a的绝对值”.
注意：a可以是正数、负数和0，由于数的绝对值是两点之间的距离，所以绝对值不可能是负数。
【新知导学】
例1-1．的绝对值是( )
A.3 B. C. D.
【对应导练】
1．若，则a的值为( )
A. B. C. D.
2．如果，则x的值是( )
A. B. C. D.
3．__________的相反数等于它本身，绝对值等于本身的数是__________；绝对值最小的数是__________.
知识点2 绝对值的性质
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0
总结
(1)任意一个数的绝对值都是非负数，绝对值最小的数是 0.
(2)绝对值是它本身的数是非负数,即当=时,是正数或0(即非负数);绝对值是它的相反数的数是非正数，即当=时,是负数或(即非正数).
（3）对于任意有理数都有≥0，即：
（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，即若a，b互为相反数，则＝;绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即若＝，则＝或＝-（+＝0）.
（5）在数轴上，一个数对应的点离原点越近，它的绝对值越小;离原点越远，它的绝对值越大.
（6）任何有理数的绝对值都不小于它本身，即≥.
（7）绝对值表示一个数对应的点到原点的距离，由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能是负数，即a取任意有理数，都有|a|0.
（8） .离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
（9）互为相反数的两个数绝对值相等。如：|2|=2，|-2|=2
【新知导学】
例2-1．计算：__________.
【对应导练】
1．已知，且a为整数，请写一个满足条件的a的值_________.
2．若，则x一定是( )
A.0 B.负数 C.正数或0 D.负数或0
3．下列各数中，可使成立的是( )
A. B.0 C.2 D.4
4．使等式成立的有理数x是( )
A.任意一个整数 B.任意一个非负数
C.任意一个非正数 D.任意一个有理数
知识点3 绝对值的非负性
根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，
即若，则=0且=0．
【新知导学】
例3-1．若，则 ．
【对应导练】
1．若，则 ， ．
2．已知，求的值．
3．若，求，的值．
4．已知，求的值．
二、题型训练
1.求一个数的绝对值
1.的绝对值是（ ）
A． B． C．2024 D．
的值为（ ）
A． B． C． D．
2.绝对值的非负性
3..若，则的值为（ ）
A． B．0
C．200 D．以上答案都不正确
4.的最小值等于（ ）
A．10 B．11 C．17 D．21
5..若，求，的值．
绝对值的应用
6..在检测一批足球时，随机抽取了4个足球进行检测，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A． B． C． D．
7.一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（ ）
A． B． C． D．
三、易错点点拨
错误1.对绝对值的意义理解错误
例3-1.判断正误：│-a│=2则a=-2
错误2.一个数的绝对值等于本身，则这个数一定是正数
例3-2.绝对值等于本身的数是________
错误3.一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数
例3-3 .绝对值等于它的相反数的数是________
错误4.如果两个数的绝对值相等，则这两个数一定相等
例3-4 判断│a│=2, │b│=2 ,则a=b
错误5.有理数的绝对值一定是正数。
例3-5 判断│a│>0
错误6.没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数
例3-6 绝对值最小的数是__________
牛刀小试
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．的相反数是( )
A.
B.
C.
D.
2．若,,则的值等于( )
A.
B.
C.
D.
3．的值为( )
A.
B.
C.
D.
4．若,则是( )
A.零 B.负数 C.非负数 D.负数或零
5．若 ,则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
6．若,则 ( )
A.2 B.-2
C.2或-2 D.以上答案都不对
答案：C
7．下面说法中正确的是( )
A.互为相反数的两个数的绝对值相等
B.一个数的绝对值是正数
C.一个数的绝对值的相反数一定是负数
D.只有负数的绝对值是它的相反数.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．已知，，则的值为__________.
10．如果一个数的绝对值等于4，那么这个数是_________.
11．绝对值等于的数是 。
12．化简__________
13．若，则_____.
三、解答题（共7小题，共56分）
14．（8分）分别求出：，，0，的绝对值.
15．（8分）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时，根据以上阅读完成：
（1）________.
（2）计算：.
16．（9分）同学们都知道，根据绝对值的几何意义，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：
（1）_______；
（2）找出所有符合条件的整数x，使成立，并说明理由.
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由.
17．（8分）回答下列问题：
(1),求x;
(2),求x的取值范围．
18．（7分）已知，求的值.
19．（8分）阅读下面的例题：
我们知道,则.
请你那么运用“类比”的数学思想尝试着解决下面两个问题.
(1),则__________；
(2),则__________.
20．（8分）如图，数轴的单位长度为1.
请回答下列问题:
（1）如果点表示的数互为相反数，那么点C表示的数是多少？
（2）如果点表示的数互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数？图中的5个点中，哪一个点表示的数的绝对值最小？最小的绝对值是多少？
新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第一章 有理数
1.2.4 绝对值（解析版）
学习目标
1.理解绝对值的概念及性质.
2.会求一个有理数的绝对值.
重点：理解绝对值的概念及性质.
难点：会求一个有理数的绝对值
老师告诉你
(1)任意一个数的绝对值都是非负数，绝对值最小的数是 0.
(2)绝对值是它本身的数是非负数,即当=时,是正数或0(即非负数);绝对值是它的相反数的数是非正数，即当=时,是负数或(即非正数).
（3）任何有理数的绝对值都不小于它本身，即≥.
知识点拨
知识点1 绝对值的定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作
读作“a的绝对值”.
注意：a可以是正数、负数和0，由于数的绝对值是两点之间的距离，所以绝对值不可能是负数。
【新知导学】
例1-1．的绝对值是( )
A.3 B. C. D.
答案：A
解析：,
的绝对值是3,
故选：A.
【对应导练】
1．若，则a的值为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：，
，
，
故选：B.
2．如果，则x的值是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：，
，
故选：C.
3．__________的相反数等于它本身，绝对值等于本身的数是__________；绝对值最小的数是__________.
答案：0；非负数；0
解析：由题意知，0的相反数等于它本身，绝对值等于本身的数是非负数；绝对值最小的数是0，
故答案为：0，非负数，0.
知识点2 绝对值的性质
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0
总结
(1)任意一个数的绝对值都是非负数，绝对值最小的数是 0.
(2)绝对值是它本身的数是非负数,即当=时,是正数或0(即非负数);绝对值是它的相反数的数是非正数，即当=时,是负数或(即非正数).
（3）对于任意有理数都有≥0，即：
（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，即若a，b互为相反数，则＝;绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即若＝，则＝或＝-（+＝0）.
（5）在数轴上，一个数对应的点离原点越近，它的绝对值越小;离原点越远，它的绝对值越大.
（6）任何有理数的绝对值都不小于它本身，即≥.
（7）绝对值表示一个数对应的点到原点的距离，由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能是负数，即a取任意有理数，都有|a|0.
（8） .离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
（9）互为相反数的两个数绝对值相等。如：|2|=2，|-2|=2
【新知导学】
例2-1．计算：__________.
答案：
解析：，
，
故答案为：.
【对应导练】
1．已知，且a为整数，请写一个满足条件的a的值_________.
答案：3（答案不唯一）
解析：，
，
即，
故答案为：3（答案不唯一）.
2．若，则x一定是( )
A.0 B.负数 C.正数或0 D.负数或0
答案：C
解析：，
故选：C.
3．下列各数中，可使成立的是( )
A. B.0 C.2 D.4
答案：D
解析：若，则为0或正数，
A、当时，，不能使成立，则此项不符合题意；
B、当时，，不能使成立，则此项不符合题意；
C、当时，，不能使成立，则此项不符合题意；
D、当时，，能使成立，则此项符合题意；
故选：D.
4．使等式成立的有理数x是( )
A.任意一个整数 B.任意一个非负数
C.任意一个非正数 D.任意一个有理数
答案：B
解析：，
与x同号或x为0，
是任意一个非负数.
故选：B.
知识点3 绝对值的非负性
根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，
即若，则=0且=0．
【新知导学】
例3-1．若，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查非负数的性质、代数式求值，根据非负数的性质得出，是解题的关键．
根据非负数的性质可得，，即，，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：6．
【对应导练】
1．若，则 ， ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值的非负性；根据非负数的性质可得，即可求解．
【详解】因为，且，，
所以，所以．
故答案为：，．
2．已知，求的值．
【答案】5
【分析】本题主要考查了绝对值非负的性质、代数式求值等知识，正确确定的值是解题关键．首先根据绝对值非负的性质求得的值，然后代入求值即可．
【详解】解：∵，
又∵，，，
∴，，，
解得，，，
∴．
3．若，求，的值．
【答案】，
【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质去绝对值是解题的关键．根据，求出，的值．
【详解】解：由绝对值的性质得，，
，
，，
，．
4．已知，求的值．
【答案】1
【分析】本题考查了绝对值的非负性，代数式求值；根据绝对值的非负性，求得，代入代数式，即可求解．
【详解】解：由题意得
解得
二、题型训练
1.求一个数的绝对值
1.的绝对值是（ ）
A． B． C．2024 D．
【解析】解：的绝对值是2024．
故选：C．
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查绝对值的定义．根据绝对值定义，正数和0的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数即可解答．
【详解】解：，
的值为，
故选：C．
2.绝对值的非负性
3..若，则的值为（ ）
A． B．0
C．200 D．以上答案都不正确
【解析】解：因为，且，，，
所以，，
所以，，
则，
故选：C．
4.的最小值等于（ ）
A．10 B．11 C．17 D．21
【解析】解：表示数轴上表示数的点，到表示数，，3，5的点的距离之和，
由数轴表示数的意义可知，
当时，这个距离之和最小，
最小值为，
故选：C．
5..若，求，的值．
【答案】，
【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质去绝对值是解题的关键．根据，求出，的值．
【详解】解：由绝对值的性质得，，
，
，，
，．
绝对值的应用
6..在检测一批足球时，随机抽取了4个足球进行检测，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：因为，
所以最接近标准，
故选：B．
7.一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋．
【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．
∴
∴最接近标准质量的是
故选：C．
三、易错点点拨
错误1.对绝对值的意义理解错误
例3-1.判断正误：│-a│=2则a=-2
【答案】错 ，绝对值等于2的数有两个，2
【点评】根据绝对值的定义，一个数的绝对值是指这个数与原点的距离。
错误2.一个数的绝对值等于本身，则这个数一定是正数
例3-2.绝对值等于本身的数是________
【答案】非负数
【点评】正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，也是它本身。
错误3.一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数
例3-3 .绝对值等于它的相反数的数是________
【答案】非正数
【点评】负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，0的相反数是0,0的绝对值也是它的相反数。
错误4.如果两个数的绝对值相等，则这两个数一定相等
例3-4 判断│a│=2, │b│=2 ,则a=b
【答案】错
【点评】│a│=2 ，则a= │b│=2则b=不一定相等。
错误5.有理数的绝对值一定是正数。
例3-5 判断│a│>0
【答案】错
【点评】有理数的绝对值一定是非负数。
错误6.没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数
例3-6 绝对值最小的数是__________
【答案】0
【点评】有理数的绝对值是非负数,最小的有理数是0
牛刀小试
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．的相反数是( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：根据绝对值的定义，负数的绝对值等于它的相反数，-3的绝对值是3，
故选B
点评：本题考查绝对值的意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数即可求出结果，正确理解绝对值的意义是解题关键
2．若,,则的值等于( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：根据绝对值的定义，负数的绝对值等于它的相反数，-5的绝对值是5，
即b的绝对值等于5，也就是到原点的距离是5的数是。
故选D
点评：本题考查绝对值的意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数即可求出结果，正确理解绝对值的意义是解题关键
3．的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：根据绝对值的定义，-4的绝对值是4,4的相反数是-4
故选A
点评：本题考查绝对值的意义，相反数的表示，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数即可求出结果，正确理解绝对值的意义，相反数的表示是解题关键。
4．若,则是( )
A.零 B.负数 C.非负数 D.负数或零
答案：D
解析：绝对值等于它的相反数的数是负数和0，即非正数，故选D
点评：本题考查绝对值的意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可求出结果，正确理解绝对值的意义是解题关键
5．若 ,则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：由绝对值性质可得:一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0,因为 ,所以,所以,选A。
点评：本题考查绝对值的意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可求出结果，正确理解绝对值的意义是解题关键
6．若,则 ( )
A.2 B.-2
C.2或-2 D.以上答案都不对
答案：C
考点：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。绝对值是指在数轴上这个数到原点的距离，所以2的绝对值是2和-2
点评：本题考查对绝对值知识的理解，题目很简单，只需理解就可作对。
7．下面说法中正确的是( )
A.互为相反数的两个数的绝对值相等
B.一个数的绝对值是正数
C.一个数的绝对值的相反数一定是负数
D.只有负数的绝对值是它的相反数.
答案：A
解析：
8．若,则与的关系是( )
A.
B. 或
C.
D.不能确定
答案：B
点评：本题考查对绝对值、相反数知识的理解，题目很简单，只需理解就可作对。
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．已知，，则的值为__________.
答案：3
解析：因为，，所以.
点评：本题考查对绝对值知识的理解加法运算，根据绝对值的定义，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，即可求得。
10．如果一个数的绝对值等于4，那么这个数是_________.
答案：
解析：由题意可得，.
故答案为：.
点评：根据绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离
11．绝对值等于的数是 。
答案：
解析：由题意可得|6|=6，|-6|=6，故答案为：,6
点评：根据绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离
12．化简__________
答案：
解析：|-4|=4-，|3-|=-3
4-+-3=1
考点：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。
13．若，则_____.
答案：
解析：，
，
故答案为：.
点评：绝对值等于5的数有两个，它们互为相反数
三、解答题（共7小题，共56分）
14．（8分）分别求出：，，0，的绝对值.
答案：，，0，
解析：解法一：因为到原点距离是个单位长度，所以.
因为到原点距离是个单位长度，所以.
因为0到原点距离为0个单位长度，所以.
因为到原点的距离是个单位长度，所以.
解法二：因为，所以.
因为，所以.
因为0的绝对值是它本身，所以.
因为，所以.
点评：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。正确理解绝对值意义是解题关键
15．（8分）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时，根据以上阅读完成：
（1）________.
（2）计算：.
答案：（1）
（2）0.9
解析：（1）.
（2）原式
.
点评：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。正确理解绝对值意义是解题关键
16．（9分）同学们都知道，根据绝对值的几何意义，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：
（1）_______；
（2）找出所有符合条件的整数x，使成立，并说明理由.
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由.
（1）答案：6
解析：解： ，
故答案为：6；
（2）答案：符合条件的整数x为、、0、1、2、3、4
解析：设、4、x在数轴上所对应的点分别为，
则，.
①X在点A的左边时，，
与X在点A的左边矛盾，不符合题意
②当X在点之间时，与相符，
此时X表示的整数可以为、、0、1、2、3、4；
整数x的值可以为、、0、1、2、3、4；
③X在点B的右边时，，
，与X在点B的右边矛盾，不符合题意
综上所述：符合条件的整数x为、、0、1、2、3、4；
（3）答案：3，理由见解析
解析：对于任何有理数x，有最小值，最小值为3.
设3、6、x在数轴上所对应的点分别为，
则，.
由（2）同理可知，当X在点A的左边时，，
当X在点之间时，，
当X在点B的右边时，，
，
，当X在之间时取等号.
有最小值3.
点评：根据绝对值的几何定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，正确理解绝对值的几何意义是解题关键。
17．（8分）回答下列问题：
(1),求x;
(2),求x的取值范围．
答案：(1)由题意得:,所以或;
(2)由题意得:,所以．
点评：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。正确理解绝对值意义是解题关键
18．（7分）已知，求的值.
答案：解：根据题意得，
解得，
所以.
点评：本题考查非负数性质，正确应用非负数性质是解题关键
19．（8分）阅读下面的例题：
我们知道,则.
请你那么运用“类比”的数学思想尝试着解决下面两个问题.
(1),则__________；
(2),则__________.
答案：(1)因为,则或；
(2)因为,
可得：,
解得：或7；
故答案为：(1)或(2)1或7.
点评：根据绝对值的几何定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，正确理解绝对值的几何意义是解题关键。
20．（8分）如图，数轴的单位长度为1.
请回答下列问题:
（1）如果点表示的数互为相反数，那么点C表示的数是多少？
（2）如果点表示的数互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数？图中的5个点中，哪一个点表示的数的绝对值最小？最小的绝对值是多少？
答案：(1)因为点表示的数互为相反数，所以原点就应该是线段的中点，即在C点右边一格，所以C点表示数.
(2)如果点表示的数互为相反数，那么原点是线段的中点，即点C左边半格，所以点C表示的数是正数点C表示的数的绝对值最小，最小的绝对值是0.5.
点评：本题考查互为相反数性质，绝对值定义，非负数性质，正确应用相反数、绝对值性质质是解题关键
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