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2.2　有理数的乘法与除法
2.2.1　有理数的乘法
第1课时
【教学目标】
1.理解有理数的乘法法则.
2.能利用乘法法则熟练进行有理数的乘法运算.
3.理解倒数的意义,会求一个有理数的倒数.
4.在经历探究有理数乘法法则的过程中,通过观察、分析、归纳、概括,得出有理数乘法的规律,建立数感和符号感;体验数形结合思想、分类讨论思想、归纳法在数学中的应用.
【重点难点】
重点:有理数的符号法则.
难点:利用法则熟练进行有理数的乘法运算.
【教学过程】
一、创设情境
前面学习了有理数的加减法,接下来就应该学习有理数的乘除法.同学们先看下面的问题:
1.2×3等于多少 表示什么
答案:2×3=6,表示3个2相加,即2×3=2+2+2.
2.请将(-2)+(-2)+(-2)写成乘法算式.
答案:(-2)+(-2)+(-2)=(-2)×3.
我们已经熟悉正数和0的乘法运算,但是在实际问题中还会遇到超出正数范围的乘法运算,它怎么计算呢 这就是我们今天要研究的有理数的乘法.
二、探究归纳
探究点1:有理数的乘法运算
问题1:一只蜗牛,沿一条东西方向的跑道,以每分钟3分米的速度一直向东爬行.记蜗牛原来的位置为点O,那么在3分钟后、2分钟后、1分钟后、0分钟、1分钟前、2分钟前、3分钟前,它位于这一点的哪个方向 相距多少米 分别用算式表示.
填一填:
(1)如果这只蜗牛向右爬行2厘米记为+2厘米,那么向左爬行2厘米应记为　　　　.
(2)如果3分钟后记为+3分钟,那么3分钟前应记为　　　　.
追问1:观察下面的四个乘法算式,你能发现什么规律吗
3×3=9,
3×2=6,
3×1=3,
3×0=0.
规律:随着后一乘数逐次递减1,积逐次递减3.
追问2:观察下面的三个乘法算式,说明以上规律在引入负数后是否仍然成立 (结合蜗牛1分钟前、2分钟前、3分钟前的位置思考)
3×(-1)=-3;
3×(-2)=-6;
3×(-3)=-9.
问题2:两只小虫,在同一地点O处,它们沿一条东西方向的跑道爬行.若一只分别以每分钟3米、2米、1米、0米的速度向东爬行3分钟,另一只分别以每分钟1米、2米、3米的速度向西爬行3分钟,那么它们爬行后的位置分别在这一点的哪个方向 相距多少米
追问1:观察下面的算式,你又能发现什么规律吗
3×3=9,
2×3=6,
1×3=3,
0×3=0.
师生活动:规律是随着前一乘数逐次递减1,积逐次递减3.
追问2:要使这个规律在引入负数后仍成立,那么应有
(-1)×3=-3;
(-2)×3=-6;
(-3)×3=-9.
追问3:从符号和绝对值两个角度观察上述算式,你发现有什么规律
【归纳总结】①从符号角度观察,可归纳积的特点是:
正数乘正数,积为正数;
正数乘负数,积为负数;
负数乘正数,积为负数.
②从绝对值角度观察,可归纳积的特点是:
积的绝对值等于各乘数绝对值的积.
问题3:一只小虫,沿一条东西方向的跑道,以每分钟3米的速度一直向西爬行.记小虫原来的位置为点O,那么在3分钟后、2分钟后、1分钟后、0分钟、1分钟前、2分钟前、3分钟前,它分别位于这一点的哪个方向 相距多少米
追问1:利用上面归纳的结论计算下面的算式,你发现什么规律
(-3)×3=-9,
(-3)×2=-6,
(-3)×1=-3,
(-3)×0=0.
师生活动:规律:随着后一乘数逐次递减1,积逐次增加3.
追问2:按照上述规律,下面的空格可以各填什么数,从中可以归纳出什么结论
(-3)×(-1)=　　　　　;
(-3)×(-2)=　　　　　;
(-3)×(-3)=　　　　　.
【归纳总结】负数乘负数,积为正数,乘积的绝对值等于各乘数绝对值的积.
问题4:你能从中归纳有理数乘法的法则吗 (也就是结果的符号怎么定 绝对值怎么算 )
有理数乘法法则:
两数相乘,同号得正,异号得负,且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
任何数与0相乘,都得0.
符号表示如下:
设a,b为正有理数,c为任意有理数,则
(+a)×(+b)=a×b,(-a)×(-b)=a×b,
(-a)×(+b)=-(a×b),(+a)×(-b)=-(a×b),
c×0=0,0×c=0.
显然,两个有理数相乘,积是一个有理数.
问题5:讨论,进一步深化理解有理数乘法的符号法则.
(1)若a<0,b>0,则ab　　　　0.
(2)若a<0,b<0,则ab　　　　0.
(3)若ab>0,则a,b应满足什么条件
(4)若ab<0,则a,b应满足什么条件
【典例评析】
例1:教材P39【例1】
归纳:有理数乘法的求解步骤:先确定积的符号,再确定积的绝对值.
【解题反思】观察T(1)8×(-1)=-8.你有什么发现
结论:一个数同-1相乘,得原数的相反数.
【针对性训练】教材P40练习T1
探究点2:倒数
问题1:观察例1T(2),有什么特点
要点归纳:有理数中仍然有:乘积是1的两个数互为倒数.
问题2:数a(a≠0)的倒数是什么 在这里为什么规定a≠0
【针对训练】教材P40练习T3.
【典例评析】
例2:用正负数表示气温的变化量,上升为正,下降为负,登山队攀登一座山峰,每登高1 km气温的变化量为-6 ℃,攀登3 km后,气温有什么变化
【针对性训练】教材P40练习T2
【解题反思】利用有理数乘法解决实际问题,先要把实际问题转化为数学问题,建立有理数乘法算式,再根据有理数乘法的法则进行计算得出结论.
三、检测反馈
1.一个有理数与其相反数的积 (　　)
A.符号必定为正　　　　B.符号必定为负
C.一定不大于零 D.一定不小于零
2.下列说法错误的是 (　　)
A.任何有理数都有倒数
B.互为倒数的两个数的积为1
C.互为倒数的两个数同号
D.1和-1互为负倒数
3.填空:
(1)-7的倒数是　　　　,它的相反数是　　　　,它的绝对值是　　　　.
(2)-2的倒数是　　　　,-2.5的倒数是　　　　.
(3)倒数等于它本身的有理数是　　　　.
4.计算:
(1)2×(-4).(2)×.
(3)(-10.8)×.(4)×0.
四、交流反思
1.有理数乘法法则:
两数相乘,同号得正,异号得负,且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.任何数与0相乘,都得0.
2.有理数乘法的求解步骤:有理数相乘,先确定积的符号,再确定积的绝对值.
3.乘积是1的两个数互为倒数.
五、布置作业
P47T1,2,3
六、板书设计
七、教学反思
本节课通过比较数字算式蕴含的规律性,类比发现有理数乘法法则,教学中,应该让学生推敲与比较这些算式,发现其中存在的规律,并会从符号、绝对值两个方面描述这种规律,体会有理数乘法法则的合理性.
有理数乘法法则涉及运算结果的符号与绝对值两个方面,因此,学生在初期进行有理数乘法运算时,要求他们从这两个方面分层次、有步骤地思考,即先考虑两个乘数的符号,然后决定积的符号,再考虑两个乘数的绝对值,进而决定积的绝对值大小.

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