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5.3　实际问题与一元一次方程
第4课时
【教学目标】
1.体会分类思想和方程思想在解决问题中的作用,能够根据已知条件选择分类关键点对“不同能效空调的综合费用问题”进行整体分析,从而确定购买方案.
2.进一步深化对数学建模方法的体验,增强应用方程模型解决问题的意识和能力.
3.经历由实际问题抽象为方程模型的过程,进一步体会模型化的思想.
【重点难点】
重点:能够理解题目信息,建立方程模型解决不同能效空调的综合费用问题.
难点:关键点的选择,整体方案的确定.
【教学过程】
一、创设情境
购买空调时,需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打算从两款空调中选购一台,下表是这两款空调的部分基本信息.如果电价是0.5元/(kW·h),请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗 电量/(kW·h)
1.5 1级 3 000 640
1.5 3级 2 600 800
你能根据提供的信息帮他作出选择吗
二、探究归纳
探究点:综合费用问题
针对情景中的问题,完成以下问题:
(一)明确综合费用的决定因素:综合费用=空调的售价+电费.
选定一种空调后,售价是确定的,电费则与使用的时间有关.
(二)分析比较综合费用:
1.直观计算观察
你觉得购买哪种能效等级的空调更省钱 填下面的表格,你有什么发现
使用时间(年) 1 2 3 4 5 6
1级能效空调的 综合费用(元)
3级能效空调的 综合费用(元)
2.列式比较
设空调的使用年数是t.
①1级能效空调的综合费用可以表示为　　　　;
3级能效空调的综合费用可以表示为　　　　;
②若两款空调的综合费用相等,你所列的方程是　　　　　它的解是　　　　　　　.
3.选择更省钱的购买方案与哪个量有直接关系 应该如何将t的取值进行分类
我们把表示3级能效空调的综合费用的式子2 600+400t变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和,即3 000-400+320t+80t=3 000+320t+80(t-5).
①当t<5时,80(t-5)是负数,这表明3级能效空调的综合费用较低;
②当t>5时,80(t-5)是正数,这表明1级能效空调的综合费用较低.
综上所述,当　　　　时,选择购买1级能效空调;
当　　　　时,选择两种空调一样.
当　　　　时,选择购买3级能效空调.
考虑实际情况,根据相关行业标准,空调的安全使用年限是10年(从生产日期计起),因此购买、使用1级能效空调更划算.
【反思小结】回顾以上探究过程,我们发现解决此问题要先找出关键性的使用时间,并由此进行分类,列出不同区间的计费方法,从而确定最合理的购买方案.
　　要点归纳:
【典例评析】
例1:观察下列两种移动电话计费方式表:
项目 全球通 神州行
月租费 50元/月 0
本地通话费 0.40元/分 0.60元/分
设计以下问题:
1.你能从表中获得哪些信息,试用自己的话说说.
2.猜一猜,使用哪一种计费方式合算
3.一个月内在本地通话200分和300分,按两种计费方式各需交费多少元
4.对于某个本地通话时间,会出现两种计费方式的收费一样的情况吗
解:1.用“全球通”每月收月租费50元,此外根据累计通话时间按0.40元/分加收通话费;用“神州行”不收月租费,根据累计通话时间按0.60元/分收通话费.
2.不一定,具体由当月累计通话时间决定.
3.
项目 全球通 神州行
200分 130元 120元
300分 170元 180元
　　4.设累计通话t分,则用“全球通”要收费(50+0.4t)元,用“神州行”要收费0.6t元,如果两种计费方式的收费一样,则
0.6t=50+0.4t
移项得0.6t-0.4t=50
合并,得0.2t=50
系数化为1,得t=250
答:如果一个月内通话250分,那么两种计费方式的收费相同.
例2:一个周末,王老师等3名教师带着若干名学生外出考察旅游,旅费为300元/人.联系了标价相同的两家旅游公司,经洽谈,甲公司给出的优惠条件是:教师全部付费,学生按七五折付费;乙公司给的优惠条件是:全部师生按八折付费,请你参谋参谋,选择哪家公司较省钱
学生独立思考后,进行讨论:
1.本题如何设未知数
2.甲公司的旅费该怎样表示
3.乙公司的旅费该怎样表示
4.两公司的旅费可能相等吗
5.若甲公司的旅费比乙公司的旅费多,该怎样表示
6.同理,若乙公司的旅费比甲公司的旅费多,该怎样表示
三、检测反馈
A组
1.“全球通”移动电话的计费方法:月租费50元/月,本地通话费0.40元/分.一个月内,若通话200分钟,需交费　　　　元;若通话x分钟,需交费　　　　元.
2.5位教师和一群学生一起去公园,教师买全票,票价是每张7元,学生只收半价.若设学生共有x人,则买门票共需花费　　　　元.如果买门票共花费了206.50元,那么学生有　　　　人.
3.国庆节前几天,两家商场的同一种彩电的价格相同.国庆节两家商场都有降价促销活动.甲商场的这种彩电降价500元,乙商场的这种彩电打9折.
(1)若原价是2000元/台,则降价后甲商场的彩电价格为　　　　元,乙商场的彩电价格为　　　　元.因此,到　　　　商场买便宜
(2)若原价是20 000元/台,则降价后甲商场的彩电价格为　　　　元,乙商场的彩电价格为　　　　元.因此,到　　　　商场买便宜
(3)若设原价为x元,则降价后,甲商场的价格为　　　　元,乙商场的价格为　　　　元.
(4)当原价是　　　　时,降价后两商场彩电的价格仍然相等.
B组
1.某公司到果园基地购买某种优质水果,果园基地对购买3 000 kg以上(含3 000 kg)的顾客有两种销售方案,甲方案:每千克9元,由基地送货上门;乙方案:每千克8元,由顾客自己租车运回.已知该公司租车从基地到公司的运费为5 000元,问选择哪种购买方案付款较少 并说明理由.
2.某学校组织学生春游,如果租用若干辆45座的客车,则有15个人没有座位,如果租用相同数量60座的客车,则多出1辆,其余车恰好坐满,已知租用45座的客车日租金为每辆车250元,60座的客车日租金为300元,问若租60座的车,要多少辆能使所有的学生刚好坐满 你认为租用哪种客车更合算
3.某工厂餐厅计划购买12张餐桌和一批餐椅,现在从甲乙两商场了解到:同一型号的餐桌报价每张均为200元,餐椅报价每把均为50元,甲商场称,每购买一把餐桌赠送一把餐椅,乙商场规定:所有桌椅均按报价的八五折销售,若该工厂计划购买餐椅x把,则:
(1)用含x的代数式表示到甲乙两商场购买所需要的费用.
(2)当购买多少把餐椅时,到甲乙两商场购买所需的费用相同
四、本课小结
解决此类问题的关键是能够找到影响费用的变量,根据已知条件找到合适的分段点,然后建立方程模型分类讨论,从而得出整体选择方案.
五、布置作业
基础:P139练习T1、2
综合:P141习题T14,P143活动1生活中的阶梯计价问题
六、板书设计
七、教学反思
课程改革的目的之一是促进学习方式的转变,加强学习的主动性和探究性,本章内容涉及大量的实际问题,丰富多彩的问题情境和解决实际问题的快乐,更容易激起学生对数学的兴趣,在本节中,引导学生从身边的不同能效空调的综合费用、移动电话收费,旅游费用等问题展开探究,使学生在现实、富有挑战性的问题情境中经历多角度认识问题,多种策略思考问题,尝试解释答案的合理性的活动,培养探索精神和创新意识.
在前面几节学习中,已经对利用一元一次方程解决问题的基本过程进行多次渗透,逐步细化,本节要求学生用框图概括,使学生对“应用一元一次方程解决实际问题”有较理性的认识,进一步体会模型化的思想.

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