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第三单元倍数与因数
（知识梳理+专项练习）
分数乘法
一、倍数与因数
1.倍数与因数的意义：自然数a(a≠0)乘自然数b(b≠0)，所得的积是自然数c，那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。
2.求一个数的倍数的方法：用这个数乘1,2,3,4，…，所得的积都是这个数的倍数。
一个数的倍数的特点：一个数的倍数是无限的，其中最小的是它本身。
3.求一个数的因数的方法：用乘法算式把一个数写成另两个数乘积的形式，那这两个数就是这个数的因数。一个数的因数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
二、2、5、3的倍数的特征
1.个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。
2.个位上是0或5的数都是5的倍数。
3.一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
三、奇数和偶数
是2的倍数的数是偶数；不是2的倍数的数是奇数。
四、质数和合数
1.一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫质数。
2.一个数除了1和它本身外还有其他的因数，这个数叫合数。
3. 1既不是质数也不是合数。
分数乘法
一、选择题
1．15的最大因数是（ ），最小倍数是（ ）。
①1 ②3 ③5 ④15
A．①④ B．②④ C．④③ D．④④
2．下面各数中，同时是2、3、5的倍数的是（ ）。
A．206 B．310 C．540 D．405
3．一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有余数，这筐苹果最少应有（ ）．
A．120个 B．90个 C．60个 D．30个
4．迄今为止，数学家已经证明：任何一个比较大的偶数，都可以表示成一个素数加上两个素数的积．比如，16=7+3×3，再如，38=3+5×7，那么100=（ ）．
A．9+7×13 B．17+3×31 C．1+3×33 D．13+3×29
5．要使四位数43□□同时是2、3、5的倍数，这个数可能是（ ）。
A．4310 B．4320 C．4330 D．4340
6．下列判断中，正确的有（ ）
①21×3=63，因此3和21都是因数，63是倍数．②能被3整除的最小三位数是120.③所有的偶数都是合数．④能被3整除的数的特点是各位上的数都是3的倍数．④大于2的所有的偶数都是合数．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．10~20之间的质数有( )。
8．根据算式4×9＝36可知，( )是( )的倍数，( )是( )的因数．根据算式54÷9＝6可知，( )是( )的倍数，( )是( )的因数．
9．1972、1982、1992这三个数，分别减去同一个四位数时，得到的差是三个质数，这个四位数是( )．
10．在2、9、23、39、110、111中，( )能被2整除，3的倍数有( )，质数有( )，合数有( )。
11．从0，5，4，3选出两个数字组成一个两位数，分别满足下面的条件。
(1)同时是2和5的倍数( )。
(2)同时是2和3的倍数( )。
(3)同时是3和5的倍数( )。
12．用5、6、7这三个数字，组成是5的倍数的三位数是( )；组成一个是3的倍数的最小三位数是( )。
13．在3、8、20、30中，( )是( )的因数，同时是2，3和5的倍数的数是( )．
14．30的所有因数中，奇数有( )个，偶数有( )个，质数有( )个，( )既不是质数，也不是合数，( )既是奇数又是合数。
15．一个数各个数位上的数字加起来的和是9的倍数，那么这个数也是( )的倍数。
16．在6、3、5、0、8、7这六个数中选出五个数组成一个能同时被2、3、5整除的最小五位数( )．
三、判断题
17．因为27÷9＝3，所以27是倍数，9是因数。( )
18．公因数只有1的两个数，叫做互质数。( )
19．如果用N来表示自然数，那么偶数可以用N＋2表示。( )
20．既是2、5的倍数又是3的倍数，个位上数字一定是0。( )
21．相邻的两个自然数，可能都是奇数或都是偶数．( )
四、作图题
22．把下面的数按要求填入框内。
1 2 17 29 36 37 41 57 61 78 84 100
五、解答题
23．一个数的最大因数和最小倍数相加等于62，这个数是多少？
食品店运来一些面包，无论分给4个小朋友，还是分给7个小朋友，都正好分完．这些面包最少有多少个
有100朵玫瑰花要扎成花束，每束花的朵数相同，有多少种不同的扎法？(每束至少2朵，至少扎2束)
一篮鸡蛋40个，要求每次拿出的个数相同，最后没有剩余。不能一个一个地拿，也不能一次全拿走，可以怎样拿？请写出三种方法。
五(1)班有40人，其中男、女生人数都是质数，且男、女生人数的乘积是391．五(1)班男、女生各有多少人？(男生人数比女生人数少)
28．李玉和妈妈到超市买了一些毛巾和洗衣液，李玉算出的总价钱是79元。她算得对吗？
在“迎国庆，庆中秋”文艺晚会中，体操表演队有24名同学要排成每行人数相等的长方形队列，可以怎样排？（每行或每列的人数，不得少于3人）
小军家的客厅地面长4米，宽3.5米，如果用边长5分米的正方形地砖来铺，需要多少块这样的地砖？
育英小学五年级36名同学排队表演校园集体舞，要使每行人数相等（每行不能是1人或36人），一共有多少种不同的排法？
晚上小明家正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了5下开关，这时灯是亮还是暗？如果按了50下呢？
33．2023年12月12日是西安事变87周年。张老师买了30枚纪念章，现在要把这些纪念章全部装进盒子里（盒子数大于3，小于10），且每个盒子里装同样多，有多少种不同的装法？
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参考答案：
1．D
【分析】一个数的因数是有限的，其中最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，据此解答。
【详解】15的最大因数是15，15的最小倍数是15。
故答案为：D
2．C
【分析】同时是2、3、5的倍数的数，个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数，据此选择。
【详解】A．206，个位上是6，不是5的倍数。
B．310，3＋1＋0＝4，不是3的倍数。
C．540，5＋4＋0＝9，个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。符合题意。
D．405，个位上是5，不是2的倍数。
故选择：C
【点睛】此题考查了2、3、5的倍数特征，需牢记并能灵活运用。
3．C
【分析】根据题意，这筐苹果的个数能被2、3、4、5整除，即这筐苹果最少的数量是2、3、4、5的最小公倍数，即可解答。
【详解】3×4×5
＝12×5
＝60（个）
这筐苹果最少应有60个。
故答案为：C
4．D
【详解】由题意可知要表示成一个素数加上两个素数的积，都是素数（质数），这三个素数，两个素数的积，一定有一个是10以内的，再想100以内的质数进行分析．
解：由素数3、13、29三个数组成如下：
100=3×29+13，故答案为D．
5．B
【分析】同时是2、3、5的倍数，则该四位数个位上是0且各数位上数字之和是3的倍数；据此逐项分析即可。
【详解】A．个位上是0，4＋3＋1＋0＝8，8不是3的倍数，所以4310不是3的倍数，不符合题意；
B．个位上是0，4＋3＋2＋0＝9，9是3的倍数，所以同时是2、3、5的倍数，符合题意；
C．个位上是0，4＋3＋3＋0＝10，10不是3的倍数，所以4330不是3的倍数，不符合题意；
D．个位上是0，4＋3＋4＋0＝11，11不是3的倍数，所以4340不是3的倍数，不符合题意；
故答案为：B
【点睛】本题主要考查2、3、5的倍数特征的灵活运用。
6．A
7．11，13，17，19
【分析】一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其它自然数整除，那么它就叫做质数。据此解答即可。
【详解】根据分析可知：10~20之间的质数有11，13，17，19。
8． 36 4和9 4和9 36 54 9和6 9和6 54
9．1969
10． 2，110 9，39，111 2，23 9，39，110，111
【分析】2，110个位上分别是2和0，所以这两个数能被2整除。
9，39，111这三个数各个数位上的数字相加的和能被3整除，所以这三个数是3的倍数。
2的因数有：1，2；23的因数有：1，23，所以2，23是质数。
9的因数有：1，3，9；39的因数有：1，3，13，39；110的因数有：1，2，11，55，110；111的因数有：1，3，37，111，即合数有9，39，110，111。
【详解】在2、9、23、39、110、111中，（2，110）能被2整除，3的倍数有（9，39，111），质数有 （2，23），合数有（1，3，37，111）。
【点睛】考查了2、3的倍数的特征，质数、合数，学生应掌握。
11．(1)50（答案不唯一）
(2)54（答案不唯一）
(3)30（答案不唯一）
【分析】（1）同时是2和5倍数的数的特征：个位上的数字是0，据此解答。
（2）同时是2和3倍数的数的特征：个位是0、2、4、6、8；各个数位上的数字的和是3的倍数。
（3）同时是3和5的倍数的数的特征：个位是0或5；各个数位上的数字的和是3的倍数。
【详解】（1）通过分析，同时是2和5的倍数：50。
（2）同时是2和3的倍数：54。
（3）同时是3和5的倍数：30。
12． 675；765 567
13． 3 30 30
【分析】3可以整除30，所以3是30的因数；2的倍数的特征是这些数的个位是0、2、4、6、8的数；3的倍数的特征是这些数各个数位上数字之和是3的倍数；5的倍数的特征是这些数的末尾是0或5；同时是2，3和5的倍数的数要同时满足这3个特征即可．
【详解】解：在3、8、20、30中，3是30的因数，同时是2，3和5的倍数的数是30．故答案为3；30；30．
14． 4 4 3 1 15
【分析】根据找一个数因数的方法，找出30的所有因数；自然数中，是2的倍数的数为偶数，不是2的倍数的数为奇数；在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数。
【详解】30的所有因数：1、2、3、5、6、10、15、30；
奇数有：1、3、5、15，一共有4个；
偶数有：2、6、10、30，一共有4个；
质数有： 2、3、5，一共有3个；
既不是质数，也不是合数的是1；
既是奇数又是合数的是15。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握偶数与奇数、质数与合数的意义。
15．9
【分析】各个数位上的数字之和是9的倍数，这个数就是9的倍数，例如：12564，1＋2＋5＋6＋4＝18，18是9的倍数，12564是9的倍数；1850634，1＋8＋5＋0＋6＋3＋4＝27，27是9的倍数，1850634是9的倍数；据此即可解答。
【详解】根据分析可知，一个数各个数位上的数字加起来的和是9的倍数，那么这个数也是9的倍数。
16．35670
17．×
【分析】整数a能被整数b整除，则a是b的倍数，b是a的因数，据此解答。
【详解】因为27÷9＝3，所以27是9的倍数，9是27的因数。
故答案为：×
【点睛】倍数和因数是相互依存的关系，不能说某一个数是倍数或因数。
18．√
【分析】公因数只有1的两个数叫做互质数，互质数的最大公因数是1。
【详解】根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数。
故答案为：√
【点睛】本题考查互质数的概念。
19．×
【分析】根据偶数和奇数的意义：自然数中，是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数；如果用N来表示自然数，因为2为偶数，当N为偶数时，N＋2为偶数，当N为奇数时，N＋2为奇数；据此判断即可。
【详解】据分析可知：
如果用N来表示自然数，当N为奇数时，则N＋2为奇数，
当N为偶数时，则N＋2为偶数，
所以原题的说法错误。
故答案为：×
20．√
【分析】2的倍数的特征：如果一个整数的个位数是0、2、4、6、8，那么它必能被2整除；
5的倍数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除；
3的倍数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此解答。
【详解】既是2、5的倍数又是3的倍数，个位上数字一定是0。
故答案为：√
【点睛】掌握2、3、5的倍数特征是解题的关键。
21．×
22．见详解
【分析】整数中能被2整除的数为偶数，不能被2整除的数为奇数；
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除以1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，据此解答。
【详解】由分析得：
【点睛】解答本题关键是熟练掌握奇数、偶数、质数以及合数的意义。
23．31
【分析】根据一个数的最大因数和最小倍数是本身，计算出这个数。
【详解】62÷2＝31
答：这个数是31。
【点睛】此题主要考查找一个数的因数、倍数的方法，解题的关键是掌握“一个数的最大因数和最小倍数是本身”的特点，是因数和倍数的意义的实际应用。
24．解：4的倍数有：4、8、12、16、20、24、28、30……
7的倍数有：7、14、21、28、35……
答：这些面包最少有28个．
【详解】面包分给4个4个小朋友和分给7个小朋友，都正好分完，所以面包的个数既是4的倍数，又是7的倍数，要求这些面包最少有多少个，就是求同时是4和7的倍数的数中的最小的数．
25．7种
【详解】100=2×50=4×25=5×20=10×10所以可以分成2束，每束50朵，或者50束，每束2朵；
还可以分成4束，每束25朵，或者25束，每束4朵；
可以分成5束，每束20朵，或者20束，每束5朵；
还可以分成10束，每束10朵；
一共7种分法．
26．40÷2=20（次） 每次拿2个，拿20次
40÷5=8（次） 每次拿5个，拿8次
40÷8=5（次） 每次拿8个，拿5次
【详解】40的因数有1，2，4，5，8，10，20，40.不能一个一个拿，也不能一次全拿走，排除1和40。
答：40÷2＝20（次） 每次拿2个，拿20次；
40÷5＝8（次） 每次拿5个，拿8次；
40÷8＝5（次） 每次拿8个，拿5次。
27．男生：17人 女生：23人
【分析】从最小的质数开始试算，判断出两个质数的积和是40且这两个数的积是391的数即可确定男生和女生的人数.
【详解】17+23=40，17×23=391，17＜23
答：男生：17人，女生：23人.
28．不对
【分析】根据总价＝单价×数量可知，一块毛巾6元，所以毛巾的总价应是6的倍数，6是偶数，6的倍数都是偶数；一袋洗衣液20元，洗衣液的价格是20的倍数，也是偶数，偶数＋偶数＝偶数，毛巾和洗衣液的总价钱也应是偶数，由此判断。
【详解】毛巾的总价＝6×毛巾的数量，
6是偶数，所以毛巾的总价是偶数；
洗衣液的总价＝20×洗衣液的数量
20是偶数，所以洗衣液是偶数；
偶数＋偶数＝偶数，所以毛巾和洗衣液的总价钱也应是偶数，79是奇数，不符合总价，所以李玉算得不对。
答：她算得不对。
【点睛】解决本题根据：一个数×偶数＝偶数，以及偶数＋偶数＝偶数进行判断。
29．见详解
【分析】求24名同学怎样排成每行人数相等的长方形队列，其实就是求24的几组因数：1与24，2与12，3与8，4与6；
要求每行或每列的人数，不得少于3人，排除1与24、2与12这两组即可。
【详解】24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24；
每行或每列的人数，不得少于3人，则可以排成：
每行3人，排8列；
每行8人，排3列；
每行4人，排6列；
每行6人，排4列。
答：可以排每行3人，排8列；或每行8人，排3列；或每行4人，排6列；或每行6人，排4列。
30．56块
【分析】由题意知：长4米，一行可以铺8块边长5分米的正方形地砖、宽3.5米，可以铺7行，一共需要8×7＝56块地砖。据此解答。
【详解】4米＝40分米
3.5米＝35分米
40÷5＝8（块）
35÷5＝7（行）
8×7＝56（块）
答：需要56块这样的地砖。
【点睛】巧用倍数关系，不计算客厅地面的面积和地砖的面积，是解答本题的关键。
31．7种
【分析】求出36有多少个因数，进而找出符合条件的排法即可。
【详解】36＝1×36，排成1行或者36行，都不符合题意；
36＝2×18，排成2行或者18行；
36＝3×12，排成3行或者排成12行；
36＝4×9，排成4行或者排成9行；
36＝6×6，排成6行。
答：一共有7种不同的排法。
【点睛】解答此题关键是将36进行分解因数，有几个因数就有几种排法，进而从中选择符合条件的排法。
32．暗；亮
33．2种
【分析】每个盒子的数量必须是30的因数，先求出30的所有因数，找到大于3小于10的因数，是每个盒子装的个数；纪念章的总数÷每个盒子装的个数＝需要的盒子数量，据此解答。
【详解】30因数有：1，2，3，5，6，10，15，30；
其中大于3小于10的有：5，6；
30÷5＝6（个）
30÷6＝5（个）
一种是一盒装5枚，需要6个盒子；
一种是一盒装6枚，需要5个盒子。
一共有2种装法。
答：有2种装法。
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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