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（1）集合与常用逻辑用语
——2025届高考数学一轮复习一站式复习之讲义
【高考考情分析】
集合是高考的必考内容，一般试题较为简单，属于送分题，集合主要考查集合的基本运算，常结合不等式进行考查.
常用逻辑用语的考查涉及的知识点较广，主要以其他知识为背景考查充分条件、必要条件的判断，全（特）称命题的否定，难度中等偏易，以选择题和填空题为主.
【基础知识复习】
1.集合中元素的三个特征：
（1）确定性：对于给定的集合，元素必须是确定的.
（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，相同的对象归入同一个集合时，只能算作集合的一个元素.
（3）无序性：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.
2.元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作.
3.子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作：或.读作：“A包含于B”（或“B包含A”）.
4.集合的相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作.
也就是说，若，且，则.
5.空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集.
6.并集的运算性质：
（1），即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身；
（2），即任何集合与空集的并集等于这个集合本身.
7.交集的运算性质：
（1），即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身；
（2），即任何集合与空集的交集等于空集.
8.充分条件与必要条件的定义：
一般地，“若p，则q”为真命题，就是指由p通过推理可以得到q．由p可以推出q，记作．并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p q．此时，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
9.充要条件的定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作.如果，那么p与q互为充要条件.
10.全称量词命题的真假判断：全真为真，一假为假.
存在量词命题的真假判断：一真为真，全假为假.
11.全称量词的否定：，的否定：，.也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题.
12.存在量词的否定：，的否定：，.也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题.
【重点难点复习】
1.集合的运算性质及重要结论
（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.
（2）集合与集合之间的关系：，．
（3）空集是任何集合的子集.
（4）含有n个元素的集合的子集有个，真子集有个，非空真子集有个.
（5）a.，，；
b.，，；
c.，；
d.，.
2.集合运算中的常用方法
（1）数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解.
（2）图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解.
（3）Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn图法求解.
3.全(特)称命题及其否定
(1)全称命题p：．它的否定：；
(2)特称命题p：．它的否定：；
4.充分与必要条件的判断：若p、q中所涉及的问题与变量有关，p、q中相应变量的取值集合分别记为A，B，那么有以下结论：
p与q的关系 集合关系 结论
p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件
p是q的充要条件
p是q的既不充分也不必要条件
【基本方法与技能复习】
1.根据两集合的关系求参数的方法
（1）若集合中元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；
（2）若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.
2.判断集合之间关系的方法
（1）列举法：根据题中限定条件把集合中元素表示出来，然后比较集合中元素的异同，从而找出集合之间的关系.
（2）结构法：从集合中元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断.
（3）数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点值之间的大小关系，从而确定集合之间的关系.
3.求解集合的基本运算问题的步骤
（1）确定元素：确定集合中的元素及其满足的条件.
（2）化简集合：根据元素满足的条件解方程或不等式，得出元素满足的最简条件，将集合清晰表示出来.
（3）运算求解：利用交集、并集、补集的定义求解，必要时可应用数轴或 Venn 图直观求解.
4.判断充分条件和必要条件的方法
（1）定义法：直接判断“若p，则q”与“若q，则p”的真假，并注意和图示相结合.
（2）等价法：利用与，与，与的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.
（3）集合法：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若，则A是B的充要条件.
5.全（特）称命题的否定步骤
（1）改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；
（2）否定结论：对原命题的结论进行否定.
【典型例题复习】
1.【2023年新课标Ⅰ卷】已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.【2023年新课标Ⅰ卷】记为数列的前n项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列.则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3.【2023年新课标Ⅱ卷】设集合，，若，则( )
A.2 B.1 C. D.-1
4.【2022年新高考Ⅰ卷】若集合，，则( )
A. B.
C. D.
5.【2022年新高考Ⅱ卷】已知集合，，则( )
A. B. C. D.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为或，所以，故选C.
2.答案：C
解析：若为等差数列，设其公差为d，则，所以，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙；若为等差数列，设其公差为t，则，
所以，所以当时，，当时，也满足上式，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙.所以甲是乙的充要条件，故选C.
3.答案：B
解析：依题意，有或.当时，解得，此时，，不满足；当时，解得，此时，，满足.所以，故选B.
4.答案：D
解析：通解（直接法）因为，所以；因为，所以.所以，故选D.
光速解（特取法）观察选项进行特取，取，则，，所以，排除A，B；取，则，，所以，排除C.故选D.
5.答案：B
解析：通解：由，得，解得，所以，所以，故选B.
优解：因为，所以，故排除C，D；又，所以，故排除A.故选B.

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