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（5）数列
——2025届高考数学一轮复习一站式复习之讲义
【高考考情分析】
数列的概念和递推公式是高考的热点，主要考查已知递推关系求通项公式、由与的关系求通项公式、利用数列的性质求最值等，主要以填空题、解答题的形式呈现，难度中等.
等差数列是高考的重点考查知识，主要考查等差数列的基本运算和性质，等差数列的通项公式和前n项和公式等，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题，要善于运用函数与方程思想和整体带入思想解决有关等差数列问题，同时要注意探索创新和生活实践情境载体下的试题训练.
等比数列是高考的考查热点，主要考查等比数列的基本运算和性质，等比数列的通项公式和前n项和公式，尤其要注意证明题或以数学文化为背景的数列题，考查题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等，要会运用函数与方程思想、转化与化归思想和分类讨论思想解题，也要注意探索创新和生活实践情境载体下的试题训练.
数列求和及数列综合应用是高考的热点题型，其中等差、等比数列的通项与求和，数列与函数、不等式的综合，以数学文化为背景的数列题是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，难度中等，要注重常规考法，也要注重数列与其他知识的综合创新，同时也要注重对结构不良类试题的训练.
【基础知识复习】
1.数列的通项公式：如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
2.数列的递推公式：若一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子叫做这个数列的递推公式. 知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.
3.数列的前n项和：
①数列的前n项和的定义：数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前n项和，记作，即.
②数列的前n项和公式：如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式.
③由求通项公式：，，所以
4.等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.例如，数列①的公差.
5.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，.
6.等差数列的通项公式：首项为，公差为d的等差数列的通项公式为.
7.等差数列前项和公式：，.
8.等比数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然）.
9.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 此时，.
10.等比数列的通项公式：首项为，公比为q的等比数列的通项公式为.
11.等比数列的前n项和公式：当时，或.
【重点难点复习】
1.等差数列的性质：
已知数列是等差数列，是的前n项和.
（1）若，则有.
（2）等差数列的单调性：当时，是递增函数；当时，是递减函数；当时，是常数列.
（3）若是等差数列，公差为d，则是公差为的等差数列.
（4）若是等差数列，则也是等差数列，其首项与的首项相同，其公差是的公差的.
（5）若是等差数列，分别为的前m项，前2m项，前3m项的和，则成等差数列，公差为（d为数列的公差）.
2.等比数列的前n项和的性质：
（1）当（或且k为奇数）时，是等比数列.
（2）若，则成等比数列.
（3）若数列的项数为2n，与分别为偶数项与奇数项的和，则；若项数为，则.
【基本方法与技能复习】
1.由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略：
（1）常用方法：观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）等方法.
（2）具体策略：
①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③各项的符号特征和绝对值特征；④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑤对于符号交替出现的情况，可用或，处理.
2.等差数列前n项和的最值求解得常用方法
（1）通项公式法：其基本思想是通过通项公式求出符号变化的项，从而求得和的最值；
（2）前n项和法：其基本思想是利用前n项和公式的二次函数特性，借助抛物线的图象求最值.
3.利用等差数列前n项和解决实际问题的步骤：
（1）判断问题中涉及的数列是否为等差数列；
（2）若是等差数列，找出首项、公差、项数；
（3）确认问题是求还是；
（4）选择恰当的公式计算并转化为实际问题的解.
4.解决等差数列前n项和的基本运算题的思路方法及注意事项：
（1）注意公式与的选择使用；
（2）等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，，，，，已知其中三个就能求另外两个，注意方程思想的应用；
（3）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法，同时注意灵活应用等差数列的性质以简化计算过程.
5.应用等比数列通项公式解实际应用问题的步骤
（1）构建等比数列模型；
（2）明确，q，n，等基本量；
（3）利用求解；
（4）还原为实际问题.
6.判定数列是等比数列的常用方法：
（1）定义法：验证（q为常数且不为0）是否成立，但应注意必须从第二项（即）起所有项都满足此等式；
（2）等比中项法：验证（，且）是否成立；
（3）通项公式法：验证是否成立，但应注意隐含条件是，.
7.解决等比数列前n项和的实际应用问题的基本步骤
（1）将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题；
（2）构建等比数列模型；
（3）利用等比数列的前n项和公式求解等比数列问题；
（4）将所求结果还原到实际问题中.
8.等比数列基本运算中的常用技巧：
（1）（对称设元）一般地，若连续奇数个项成等比数列，则可设该数列为；若连续偶数个项成等比数列，则可设该数列为（注意：此时公比，并不适合所有情况）.这样既可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便.
（2）求解等比数列基本量时注意运用整体思想、设而不求等，同时还要注意合理运用.
9.用错位相减法解决数列求和问题的步骤：
（1）判断结构：若数列是由等差数列与等比数列（公比q）的对应项之积构成的，则可用此法求和；
（2）乘公比：设的前n项和为，然后两边同乘以q；
（3）错位相减：乘以公比q后，向后错开一位，使含有的项对应，然后两边同时作差；
（4）求和：将作差后的结果求和，从而表示出.
10.利用裂项相消法求和的基本步骤
（1）裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；
（2）累加：将数列裂项后的各项相加
（3）消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前n项和.
11.解决数列与不等式综合问题的一般步骤
（1）由已知条件和数列性质求基本量，确定数列的特性（等差或等比数列）；
（2）求出或的通项公式；
（3）分析，涉及的函数或不等式，利用相关函数或不等式性质解决题目中的问题；
（4）得出结果，叙述完整；
（5）回顾反思，查验“n”的取值是否符合要求，运算过程是否有不当之处.
12.数列与不等式的综合问题的解题策略
（1）判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性或者是借助数列对应的函数的单调性求解.
（2）对于与数列有关的不等式的证明问题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，有时需构造函数，利用函数的单调性，最值来证明.
13.数列与函数的综合问题的解题策略
（1）已知函数条件，解决数列问题，一般利用函数的性质、图象等进行研究.
（2）已知数列条件，解决函数问题，一般要充分利用数列的有关公式对式子化简变形.
（3）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解.
14.数列在实际应用中的常见模型
（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差.
（2）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的非零常数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.
（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑考查的是第n项与第项（或者相邻三项等）之间的递推关系还是前n项和与前项和之间的递推关系.
15.解答数列实际应用题的步骤
（1）审题：仔细阅读题目，认真理解题意.
（2）建模：将已知条件翻译成数列语言，将实际问题转化成数学问题，分清数列是等差数列、等比数列，还是递推数列，是求通项还是求前n项和.
（3）求解：求出该问题的数学解.
（4）还原：将所求结果还原到实际问题中.
【典型例题复习】
1.【2023年新课标Ⅰ卷】记为数列的前n项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列.则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2.【2023年新课标Ⅱ卷】记为等比数列的前n项和，若，，则( )
A.120 B.85 C.-85 D.-120
3.【2022年新高考Ⅱ卷】图1是中国古代建筑中的举架结构，，，，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中，，，是举，，，，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，.已知，，成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则( )
A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9
4.【2024年新课标Ⅱ卷】记为等差数列的前n项和.若，，则__________.
5.【2023年新课标Ⅰ卷】设等差数列的公差为d，且，令，记，分别为数列，的前n项和.
（1）若，，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求d.
6.【2023年新课标Ⅱ卷】已知为等差数列，.记，分别为数列，的前n项和，若，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，.
答案以及解析
1.答案：C
解析：若为等差数列，设其公差为d，则，所以，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙；若为等差数列，设其公差为t，则，
所以，所以当时，，当时，也满足上式，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙.所以甲是乙的充要条件，故选C.
2.答案：C
解析：法一：设等比数列的公比为，由题意易知，则，化简整理得.所以.故选C.
法二：易知，，，，……为等比数列，所以，解得或.当时，由，解得；当时，结合得，化简可得，不成立，舍去.所以，故选C.
3.答案：D
解析：如图，连接OA，延长与x轴交于点.由于，，成公差为0.1的等差数列，只需要知道其中任意一项，就可以得到其他两项的数值.不妨设，，.另外，因为，所以不妨设，则A的横坐标为.由直线OA的斜率为0.725，可知A的纵坐标为.故，解得.故正确选项为D.
4.答案：95
解析：法一：设的公差为d，由，，解得，，则.
法二：设的公差为d，由，，得，，故，，则.
5.答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
所以，
所以，所以，
所以.
因为，所以，
所以，
.
因为，
所以，解得或，
因为，所以.
所以的通项公式为.
（2）因为，且为等差数列，
所以，即，
所以，所以，
解得或.
①当时，，
所以，
，
.
因为，
所以，
即，
解得或（舍去）.
②当时，，
所以，
，
.
因为，
所以，
即，
解得（舍去）或（舍去）.
综上，.
6.答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)设等差数列的公差为d.
因为，
所以，，.
因为，，
所以，
整理，得，解得，
所以的通项公式为.
(2)由(1)知，
所以.
当n为奇数时，
.
当时，，
所以.
当n为偶数时，
.
当时，，
所以.
综上.可知，当时，.

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