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（8）平面解析几何
——2025届高考数学一轮复习一站式复习之讲义
【高考考情分析】
直线与方程一般作为条件与圆锥曲线结合命题，命题点主要有三个方面：①有关直线的倾斜角、斜率、截距、平行或垂直等基础知识；②考查直线的方程、两直线的位置关系、点到直线的距离公式；③考查直线与圆锥曲线的位置关系.
圆与方程的主要命题点如下：①与直线、圆有关的综合问题，如求圆的方程、直线与圆的位置关系、弦长、切线及三角形（四边形）的面积问题；②将圆的方程及几何性质，直线与圆、圆与圆的位置关系作为研究圆锥曲线几何量的桥梁及条件，主要以选择题、填空题的形式出现，也可能作为解答题的一部分考查，要重点关注圆的几何性质在研究圆锥曲线几何量中的应用，特别是圆的切线问题在研究椭圆、双曲线几何性质中的应用，圆的几何性质与抛物线焦点弦、准线的结合，都有可能成为命题的热点.
椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的热点，命题主要体现三个特色：①以定义作为命题思路求解椭圆的标准方程、离心率等；②以特殊的几何图形为命题背景，求解三角形的面积、弦长等；③研究直线与椭圆的位置关系.这类命题常与向量、数列、圆、三角函数、方程、不等式等知识交汇，难度中等偏上.选择题、填空题应关注椭圆的定义和几何图形的性质在解题中的应用，解答题应重视和直线与椭圆的位置关系相关的典型题型的研究，在解题时，要充分利用数形结合、转化与化归等思想，注重数学思想在解题中的应用.
双曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点，命题主要体现两个特色：①以定义作为命题思路求解双曲线的标准方程、离心率、渐近线等；②以特殊的几何图形、向量关系为命题背景，求解双曲线的标准方程、研究直线与双曲线的位置关系等，多以选择题、填空题的形式出现，难度中等.要关注双曲线的定义、渐近线方程、几何图形的性质在解题中的应用.
抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系一直是高考命题的热点，命题主要体现三个特色：①以定义作为命题思路，求解轨迹问题、距离问题、最值问题等；②以焦点弦为主线的几何图形为命题背景，求解焦点弦的长、三角形（四边形）的面积的值（或最值）等；③研究直线与抛物线的位置关系，这类命题常与向量、切线等知识综合进行考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上.选择题、填空题要关注抛物线的定义、焦点弦的性质在解题中的应用；解答题应重视直线与抛物线的位置关系中以焦点弦的性质及抛物线的切线等为命题背景的问题，注意设而不求法及根与系数的关系在解题中的应用.
圆锥曲线综合是高考的热点，题型以解答题为主，难度中等偏上，考查的知识点较多，对能力要求较高.直线与圆锥曲线的解答题，主要是直线与椭圆、直线与抛物线的综合问题，特别是一些经典问题，如定点与定值、取值范围与最值、证明、探索性问题等，常与向量、数列等知识交汇，在涉及最值、范围的问题时，常与不等式、函数、导数等交汇.着重考查函数与方程、分类讨论、数形结合等数学思想的应用.
【基础知识复习】
1.直线的斜率和倾斜角：已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为.
经过两点的直线的斜率公式.
2.两条直线平行与垂直的判定：设两条直线的斜率分别为.
（1）；（2）.
3.直线的方程
（1）点斜式：.
（2）斜截式：.
（3）两点式：.
（4）截距式：.
（5）一般式：(A，B不同时为0) .
4.直线的交点坐标与距离公式
①一般地，将两条直线的方程联立，得方程组，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.
②两点间的距离公式.
特别地，原点与任一点的距离.
③点到直线的距离：点到直线的距离.
④两条平行直线间的距离：若直线的方程分别为，，则两平行线的距离.
5.圆的方程
标准方程：，圆心为，半径为r.
一般方程：.
6.判断直线与圆的位置关系的方法：
（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：相交，相离，相切.
（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径r的大小）：设圆心到直线的距离为d，则相交，相离，相切.
7.圆与圆的位置关系
设圆半径为，圆半径为.
圆心距与两圆半径的关系 两圆的位置关系
内含
内切
相交
外切
外离
8.椭圆的方程与简单几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
一般方程
焦点坐标
顶点坐标
范围
长轴长
短轴长
焦距
离心率 ， 越接近于1，椭圆越扁；越接近于0，椭圆越圆
9.双曲线的几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
焦点坐标
顶点坐标
范围
对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称
实、虚轴长 实轴长为，虚轴长为
离心率 双曲线的焦距与实轴长的比
渐近线方程
10.抛物线的方程与几何性质
标准方程
范围
准线
焦点
对称性 关于x轴对称 关于y轴对称
顶点
离心率
焦半径长
焦点弦长
【重点难点复习】
1.椭圆中的焦点三角形
（1）P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，为椭圆的两焦点，则，其中为.
（2）P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，为椭圆的两焦点，则的周长为.
（3）过焦点的弦AB与椭圆另一个焦点构成的的周长为.
2.双曲线中的焦点三角形
（1）P为双曲线上的点，为双曲线的两个焦点，且，则.
（2）过焦点的直线与双曲线的一支交于A，B两点，则A，B与另一个焦点构成的的周长为.
（3）若P是双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，则，.
（4）P是双曲线右支上不同于实轴端点的任意一点，分别为双曲线的左、右焦点，为内切圆的圆心，则圆心的横坐标恒为定值a.
3.圆锥曲线的重要性质
（1）椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝．
②在双曲线中c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝．
（2）双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1 (－c,0)，F2 (c,0)．
②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1 (0，－c)，F2 (0，c)．
（3）抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y2＝±2px(p>0)的焦点坐标为(±，0)，准线方程为x＝ ．
②抛物线x2＝±2py(p>0)的焦点坐标为(0，±)，准线方程为y＝ ．
3.弦长问题
（1）直线与圆锥曲线相交时的弦长
斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，
|AB|＝
（2）抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则①x1x2＝，y1y2＝；
②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝（α为弦AB的倾斜角）；
③＋＝；
④以弦AB为直径的圆与准线相切．
【基本方法与技能复习】
1.与直线方程相关问题的常见类型及解题策略
（l）求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.
（2）求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.
2.与圆有关的轨迹方程问题的求解方法
（1）直接法：当题目条件中含有与动点有关的等式时，可设出动点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程.
（2）定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程.
（3）代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与动点的关系，代入动点满足的关系式求轨迹方程.
3.过一点的圆的切线问题的求解方法
（1）若点在圆上，斜率存在时，先求点与圆心连线的斜率，由切线与过切点、圆心的直线垂直的关系知切线的斜率为-1，由点斜式方程可求出切线方程；斜率不存在时，则根据图形可直接写出切线方程.
（2）若点在圆外，可采用几何法和代数法两种方法来求.
几何法：当斜率存在时，由圆心到直线的距离等于半径求出斜率，即可得出切线方程.
代数法：当斜率存在时，将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，根据判别式求出斜率，即可得出切线方程.
4.圆与圆有关问题的解题方法
（1）判断两圆位置关系的方法：常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法.
（2）两圆公共弦长的求法：两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦
长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解.
（3）两圆的公切线问题的求法：在求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，以确定公切线的条数，从而防止漏解；其次，应注意公切线的几何性质，得出最佳解法.
5.与椭圆性质有关的最值或取值范围的求解方法
（1）利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围.
（2）利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围.
（3）利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.
（4）利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围.
6.直线与椭圆相交的弦长问题的求法
（1）直线斜率不存在时的弦长问题：若直线斜率不存在，可以直接将直线方程
（一般方程中带有字母参数）代入椭圆方程，得交点坐标，进而求相交弦问题.直接求解此类问题的情况较少，一般是在求直线方程的有关问题中，分类讨论此种情况.注意在解答时不要漏解，同时注意检验是否符合题意.
（2）直线斜率存在时的弦长公式：若直线斜率存在，直线方程为，与椭圆的两个交点为，，则相交弦长[其中A为的系数].
7.求解与双曲线性质有关的范围（或最值）问题的方法
（1）几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解.
（2）代数法：若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围（或最值）问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围（或最值）问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解.
（3）不等式法：借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解.
8.解决与双曲线性质有关的范围（或最值）问题时的注意点
（1）双曲线上本身就存在最值问题，如异支双曲线上两点间的最短距离为2a（实轴长）；
（2）由直线和双曲线的位置关系，求直线或双曲线中某个参数的范围，常把所求参数作为函数中的因变量来求解；
（3）所构建的函数关系式中变量的取值范围往往受到双曲线中变量范围的影响.
9.利用抛物线的定义可解决的常见问题
（1）轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；
（2）距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用.
10.直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题策略：
（1）求线段长度和线段之积（和）的最值.可依据直线与抛物线相交，利用弦长公式，求出弦长或弦长关于某个量的函数，然后利用基本不等式或利用函数的知识，求函数的最值；也可利用抛物线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离.
（2）求直线方程.先寻找确定直线的两个条件，若缺少一个可设出此量，利用题设条件寻找关于该量的方程，解方程即可.
（3）求定值.可借助于已知条件，将直线与抛物线方程联立，寻找待定式子的表达式，化简即可得到.
11.圆锥曲线中的最值问题的求解方法
（1）几何转化代数法：将常见的几何图形所涉及的结论转化为代数问题求解，常见的几何图形所涉及的结论有：①两圆相切时半径的关系；②三角形三边的关系式；③动点与定点构成线段的和或差的最小值，经常在两点共线时取到，注意同侧与异侧；④几何法转化所求目标，常用勾股定理、对称、圆锥曲线的定义等.
（2）函数最值法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则考虑先建立目标函数（通常为二次函数），再求这个函数的最值，求函数的最值常见的方法有配方法、基本不等式法、判别式法、单调性法、三角换元法.
12.圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法
（1）函数法：用其他变量表示参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.
（2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围.
（3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式求参数的取值范围.
（4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解.
13.圆锥曲线中定点问题求解步骤
一选（设参）：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量（有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一）.
二求（用参）：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程.
三定点（消参）：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标.
14.求解定值问题的方法
（1）证明代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.
（2）证明点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的关系式，再利用题设条件化简、变形得出定值.
（3）证明某线段长度为定值：利用两点间距离公式求得关系式，再依据条件对关系式进行化简、变形即可得出定值.
（4）证明某几何图形的面积为定值：解决此类问题的关键点有两个，一是计算面积，二是恒等变形，通常是规则图形的面积，一般是三角形或四边形.对于其他凸多边形，一般需要分割成三角形求解，利用面积求解方法，求得关系式，再将由已知得到的变量之间的等量关系式代入面积关系式中，进行化简即可求得定值.
15.几何证明问题的解题策略
（l）圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系（相等或不等）.
（2）解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.
【典型例题复习】
1.【2024年新课标Ⅱ卷】已知曲线，从C上任意一点P向x轴作垂线，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
2.【2023年新课标Ⅰ卷】设椭圆，的离心率分别为，.若，则( )
A. B. C. D.
3.【2023年新课标Ⅰ卷】过点与圆相切的两条直线的夹角为，则( )
A.1 B. C. D.
4.【2023年新课标Ⅱ卷】已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是面积的2倍，则( )
A. B. C. D.
5.【2024年新课标Ⅱ卷】（多选）抛物线的准线为l，P为C上的动点.对P作的一条切线，Q为切点.对P作l的垂线，垂足为B.则( )
A.l与相切 B.当P，A，B三点共线时，
C.当时， D.满足的点P有且仅有2个
6.【2024年新课标Ⅰ卷】（多选）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于-2，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则( )
A.
B.点在C上
C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点在C上时，
7.【2024年新课标Ⅰ卷】设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，，则C的离心率为__________.
8.【2024年新课标Ⅰ卷】已知和为椭圆上两点.
（1）求C的离心率；
（2）若过P的直线l交C于另一点B，且的面积为9，求l的方程.
答案以及解析
1.答案：A
解析：法一：设，则，因为点P在曲线C上，所以，即，所以线段的中点M的轨迹方程为，故选A.
法二：由题意可知把曲线C上所有点的纵坐标缩短至原来的一半，横坐标不变，即可得到点M的轨迹.曲线C为半圆，则点M的轨迹为椭圆（x轴上方部分），其中长半轴长为4，短半轴长为2，故选A.
2.答案：A
解析：法一：由已知得，，因为，所以，得.故选A.
法二：若，则，又，所以，所以符合题意，由于是单选题，故选A.
3.答案：B
解析：如图，得，所以圆心坐标为，半径，所以圆心到点的距离为，由于圆心与点的连线平分角，所以，所以，所以.故选B.
4.答案：C
解析：由题意，，，面积是面积的2倍，所以点到直线AB的距离是点到直线AB的距离的2倍，即，解得或(舍去)，故选C.
5.答案：ABD
解析：对于A，易知，故l与相切，A正确；
对于B，，的半径，当P，A，B三点共线时，，所以，，故B正确；
对于C，当时，，或，，易知PA与AB不垂直，故C错误；
对于D，记抛物线C的焦点为F，连接AF，PF，易知，由抛物线定义可知，因为，所以，所以点P在线段AF的中垂线上，线段AF的中垂线方程为，即，代入可得，解得，易知满足条件的点P有且仅有两个，故D正确.故选ABD.
6.答案：ABD
解析：因为坐标原点O在曲线C上，所以，又，所以，所以A正确.
因为点到点的距离与到定直线的距离之积为，所以点在曲线C上，所以B正确.
设（，）是曲线C在第一象限的点，则有，所以，令，则，因为，且，所以函数在附近单调递减，即必定存在一小区间使得单调递减，所以在区间上圴有，所以的纵坐标的最大值一定大于1，所以C错误.
因为点在C上，所以且，得，所以，所以D正确.
综上，选ABD.
7.答案：
解析：法一：由及双曲线的对称性得，因为，所以，，所以，，则C的离心率.
法二：因为，所以，所以，又，所以，得，所以，得，所以C的离心率.
8.答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题知，解得，
，的离心率.
（2），
设点B到直线PA的距离为h，则的面积为，解得.
易知直线，设，
则，
解得或，或，
故或.

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