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（7）空间向量与立体几何
——2025届高考数学一轮复习一站式复习之讲义
【高考考情分析】
空间几何体在高考中的命题重点包括空间几何体的体积和表面积的计算以及与球有关的切、接问题，题型以选择题和填空题为主.在学习备考的过程中，既要训练常规题型，还要明晰高考命题新导向，如数学应用题、数学文化题以及多选题和双空题，做到复习全面高效.
空间点、直线、平面之间的位置关系是立体几何的基础，主要以选择题、填空题的形式出现，命题热点：（1）平面的基本性质及应用；（2）空间线线、线面位置关系的判断；（3）求异面直线所成的角.要注意对新题型多选题的训练.
直线、平面平行或垂直的判定及性质是高考命题的热点，主要考查直线与平面以及平面与平面平行或垂直的判定定理和性质定理，题型既有选择题，也有解答题，在解答题中常在第（1）问设置线、面平行、垂直关系的证明或用线、面垂直的性质定理证明线线垂直等，要特别注意应用判定定理与性质定理时条件的完整，这是对解答题的解题规范的基本要求.
利用向量法求解空间角每年必考，命题内容主要有三个方面：（1）异面直线所成的角；（2）直线与平面所成的角；（3）平面与平面所成的角.其中对异面直线所成的角的考查一般以选择题、填空题的形式呈现，解题方法可以利用几何法，也可以利用向量法，对线面角与二面角的考查常出现在解答题的第（2）问，向量法是较好的解题方法，特别是在处理探索性问题时，向量法更具优势.要掌握并会运用向量法求解空间角和距离问题，一是要特别重视坐标系的建立，建系的原则是简洁、清晰，便于表示相关点的坐标；二是要加强运算求解能力的训练，熟练、准确的运算是完成解答题的基本要求，在平时的训练中要养成良好的习惯，该讲对学生的直观想象、逻辑推理及数学运算素养要求较高.
【基础知识复习】
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.一般地，表面积=侧面积+底面积.
多面体 侧面展开图 面积公式
棱柱 （如三棱柱）
棱锥 （如三棱锥）
棱台 （如三棱台）
2.圆柱、圆锥、圆台的表面积
旋转体 侧面展开图 面积公式
圆柱 底面积： 侧面积： 表面积：
圆锥 底面积： 侧面积： 表面积：
圆台 上底面面积： 下底面面积： 侧面积： 表面积：
3.柱体、锥体、台体的体积
几何体 体积公式
柱体 （为底面面积，为高），（为底面半径，为高）
锥体 （为底面面积，为高），（为底面半径，为高）
台体 （分别为上、下底面面积，为高）， （分别为上、下底面半径，为高）
4.球的表面积和体积
（1）球的表面积：设球的半径为，则球的表面积为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.
（2）球的体积：设球的半径为，则球的体积为.
5.直线与直线平行：
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行.这一性质叫做空间平行线的传递性.
6.等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
7.直线与平面平行的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ，，且.
该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.
8.直线与平面平行的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ，，.
该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.
9.平面与平面平行的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ，，，，
该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.
10.平面与平面平行的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ，，.
该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.
11.异面直线所成的角：
（1）定义：已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，我们把与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）.
（2）异面直线所成的角的取值范围：.
（3）两条异面直线互相垂直：两条异面直线所成的角是直角，即时，与互相垂直，记作.
12.直线与平面垂直的概念
定义 如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作， 直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.它们唯一的公共点叫做垂足.
画法图示 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示
点到面的距离 线到面的距离 两面间的距离 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
13.直线与平面垂直的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. ，，，， .
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.
14.直线和平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，图中直线.
斜足 斜线和平面的交点，图中点.
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是的角.
取值范围
15.直线与平面垂直的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
垂直于同一个平面的两条直线平行. ，
16.二面角的概念
概念 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
图示
记法 棱为，面分别为的二面角记为. 也可在内（棱以外的半平面部分）分别取点，记作二面角.
平面角 文字 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.
图示
符号 ，，，，，，是二面角的平面角.
范围
规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 平面角是直角的二面角叫做直二面角.
17.平面与平面垂直
（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与平面垂直，记作.如图
（2）判定定理：
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ，.
该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.
18.平面与平面垂直的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ，，，.
该定理可简记为“若面面垂直，则线面垂直”.
19.空间向量的概念
（1）空间向量及空间向量的模：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
（2）空间向量的表示：用字母a，b，c，…表示，或用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为或.
（3）零向量：规定长度为0的向量叫零向量，记为0.
（4）单位向量：模为1的向量叫单位向量.
（5）相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为-a.
（6）共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有.
（7）相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
20.空间向量的运算律
a.空间向量的加法、减法及数乘运算：
（1）；
（2）；
（3）当时，；
当时，；
当时，.
b.空间向量线性运算的运算律：
交换律：；
结合律：，；
分配律：，.（其中，）
21.共线向量和共面向量
（1）共线向量：对任意两个空间向量a，b（），的充要条件是存在实数，使.
（2）直线的方向向量： O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.
（3）共面向量：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l. 如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量a平行于平面.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
22.空间向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作，，则叫做向量a，b的夹角，记作. 如果，那么向量a，b互相垂直，记作.
23.空间向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作.即. 特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
由向量的数量积定义，可以得到：；.
24.空间向量数量积的运算律：，；（交换律）；（分配律）.
25.空间向量基本定理
（1）空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得.
（2）如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
（3）单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.
（4）正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解
26.空间向量及其运算的坐标表示
（1）空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分.
（2）空间向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示：设，，则
，
，
，，
.
空间向量的平行、垂直、长度和夹角余弦的坐标表示：
当时，，，；
；
；
.
空间两点间的距离公式：设，是空间中任意两点，则.
27.用空间向量研究直线、平面的位置关系
（1）空间直线的向量表示式
取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ①，将代入①式，得 ②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
（2）空间平面的向量表示式
取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，使 ③. 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
（3）空间中直线、平面的平行
①直线与直线平行：设，分别是直线，的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以，使得.
②直线与平面平行：设u是直线l的方向向量，n是平面的法向量，，则.
③平面与平面平行：设，分别是平面，的法向量，则，使得.
（4）空间中直线、平面的垂直
①直线与直线垂直：设直线，的方向向量分别为，，则.
②直线与平面垂直：直线l的方向向量为u，平面的法向量为n，则，使得.
③平面与平面垂直：设平面，的法向量分别为，，则.
28.点到直线的距离
向量在直线l上的投影向量为，设，则向量在直线l上的投影向量. 在中，由勾股定理，得.
29.点到平面的距离
已知平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点. 过点P作平面的垂线l，交平面于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 因此.
30.异面直线所成的角
若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是u，v，则.
31.直线与平面所成的角
直线AB与平面相交于点B，设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面的法向量为n，则.
32.二面角
若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则
【重点难点复习】
1.柱体、锥体、台体的体积
几何体 体积公式
柱体 （为底面面积，为高），（为底面半径，为高）
锥体 （为底面面积，为高），（为底面半径，为高）
台体 （分别为上、下底面面积，为高）， （分别为上、下底面半径，为高）
2.球的表面积和体积
（1）球的表面积：设球的半径为，则球的表面积为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.
（2）球的体积：设球的半径为，则球的体积为.
3.异面直线所成的角：
（1）定义：已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，我们把与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）.
（2）异面直线所成的角的取值范围：.
（3）两条异面直线互相垂直：两条异面直线所成的角是直角，即时，与互相垂直，记作.
4.直线和平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，图中直线.
斜足 斜线和平面的交点，图中点.
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是的角.
取值范围
5.二面角的概念
概念 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
图示
记法 棱为，面分别为的二面角记为. 也可在内（棱以外的半平面部分）分别取点，记作二面角.
平面角 文字 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.
图示
符号 ，，，，，，是二面角的平面角.
范围
规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 平面角是直角的二面角叫做直二面角.
6.空间中直线、平面的平行
①直线与直线平行：设，分别是直线，的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以，使得.
②直线与平面平行：设u是直线l的方向向量，n是平面的法向量，，则.
③平面与平面平行：设，分别是平面，的法向量，则，使得.
7.空间中直线、平面的垂直
①直线与直线垂直：设直线，的方向向量分别为，，则.
②直线与平面垂直：直线l的方向向量为u，平面的法向量为n，则，使得.
③平面与平面垂直：设平面，的法向量分别为，，则.
8.点到直线的距离
如图，向量在直线l上的投影向量为，设，则向量在直线l上的投影向量. 在中，由勾股定理，得.
9.点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点. 过点P作平面的垂线l，交平面于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 因此.
10.异面直线所成的角
若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是u，v，则.
11.直线与平面所成的角
直线AB与平面相交于点B，设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面的法向量为n，则.
12.二面角
若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则.
【基本方法与技能复习】
1.求空间几何体的表面积的方法
（1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.
（2）求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系.
（3）求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积.
2.求空间几何体体积的常用方法
（1）直接法；对于规则的几何体，利用相关公式直接计算.
（2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规划的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算.
（3）等体积法：通过转换底面和高来求几何体的体积，即通过将原来不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解的高进行求解、常用于求三棱锥的体积.
3.有关几何体的外接球、内切球计算问题的常用求解方法
（l）与球有关的组合体问题有两种：一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关“元素”间的数量关系，并作出合适的截面图.如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线等于球的直径.
（2）对于球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题；对于球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心（或“切点”“接点”）作出截面图解题.
4.求异面直线所成角的方法
（1）平移法：平移的方法一般有三种类型：①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；③补形平移.
（2）向量法：设异面直线a，b的方向向量分别为a，b，则异面直线a，b所成角的余弦值等于，再结合异面直线所成角的范围，得到异面直线所成的角.
（3）坐标法：建立空间直角坐标系求解.
5.求直线和平面所成角的基本思路
（1）可先判断直线和平面的位置关系，若直线与平面平行，则所成角为0°；若直线与平面垂直，则所成角为90°.
（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤分析问题：
①作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，将空间角（斜线与平面所成的角）转化为平面角（两条相交直线所成的锐角），作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，这样才能便于计算.
②证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
③计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
6.证明直线与平面平行的常用方法
（1）利用线面平行的定义.
（2）利用线面平行的判定定理：关键是在平面内找与已知直线平行的直线，可先直观判断题中是否存在这样的直线，若不存在，则需作出直线，常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找两平面的交线进行证明.
（3）利用面面平行的性质定理：①直线在一平面内，由两平面平行，推得线面平行.
②直线在两平行平面外，且与其中一平面平行，则这条直线与另一平面平行.
7.判定平面与平面平行的方法
（1）利用定义，常用反证法完成.
（2）利用面面平行的判定定理.
（3）利用面面平行的判定定理的推论.
（4）面面平行的传递性.
（5）利用线面垂直的性质.
（6）用向量法证明平面与平面平行.
8.证明线面垂直的常用方法
（1）利用线面垂直的判定定理.
（2）利用面面垂直的性质定理.
（3）利用面面平行的性质.
（4）利用垂直于平面的传递性.
9.证明面面垂直的常用方法
（1）面面垂直的判定定理：此方法将面面垂直问题转化为线面垂直问题，一般找到其中一个平面的一条垂线，再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面平行.
（2）只要证明两个平面所构成的二面角的平面角为90°即可.
（3）面面垂直的性质定理
10.利用空间向量证明平行问题的方法
（1）线线平行：证明两条直线的方向向量共线.
（2）线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.
（3）面面平行：①证明两个平面的法向量平行；②转化为线线平行、线面平行问题.
11.利用空间向量证明垂直问题的方法
（1）线线垂直：证明两直线的方向向量垂直，即证它们的数量积为零.
（2）线面垂直：①证明直线的方向向量与平面的法向量共线；②证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量都垂直.
（3）面面垂直：①其中一个平面与另一个平面的法向量平行；②两个平面的法向量垂直.
12.向量法求角问题的解题步骤
（1）识图：分析几何体，找出确定几何体底面和高的条件，根据所学知识，理清图形中的数量关系；
（2）建系设点：寻找题目中有三条直线两两垂直的特征，建立空间直角坐标系，从而确定点的坐标；
（3）求向量坐标：用终点坐标减去起点坐标写出所需要的向量坐标；
（4）计算或证明：利用证明两个非零向量垂直的充要条件和向量夹角的余弦公式进行计算和证明.
13.解决立体几何中探索性问题的技巧
（1）涉及线段上点的位置的探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，所求点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识找点，求解时注意三点共线条件的应用.
（2）借助空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数（变量）表示出来，将几何对象坐标化，这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组.若方程或方程组有满足题设要求的解，则通过参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组没有满足题设要求的解，则表示满足题设要求的几何对象不存在.
【典型例题复习】
1.【2024年新课标Ⅰ卷】已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
2.【2024年新课标Ⅱ卷】已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为( )
A. B.1 C.2 D.3
3.【2023年新课标Ⅰ卷】（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有( )
A.直径为的球体
B.所有棱长均为的四面体
C.底面直径为，高为的圆柱体
D.底面直径为，高为的圆柱体
4.【2023年新课标Ⅱ卷】（多选）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则( )
A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为
C. D.的面积为
5.【2023年新课标Ⅰ卷】在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为___________.
6.【2024年新课标Ⅰ卷】如图，四棱锥中，底面，，，.
（1）若，证明：平面PBC；
（2）若，且二面角的正弦值为，求AD.
7.【2024年新课标Ⅱ卷】如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得，
（1）证明：：
（2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：设圆柱和圆锥的底面半径均为r，因为它们的高均为，且侧面积相等，所以，得，所以圆锥的体积，故选B.
2.答案：B
解析：设正三棱台的高为h，三条侧棱延长后交于一点P，作平面ABC于点O，PO交平面于点，连接，，如图所示.由，可得，，又，，所以正三棱台的体积，解得，故.由正三棱台的性质可知，O为底面ABC的中心，则，因为平面ABC，所以是与平面ABC所成的角，在中，，故选B.
3.答案：ABD
解析：对于A选项，正方体内切球的直径为，故A符合题意；
对于B选项，如图①，正方体内部最大的正四面体棱长为，，故B符合题意；
对于C选项，圆柱底面直径为，可忽略不计，高为，圆柱可看作长度为的线段.如图②，正方体的体对角线为，故C不符合题意；对于D选项，圆柱高为，可忽略不计，底面直径为，圆柱可看作直径为的圆.如图③，E，F，G，H，I，J为各棱的中点，六边形EFGHIJ为正六边形，其边长为，其内切圆直径，，故D符合题意.
4.答案：AC
解析：对于A，依题意，圆锥母线长，，，所以底面圆的半径，圆锥的体积为，故A正确；对于B，该圆锥的侧面积为；故B错误；
对于C，如图，取AC的中点M，连接PM，OM，则，又因为，所以，故为二面角的平面角，即，所以，即，所以，故C正确；
对于D，由选项C可知，，，，所以的面积为，故D错误.故选AC.
5.答案：
解析：如图，连接AC，BD交于点O，连接，交于点，连接，过点作于点H，则为正四棱台的高.
在等腰梯形中，，，则，，所以.又，所以，所以，所以正四棱台的体积为.
6.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由于底面，底面，，
又，，平面，平面PAB，
又平面，.
，，，
平面，平面，平面PBC.
（2）由题意知DC，AD，AP两两垂直，以D为坐标原点，AD所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点D且平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，，
则，，，，，.
设平面CPD的法向量为，
则，即，可取.
设平面ACP的法向量为，
则，即，可取.
二面角的正弦值为，
余弦值的绝对值为，
故，
又，，即.
7.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由题，，，又，
所以由余弦定理得，故.
又，所以.
由及翻折的性质知，，
又，面PED，所以面PED.
又面PED，所以.
（2）如图，连接CE，由题，，，，故.
又，，所以，故.
又，，面ABCD，所以面ABCD.
EF，ED，PE两两垂直，故以E为原点，EF，ED，PE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
连接PA，则，，，.
设面PCD的法向量为，
则，可取.
设面PBF即面PAF的法向量为，
则，可取.
.
故面PCD与面PBF所成二面角的正弦值为.

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