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3.1.2　成比例线段
1.知道两条线段的比的意义;理解比例线段的概念,会求两条线段的比及判断线段是否成比例.
2.认识黄金分割以及相关的概念.
3.能够判断线段是否成比例以及运用比例线段的性质解决问题.
重点:线段的比和成比例线段的理解
难点:成比例线段的理解和应用
一、创设情境
1.列举四个数成比例,并写出比例式,指出比例内项、外项、第四比例项.
2.说出比例的基本性质.由ad=bc可推出哪些比例式
二、探索归纳
(一)线段的比
如图,在方格纸上(设小方格边长为单位1)△ABC和△A'B'C',它们的顶点都在格点上.试求出线段AB,BC,AC,A'B',B'C',A'C'的长度,并计算AB与A'B',BC与B'C',AC与A'C'的长度的比值.
师生活动:首先学生动手量出所要求线段的长度,再求出其比值,进行对比比较.
总结:通过操作,计算比较,得出:
一般地,如果选用同一长度单位量得两条线段AB,A'B'的长度分别为m,n,那么把它们的长度的比叫作这两条线段AB与A'B'的比,记作=,或AB∶A'B'=m∶n,如果的比值为k,那么上述式子也可写成=k,或AB=k·A'B'.
对应练习:
等腰直角三角形中,直角边与斜边的比是__________,斜边与直角边的比是__________.
注意:在解答此题时要明确等腰直角三角形各边的比例关系,并且注意题目要求,避免错解.
(二)成比例线段
在(一)中的图中,对于△ABC和△A'B'C'有===0.5,
在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫作成比例线段,简称为比例线段.
例如,已知四条线段a,b,c,d,若=,则a,b,c,d是比例线段,类似地,如果==,那么称线段AB,BC,AC与线段A'B',B'C',A'C'对应成比例.
例　已知四条线段a,b,c,d的长度分别为0.8 cm,2 cm,1.2 cm,3 cm,问a,b,c,d是比例线段吗
师生活动:学生自主学习,然后分组展示,质疑,点评.
对应练习:
已知四条线段a,b,c,d成比例.
(1)若a=0.8 cm,b=1 cm,c=1 cm,求d.
(2)若a=12 cm,c=3 cm,d=15 cm,求b.
(三)黄金分割比
问题情境引入:
古希腊数学家、天文学家欧多克塞斯(Eudoxus,约公元前400~前347)提出一个问题:能否将一条线段AB分成不相等的两部分,使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比
即使得=成立吗
师生活动:通过学生自己阅读课本65页内容,得出“黄金分割比”是.它约等于0.618.
教师引导学习.
阅读课本66页,通过阅读提高学生学习的兴趣,感受“黄金分割比”的生活艺术效果.
结论:点C将线段AB分成不相等的两部分,使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比.即使得=,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫作线段AB的黄金分割点,较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比.
温馨提示:记住黄金分割比,如果线段AB被点C黄金分割,那么较长线段AC=AB,较短线段BC=AB.
对应练习:
在中华经典美文阅读中,小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金分割比.已知这本书的长为20 cm,则它的宽约为(　A　)
A.12.36 cm B.13.6 cm
C.32.36 cm D.7.64 cm
解:书的宽与长之比为黄金分割比,即约为0.618.
∴书的宽度约为20×0.618=12.36(cm).
方法总结:解决此类问题要先将实际问题转化为数学模型,然后利用黄金分割的定义求解.
三、交流反思
1.线段的比:一般地,如果选用同一长度单位量得两条线段AB,A'B'的长度分别为m,n,那么把它们的长度的比叫作这两条线段AB与A'B'的比.
2.比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫作成比例线段,简称为比例线段.
四、检测反馈
已知四条线段a,b,c,d的长度,试判断它们是否成比例
(1)a=16 cm　b=8 cm　c=5 cm　d=10 cm
(2)a=8 cm　b=5 cm　c=6 cm　d=10 cm
五、布置作业
六、板书设计
3.1.2　成比例线段
线段的比 成比例线段 黄金分割比
…… …… ……
…… …… ……
七、教学反思
教学过程中,注重引导学生就生活实例展开联想,直观感受数学的魅力所在.在自主探究和合作交流过程中,适时引入新知识.并通过引导学生建立新的数学模型,开拓思维.
优点:在讲授成比例线段时,让学生运用比例的基本性质进行变形,使学生对成比例线段有了一个深刻的认识;另一点在习题的设置上充分体现了层次性,形式多样,有利于提高学生的学习兴趣,增强了趣味性.
缺点:教学中对黄金分割的知识点处理不好,要补充一些练习题进行巩固.

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