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4.3　解直角三角形
1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会解直角三角形.
2.通过解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
3.渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
重点:解直角三角形.
难点:根据已知元素和所要求的未知元素,选择恰当的方法求解.
一、创设情境
1.在三角形中共有几个元素
总结:一般地,直角三角形中,除直角外,共有5个元素,即3条边和2个锐角.
2.直角三角形的边角关系
直角三角形ABC中,∠C=90°,a,b,c,∠A,∠B这五个元素间有哪些等量关系呢
二、探索归纳
(一)合作探究
1.议一议:在一个直角三角形中,除直角外有5个元素(3条边、2个锐角),只要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素
教师引导,学生小组讨论交流:
(1)给你一条边你能把剩余的元素都求出来吗 为什么
(2)给你一个锐角你能把剩余的元素都求出来吗 为什么
(3)给你两个角你能把剩余的元素都求出来吗 为什么
(4)给你两条边你能把剩余的元素都求出来吗 怎样求 请画出图形分类说明.
(5)给你一条边和一个锐角你能把剩余的元素都求出来吗 怎样求 请画出图形分类说明,关键在哪里
通过上面的分析总结得出:
在直角三角形中,除直角以外的5个元素(3条边和2个锐角),只要知道其中的2个元素(至少有一个是边),利用上述关系式,就可以求出其余的3个未知元素.
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,a=5,求∠B,b,c.
(1)题目中已知哪些条件 还要求哪些元素
(2)学生独立思考,自己解决.
(3)小组讨论一下各自的解题思路.
解:∠B=90°-∠A=90°-30°=60°
又∵tan B=,
∴b=a·tan B=5·tan 60°=5.
∵sin A=,∴c===10.
总结:像这样,把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.
(二)展示提升
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=6 cm,c=10 cm,求b,∠A,∠B.
小组讨论交流,然后班内交流展示.
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,BC=5,试求AB的长.
小组讨论交流,然后班内交流展示.
归纳总结:解直角三角形,有下面两种情况(其中至少有一边)
(1)已知两条边(一直角边和斜边;两直角边)
(2)已知一条边和一个锐角(一直角边一锐角;斜边和一锐角)
在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c,∠A,∠B这五个元素间的等量关系.
(1)边角之间的关系
sin A=;cos A=;tan A=
(2)三边之间的关系
a2+b2=c2(勾股定理)
(3)锐角之间的关系∠A+∠B=90°.
以上三点是解直角三角形的依据,学生一定要掌握.
(三)解直角三角形
例1:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,a=5,求∠B,b,c.
解:∠B=90°-∠A=90°-30°=60°.
又∵tan B=,
∴b=a·tan B=5·tan 60°=5.
∵sin A=,
∴c====10.
解直角三角形的方法很多,灵活多样,学生完全可以自己解决,但例题具有示范作用.因此,此题在处理时,首先,应让学生独立完成,培养其分析问题、解决问题的能力,同时渗透数形结合的思想.其次,教师组织学生比较各种方法中哪些较好,选一种板演.
例2:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,BC=5,试求AB的长.
解:∵∠C=90°,cos A=,∴=.
设AB=x,则AC=x.
又AB2=AC2+BC2,∴x2=+52.
解得x1=,x2=-(舍去).
∴AB的长为.
引导学生思考分析完成后,让学生独立完成.
在学生独立完成之后,选出最好方法,教师板书.
三、交流反思
1.已知一边一角解直角三角形的一般步骤:
①求另一个锐角;
②利用已知锐角的正弦、余弦或正切求其他未知的边长.
2.已知两边解直角三角形的一般步骤:
①先用勾股定理求第三边的长;
②求出锐角的三角函数;
③利用锐角的三角函数求出锐角的大小.
四、检测反馈
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=1 cm,b= cm,解这个直角三角形.
2.如图,在△ABC中,AC⊥BC,点D在AC上,∠ABC=60°,∠CBD=45°,AB=10.求AD的值.
五、布置作业
六、板书设计
4.3　解直角三角形
探究 解直角三角形 例题
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七、教学反思
本节课的重点难点是解直角三角形,为了使学生熟练掌握解直角三角形的方法,首先要使学生知道什么叫做解直角三角形,直角三角形中三边之间的关系,两锐角之间的关系,边角之间的关系,正确选用这些关系,是正确、迅速的解决直角三角形的关键.解直角三角形的方法很多,灵活多样,学生完全可以自己解决,教师要注意例题的示范作用.
优点:通过本节课教学,教学目标定位准确恰当.结合课程标准,在对教材深入钻研的基础上,围绕知识与技能、过程与方法、情感态度价值观,制定了以“会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形”作为本节课的核心目标,渗透数形结合的数学思想、分类思想等,培养学生良好的学习习惯.

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