资源简介

1.4　二次函数与一元二次方程的联系
1.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系.
2.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系.
3.会用二次函数图象求一元二次方程的近似根.
4.能用二次函数与一元二次方程的关系解决综合问题.
5.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会二次函数与方程之间的联系,进一步体会数形结合的思想.
重点:理解二次函数与一元二次方程的联系,以及求一元二次方程的近似根.
难点:一元二次方程与二次函数的综合应用.
一、创设情境
同学们!还记得什么是一元二次方程 什么是二次函数吗 它们之间有怎样的联系呢
1.从关系式上看二次函数y=x2-2x-3成为一元二次方程x2-2x-3=0的条件是什么
2.观察二次函数y=x2-2x-3的图象,你能确定一元二次方程x2-2x-3=0的根吗
二、探索归纳
1.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点
问题:
(1)根据图象所示,二次函数y=x2-2x-3的图象与x 轴的交点坐标是什么
(2)解方程:x2-2x-3=0
(3)你有什么发现
师生活动:
师:多媒体出示问题.
生:小组合作完成问题.
生:二次函数y=x2-2x-3的图象与x 轴的交点坐标分别是 (-1,0), (3,0) .
生:由交点坐标可知,
当x=-1时, y=0,即x2-2x-3=0,也就是说,
x=-1是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根.
生: 同理,当x=3 时,y=0,
即x2-2x-3=0, 也就是说,x=3是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根.
总结:一般地, 如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点(x1,0),(x2,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根x= x1,x=x2.
2.抛物线与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系
问题:观察二次函数y=x2-6x+9 ,y=x2-2x+2 的图象(如图),分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和 x2-2x+2=0 的根的情况.
分析:
二次函数y=x2-6x+9的图象与x 轴有________个交点,其坐标是________,而一元二次方程x2-6x+9=0有两个相等的实根:________.
二次函数y=x2-2x+2的图象与x 轴______交点,而一元二次方程x2-2x+2=0
________实数根.
结论:一般地,二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴的位置关系有三种: 有两个不同的交点、有两个重合的交点、没有交点,这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的三种情况:有两个不相等的实根、有两个相等的实根和没有实根.反过来,由一元二次方程的根的情况,也可以确定相应的二次函数的图象与x 轴的位置关系.
3.利用二次函数的图象解一元二次方程
例1:求一元二次方程x2-2x-1=0的根的近似值(精确到0.1).
师:抛物线y=x2-2x-1与x轴的交点的横坐标与方程x2-2x-1=0的根有什么关系
生:相等.
师:作出抛物线y=x2-2x-1的图象.
生: 作出二次函数y= x2-2x-1的图象,如图所示:
生:通过观察或测量,可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为-0.4或2.4.
师:一元二次方程x2-2x-1=0的根是什么
生:一元二次方程x2-2x-1=0的实数根为x1≈-0.4或x2≈2.4.
例2:如图,丁丁在扔铅球时,铅球沿抛物线y=-x2+x+运行,其中x 是铅球离初始位置的水平距离,y是铅球离地面的高度.
(1)当铅球离地面的高度为2.1 m时,它离初始位置的水平距离是多少
(2)铅球离地面的高度能否达到2.5 m,它离初始位置的水平距离是多少
(3)铅球离地面的高度能否达到3 m 为什么
总结:求一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是求二次函数y=ax2+bx+c在y= 0 时,自变量x 的值,也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标,因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根. 由于作图或观察的误差,由图象求得的根,一般是近似的.
三、交流反思
通过本节的学习,我们进一步理解掌握二次函数与一元二次方程的联系,会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.培养学生通过合作交流解决问题的能力.
四、检测反馈
1.观察函数的图象,完成填空:
(1)抛物线与x轴有________个交点, 它们的横坐标是________;
(2)当x取交点的横坐标时,函数值是________;
(3)所以方程x2+x-2=0的根是________.
2.已知二次函数y=x2-4x+k+2与x轴有公共点,求k的取值范围.
3.打高尔夫球时 ,球的飞行路线可以看成是一条抛物线,如果不考虑空气的阻力,某次球的飞行高度y(单位:米)与飞行距离x(单位:百米)满足二次函数:y= -5x2+20x,这个球飞行的水平距离最远是多少米 球的飞行高度能否达到40 m
五、布置作业
课本P27　第2,3题.
六、板书设计
1.4　二次函数与一元二次方程的联系
问题 联系 例
…… …… ……
…… …… ……
七、教学反思
　　本节教学的主要内容是让学生学会用函数观点解一元二次方程,为了训练学生的这一思想,我在课堂上重点对这一观点进行发散思维、变式训练,效果良好.
优点:课堂教学中设计问题时,结合图象让学生求方程的根、判断方程根的数量,提高了学生的数形结合能力,通过训练使学生进一步理解数形结合的思想.
缺点:本节课在教学过程中的反思不够,包括对问题的设计、课堂小结,使学生在掌握知识的同时,没有领悟解决问题的策略.

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