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1.5　二次函数的应用
第1课时
1.经历数学建模的基本过程;
2.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数的知识解决实际问题.
3.经历建立直角坐标系,探究拱桥和窗户透光最大面积问题的过程,进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验,并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值.
重点:用二次函数的知识解决拱桥类以及面积最大(小)值问题.
难点:将实际问题转化为二次函数的模型解决.
一、创设情境
如图,一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分,拱桥的跨度是4.9米,当水面宽4米时,拱顶离水面2米,若想了解水面宽度变化时,拱顶离水面的高度怎样变化,你能建立函数模型来解决这个问题吗
二、探索归纳
(一)建立直角坐标系解决问题
问题:要求出教材P29动脑筋中“拱顶离水面的高度变化情况”,你准备采取什么办法
师:抛物线的特征是什么
生:开口向下,有最高点
师:选哪个点为原点,建立直角坐标系比较简便
生:拱顶
生:如图:
师:点A的坐标是什么 抛物线的关系式是哪种形式
师:如何设函数的表达式 如何确定系数
生:因为顶点坐标是(0,0),所以设抛物线的关系式为:y=ax2.
生:把A(2,-2)代入y=ax2,
解得:a=-.
所以,这个函数的表达式为y=-x2.
师:如何求出自变量x的取值范围
生:利用拱桥的跨度是4.9米解决.
师:当水面宽2米时,拱顶离水面高多少米
生:把x=-1代入y=-x2
得:y=-
所以拱顶离水面高米.
师:你是否体会到:从实际问题建立起函数模型,对于解决问题是有效的
生:体会到了.
变式训练:
如图,一段拱形栅栏为抛物线的一部分已知拱高OA为1 m,栅栏的跨径BC间有5根间距为0.5 m的立柱.试建立适当的直角坐标系,求出该拱形栅栏所对应的二次函数表达式,并求出立柱DE的高度.
(二)面积最优问题
问题:用长为8 m的铝材做成一个日字窗框, 问窗框的宽和高各是多少米时,窗框的透光面积S(m2)最大 最大面积是多少 (假设铝材的宽度不计)
分析:
1.若设窗框的宽为x m,则窗框的高如何表示 x的取值范围是什么
2.窗框的透光面积S与x之间的关系式是什么
3.如何由关系式求出最大面积
教师引导学生分析,板书解题过程.
变式训练:
现在用长为8米的铝合金条制成如图所示的窗框(把矩形的窗框改为上部分是由4个全等扇形组成的半圆,下部分是矩形),那么如何设计使窗框的透光面积最大 (结果精确到0.01米)
总结:
1.解决一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题时,可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决.
2.利用二次函数解决实际问题的步骤:
第一步设自变量;
第二步建立函数的表达式;
第三步确定自变量的取值范围;
第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值(在自变量的取值范围内).
三、交流反思
我们学习用二次函数来解决实际问题的关键是要读懂题目,明确要解决的是什么,分析问题中各个量之间的关系,把问题表示为数学的形式,在此基础上,利用我们所学过的数学知识,就可以一步步地得到问题的解.
四、检测反馈
1.一小球被抛出后,距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下面函数关系式:h=-5t2+20t-14,则小球距离地面的最大高度是(　　)
A.2米　　B.5米　　C.6米　　D.14米
2.向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y米,且时间与高度关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的(　　)
A.第9.5秒 B.第10秒
C.第10.5秒 D.第11秒
3.如图,用长为20 cm的篱笆,一面靠墙围成一个长方形的园子,怎样围才能使园子的面积最大 最大面积是多少
4.如图,是某抛物线形悬索桥的截面示意图,已知悬索桥两端主塔高150 m,主塔之间的距离为900 m,试建立适当的直角坐标系,求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式.
五、布置作业
课本P32　第2,4题.
六、板书设计
1.5　二次函数的应用 第1课时
问题 问题 总结
…… …… ……
…… …… ……
七、教学反思
　　本堂课呈现的是几道比较经典的实际问题的函数建模,建立二次函数模型.利用二次函数的图象和性质求解实际问题时,需要先建立适当的直角坐标系,建立函数模型,通过待定系数法确定二次函数的表达式,最后利用二次函数的性质解决实际问题(其中需要根据实际问题的背景确定自变量的取值范围).老师要结合实例,清晰地展示函数建模的步骤,让学生体会函数建模的方法,感受数学应用的价值.
优点:引领学生探讨实际问题中自变量的取值范围.有时学生列出函数关系式后,自然而然地认为顶点处就是取得最大(小)值的地方,从而忽略了自变量的取值范围.例如二次函数的应用中(比如面积题)经常会取不到顶点,因此必须考虑实际问题中自变量的取值范围,否则易错.

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