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1.5　二次函数的应用
第2课时
1.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决最大(小)利润的实际问题.
2.体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型,感受数学的应用价值.
3.运用二次函数的知识解决最大(小)利润的实际问题,让学生感受数学模型思想和数学的应用价值.
重点:用二次函数的知识解决销售最大利润的问题.
难点:将实际问题转化为二次函数的模型解决.
一、创设情境
1.二次函数的表达式有哪几种常见的形式
2.这几种二次函数的图象有什么特点
设计意图:回顾二次函数的几种常见形式及其性质,使学生心中有数,以便在实际问题中建立函数模型时,能够有效地选择最简便的函数模型.
二、探索归纳
我们从本节课运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,今天我们就不妨来做一回商家,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值.
问题:某商店经营一种小商品,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析,销售单价是多少时,可以获利最多
师生活动:
学生独立思考,填空:
设销售单价为x(x≤13.5)元,那么
(1)销售量可以表示为________;
(2)销售额可以表示为________;
(3)所获利润可以表示为________;
(4)当销售单价是________元时,可以获得最大利润,最大利润是________.
师生合作,解决问题
师生共同分析上面的问题:获利就是指利润,总利润应为每件小商品的利润(售价-进价)乘以小商品的数量.设销售单价为x元,则降低了(13.5-x)元,每降低1元,可多售出200件,降低了(13.5-x)元,则可多售出________件,因此共售出________件,若所获利润用y(元)表示,则________.
经过分析之后,大家就可解答.(理清思路,规范步骤)
(1)销售量可以表示为________.
(2)销售额可以表示为________.
(3)所获利润可以表示为________.
(4)设总利润为y元,则________.
因为抛物线有最高点,所以函数有最大值.
当x=________元时,y最大=________元.
即当销售单价是________元时,可以获得最大利润,最大利润是________元.
例:某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具,如果以单价30元销售,那么一个月内可售出180件.根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的下降,即销售单价每上涨1元,月销售量将相应减少10件.当销售单价为多少元时,该店能在一个月内获得最大利润
师生活动:
师:设每件商品的销售单价上涨x元,则每月减少的销售量为多少件
生:10x件.
师:实际销售量呢
生:180-10x.
师:单件利润如何表示
生:10+x.
师:设总利润为y,列出表达式.
生:y=-10x2+80x+1 800.
师:求出最大利润.
生:y=-10x2+80x+1 800=-10(x-4)2+1 960.
当x=4时,即销售单价为34元,y取最大值1 960.
总结:
三、交流反思
解决这类问题的关键是要读懂题目,明确要解决的是什么,分析问题中各个量之间的关系,把问题表示为数学的形式,在此基础上,利用我们所学过的数学知识,就可以一步步地得到问题的解.
四、检测反馈
1.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(单位:万元)与销售量x(单位:辆)之间分别满足:y1=-x2+10x,y2=2x,若该公司在甲,乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为(　　)
A.30万元　　　 B.40万元
C.45万元 D.46万元
2.某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为________元.
3.某机械公司经销一种零件,已知这种零件的成本为每件20元,调查发现当销售价为24元时,平均每天能售出32件,而当销售价每上涨2元,平均每天就少售出4件.
(1)若公司每天的现售价为x元,则每天销售量为多少
(2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元,该公司想要每天获得150元的销售利润,销售价应当为多少元
五、布置作业
课本P32　第3题.
六、板书设计
1.5　二次函数的应用 第2课时
问题 例 总结
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七、教学反思
　　在实际背景中解决最优化问题,由于实际问题的叙述往往比较长,各个量之间的关系不好确定,所以教学中我注意引导学生要读懂问题.明确要解决的问题是什么;然后抓住问题中各个数量之间的关系,让学生学会把问题转化为数学的形式,教学效果良好.
优点:设置问题梯度,培养学生分析问题的能力,通过一问拆成几小问,将题目设置成梯度,给学生一个循序渐进的过程,不停地铺垫,教会他们独立思考问题的方法.
缺点:由于时间关系,学生的出题、解题部分没能完全展示,尤其是引起争论的地方没能彻底解决. 本堂课预设了很多问题,绝大多数学生能理解并掌握,但是少了点“思维”的碰撞,都是在预设的路上一路前行.

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