资源简介

﹡2.5.3　切线长定理
1.了解切线长的概念.
2.理解切线长定理,熟练掌握它的应用.
3.通过操作、观察两条切线长,发展学生的合情推理能力和演绎推理能力.
4.学生经历知识的形成与运用过程,培养学生的数学语言概括、表达能力.
重点:切线长定理及其运用
难点:切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题.
一、创设情境
复习:
1.直线和圆有什么位置关系 切线的判定定理和性质定理是什么
2.我们以前学过垂线段,它是如何定义的
生:思考回答.
师:注意观察学生能否回答完整.并在黑板上画出☉O及☉O的一条切线PA.
设计意图:通过复习垂线段、切线引出切线长的定义,为新课做好准备.
二、探索归纳
1.探究切线长定理(演示课件)
如图,将三角尺的一条直角边过☉O外一点P及圆上的点A,另一条直角边过圆心O,然后作直线PA,则PA是☉O的切线.用同样的方法可作出切线PB.你能说出PA和PB是☉O的切线的理由吗
生:利用切线的判定解释
师:观察图形中的切线,哪一部分是切线长,明确切线长的定义.
师:垂线与垂线段是不是同一概念 切线长、切线是不是同一概念
生讨论,得出切线长、切线这两个不同的概念.
引出课题——切线长定理
学生活动:在透明纸上画出图,设PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点,沿直线OP将图形对折.你发现了什么
学生活动:独立探究——小组讨论——成果展示.
师:你发现什么结论 请学生回答,并用课件演示PA沿PO翻折得到PB的过程.
师:从上面的操作中我们可以得到,经过圆外一点可以画圆的两条切线(板书),还得到PA=PB,∠OPA=∠OPB.能否用逻辑证明的方法说明你发现的结论是否正确
生讨论.
师证明切线长定理(演示课件).
如图,连接OA,OB.
∵PA,PB是☉O的切线,
∴∠PAO=∠PBO=90°.
即△PAO和△PBO均为直角三角形,
又∵OA=OB,OP=OP,
∴Rt△PAO≌Rt△PBO.
∴PA=PB,∠APO=∠BPO.
师:谁能用文字语言把发现的结论叙述一遍
生思考并回答.
师:因此,我们得到切线长定理.(板书)
切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
数学语言:
因为PA,PB是☉O的两条切线,
所以PA=PB.
∠OPA=∠OPB.
(学生会出现知道结果而书写不规范,也有部分学生不懂得线段的转化.)
设计意图:通过自主探究、讨论,让学生明白切线长定理.
2.应用
例:如图,AD是☉O的直径,点C为☉O外一点,CA和CB是☉O的切线,A和B是切点,连接BD.
求证:CO∥BD.
生先讨论并发表看法.
师分析:连接AB,因为AD为直径,那么∠ABD=90°,即BD⊥AB.因此要证CO∥BD.只要证CO⊥AB即可.
证明:连接AB.∵CA,CB都是☉O的切线,点A,B为切点,
∴CA=CB,∠ACO=∠BCO,
∴CO⊥AB.
∵AD是☉O的直径,
∴∠ABD=90°,即BD⊥AB,
∴CO∥BD.
三、交流反思
1.切线和切线长的区别:切线是直线,不可度量,而切线长是切线上一条线段的长,可以度量.
2.经过圆外一点,引圆的两条切线,连接两切点可以得到一个等腰三角形,利用等腰三角形的性质又可以得出一些结论.
四、检测反馈
1.如图,从☉O外一点P引☉O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是________.
2.如图,AD,DC,BC都与☉O相切,且AD∥BC,则∠DOC=________.
3.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,∠BAC=25°,求∠P的度数.
4.如图,已知PA,PB是☉O的两条切线,点A,B为切点,若OP=4,PA=2,求∠APB的度数.
五、布置作业
课本P75　习题2.5A组第5,6题
六、板书设计
﹡2.5.3　切线长定理
切线长 切线长定理 例
…… …… ……
…… …… ……
七、教学反思
教师在引导学生发现结论后,利用几何画板直观地、动态地展示切线长的关系,激发学生自觉地探究数学问题,体验发现的乐趣.
优点:本节课学生学习不是停留在学会课本知识的层面上,而是站在研究者的角度深入其境,思考问题,使学生想到利用轴对称性研究切线长定理.
缺点:例题的教学,可补充一个基本题型,巩固所学,提炼其中基础图形,为做复杂题作铺垫.

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