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2.4　过不共线三点作圆
1.掌握过不共线的三点作圆的方法;
2.认识三角形的外接圆和外心的概念,并会进行运用.
3.经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程,培养学生的探索能力.
4.通过探索不在同一直线上的三个点确定一个圆的问题,进一步体会解决数学问题的方法.
重点:认识三角形的外接圆和外心的概念,并会进行运用.
难点:掌握过不共线的三点作圆的方法.
一、创设情境
问题:
(1)经过一点、两点、三点你能否画出一条直线 若能,可以画出几条直线
(2)通过以上问题的回答,你有什么体会
(3)已知线段AB,求作线段AB的中垂线.
第(3)个问题,学生可能答的不同.
(经过操作探索可知:过平面内一点可作无数条直线,经过两点只能作一条直线,过三点要分两种情况,若三点在同一直线上,可作一条直线;若三点不在同一直线上,不能作直线).
设计意图:通过问题(3),希望学生复习线段中垂线的尺规作法,为本课作圆的知识做铺垫.通过问题(1)(2)的复习回答,为本课的探索“经过三点能否确定一个圆”作一个探索策略上的铺垫,进一步培养学生分类讨论的数学思想.
二、探索归纳
1.过不在同一条直线上的三个点作圆
师:确定一个圆需要几个要素 (两个要素:一是位置,二是大小,圆心确定它的位置,半径确定它的大小,只有圆心和半径都确定了,圆才能被确定.)
师:参照教材提出以下三个问题:
(1)作圆,使它经过已知点A,你能作出几个这样的圆,为什么有这样多个圆 (注意:不是以这一点为圆心!有同学可能审题不清而乱画.)
(2)作圆,使它经过已知点A,B,你是如何做的 依据是什么 你能作出几个这样的圆 其圆心分布有什么特点 与线段AB有什么关系 为什么
(3)作圆,使它经过不在同一直线的已知点A,B,C,你是如何做的 你能作出几个这样的圆 为什么
生用圆规作图、讨论、发言.
师:对!我们退一步想,转化为第(2)个问题,到点A,B,C距离相等的点,可以看作到点A,B距离相等的点与到点B,C距离相等的点,所以这个点既在线段AB的垂直平分线上,也在线段BC的垂直平分线上,因此这个点是这两条垂直平分线的交点.
师:请同学们总结:这个圆如何用“尺规”作出
师强调作法(多媒体课件演示).
已知:不在同一直线上的三点A,B,C.
求作:☉O,使它经过点A,B,C.
教师分析:
对于经过三点作图的问题:关键在于能否找到这样一个圆心,使它与三个已知点的距离相等,把这个问题与前面过两点作圆以及线段的垂直平分线联系起来就可得出当圆心O点在线段AB, BC的垂直平分线上时,才能确定一个圆.
(设计意图:使学生掌握过不共线三点作圆的方法)
2.三角形的外接圆、外心等概念
师:在上面的作图中,我们可得三角形的三个顶点确定一个圆.我们规定:经过三角形三个顶点的圆叫作三角形的外接圆,外接圆的圆心叫作三角形的外心,这个三角形叫作这个圆的内接三角形.
我们可推导出三角形的外心具有的特征是:外心到三个顶点的距离相等,因为它是三边中垂线的交点.(板书)
师:三角形按角的分类有哪几种,分别作一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,再作出每个三角形的外接圆.它们外心的位置与所在的三角形分别有怎样的关系
生分类作图,最终集体对比总结.
师:大家总结的对!锐角三角形的外心在三角形的内部,直角三角形的外心是斜边的中点,钝角三角形的外心在三角形的外部.(板书)
我们再想一想:反过来这些命题是否成立.
对应练习:
如图,△ABC内接于☉O,若∠OAB=20°,则∠C的度数是________.
解:由OA=OB,知∠OAB=∠OBA=20°,所以∠AOB=140°,根据圆周角定理,
得∠C=∠AOB=70°.
答案:70°
总结:
在圆中求圆周角的度数,可以根据圆周角定理找相等的角实现互换,也可以寻找同弧所对的圆周角与圆心角的关系 .
三、交流反思
通过这节课学习,理解三角形的外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等,它是三角形三边垂直平分线的交点.在圆中充分利用这一点可解决相关的计算问题.
四、检测反馈
1.一个三角形的内心,外心都在三角形内,则这个三角形一定是(　　)
A.直角三角形　　 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
2.下列说法正确的是(　　)
A.三点确定一个圆
B.三角形有且只有一个外接圆
C.四边形都有一个外接圆
D.圆有且只有一个内接三角形
3.若三角形的三边长为5,12,13,则其外接圆的直径长等于________.
五、布置作业
课本P63　第2,3题
六、板书设计
2.4　过不共线三点作圆
作圆 三角形外接圆 练习
…… …… ……
…… …… ……
七、教学反思
　　在回答“经过三点能否画直线”问题上可能出现分歧,部分回答“不能画出直线”或“可以画一条直线”或“以上两种情况都有可能”等.教师不宜过早作结论,而是通过让学生对问题的讨论、回答,达到预期目标.
优点:学生具备了用尺规作“线段垂直平分线”等操作技能,掌握了“线段垂直平分线的性质”,在经过点画直线等知识的学习过程中,发展了学生的合作精神和探究能力,让学生掌握了一定的分类讨论的数学思想方法和类比方法.
缺点:找三角形的外心时,要引导学生分类,不能死记硬背,应该借用多媒体.

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