资源简介

2.5.4　三角形的内切圆
1.通过尺规作图的方法经历三角形的内切圆的产生过程,理解三角形的内切圆的概念.
2.知道三角形的内心,并理解其性质.
3.通过作图,经历三角形内切圆的产生过程,培养作图能力.
4.类比三角形内切圆和三角形的外接圆,进一步理解三角形内心和外心所具有的性质.
重点:三角形内切圆的有关性质和探究作三角形内切圆的过程.
难点:如何将实际问题转化成作三角形内切圆的问题.
一、创设情境
师:切线的特征是什么 角平分线有什么性质
生讨论回答.
师:李明在一家木料厂上班,工作之余想对厂里的三角形废料进行加工:要在三角形木料上裁下一块圆形用料,且使圆的面积最大,他就找数学老师帮忙,同学们,你能帮他确定一下吗 这就涉及三角形的内切圆问题,(板书)我们这节课就从这个问题开始.
设计意图:通过一个富有挑战性的问题,激发学生的学习兴趣.
二、探索归纳
1.过圆上的点作圆☉O的切线
师:我们是如何过☉O上一点P作☉O的切线的
生画一画,并说,师多媒体演示,
作法:(1)作直线OP;(2)过点P作OP的垂线;
(3)这条垂线即为☉O的切线.
2.作一个与已知角两边都相切的圆
师:任意作一个∠AOB,如果在∠AOB内作圆,使其与两边OA,OB都相切,满足上述条件的圆是否可以作出 如果可以作出,能作多少个 所作出的圆的圆心的位置有什么特征
生用圆规、直尺画一画、再进行交流.
生:满足上述条件的圆可以作出,并且可以作无数个,其中每个圆的圆心到∠AOB的两边的距离都分别相等,所以这些圆的圆心都在∠AOB的角平分线上.
3.作三角形的内切圆.
师:任意作一个△ABC,如果在△ABC内作圆,使其与各边都相切,满足上述条件的圆是否可以作出 如果可以作出,能作多少个 所作出的圆的圆心的位置有什么特征
生讨论,可能得不出结论.
师:能不能退一步想,转化到刚才的情况 我们是如何确定三角形外心的
生讨论出:只要能在△ABC内作出一点,使它到各边的距离都相等,问题就可以解决了.
生在教师的启发下能得出:作三角形内切圆的关键是确定圆心的位置,确定三角形内切圆圆心的方法与确定三角形外心的方法类似,先考虑圆心到三角形其中两边的距离相等,也就是它在这两边夹角的角平分线上;再考虑圆心到两边中的一边和第三边的距离相等,也就是它又在另一个角的角平分线上.因为两条角平分线只有一个交点,所以圆心的位置被唯一确定,即与三角形各边都相切的圆可以作出一个并且只可以作出一个.
4.尺规作图
师:请生上来作图,用尺规作一个圆,使它与△ABC的各边都相切.
生做,教师多媒体演示.
已知:△ABC.
求作:☉I,使它与△ABC各边都相切.
5.内切圆、内心等概念
师:由刚才的讨论知:与三角形各边都相切的圆能作并且只能作出一个,我们称与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆,内切圆的圆心叫作三角形的内心,这个三角形叫作圆的外切三角形.(板书)
师:请生回忆一下三角形的外接圆、外接圆的圆心、内接三角形的概念并对比.
学生分组练习:分别作出已知的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内切圆,并说明三角形的内心是否都在三角形内.
强调:要将三角形的外心与内心区别开来,三角形的外心是三边垂直平分线的交点,三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,三角形的外心可以在三角形的内部、外部和边上,而三角形的内心只能在三角形内部.
6.应用
例:如图,☉O是△ABC的内切圆,∠A=70°,求∠BOC的度数.
解:∵☉O是△ABC的内切圆,
∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB.
∵∠A=70°,∴∠ABC+∠ACB=110°.
∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)
=180°-(∠ABC+∠ACB)
=180°-×110°=125°.
师:由三角形内心的定义,可联想什么 如何把要求的角的度数与已知角的度数联系起来.
生讨论并解答.
三、交流反思
　今天我们学习了三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形概念,以及作已知三角形内切圆的方法;在学习有关概念时,应注意区别“内”与“外”,“接”与“切”;还应注意“连接内心和三角形顶点”这一辅助线的添加和应用.
四、检测反馈
1.下面说法正确的是(　　)
A.与三角形两边相切的圆一定是三角形的内切圆
B.经过三角形的三个顶点的圆一定是三角形的内切圆
C.任意一个三角形都有且只有一个内切圆
D.任意一个三角形都有无数个内切圆
2.如图所示,已知☉O是边长为2的等边△ABC的内切圆,则☉O的半径为________.
3.如图,点E为△ABC的内心,AE交△ABC的外接圆于点D,求证:BD=ED=CD.
五、布置作业
课本P74　练习第2,3题
六、板书设计
2.5.4　三角形的内切圆
内切圆 画法 例
…… …… ……
…… …… ……
七、教学反思
本节课首先从一个生活中的具体问题,引出学生的学习兴趣,然后通过学生的动手画图,引出概念,然后探究三角形的内心的特点,研究三角形的内切圆问题,让学生经历从画到有关问题计算的过程,要强化对比,加强理解.在教学中,教师要让学生作为课堂教学的主体参与到课堂教学过程中来,充分展现自己的个性.
优点:先复分线的性质、作法,复习三角形外接圆的画图、概念,再提出问题,联系切线的性质来学习新的内容,最后运用内心等概念解决问题,学生学习效果较好.
缺点:有关应用是一个难点,可以有针对性地补充一些例题,引导学生分析,才能提高.

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