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1.3 集合的基本运算（第 1 课时）
一、内容和内容解析
内容
并集与交集.
内容解析
本节类比实数的加法运算，学习集合的并运算；结合实例学习集合的交运算.
并集、交集是集合的基本运算.两个集合的并集是由这两个集合中所有的元素构成的集合，即 A B {x | x A ，或 x B}.两个集合的交集是由这两个集合中所有的公共元素构成的集合，即 A B {x | x A ，且 x B}.
符号化是数学的重要特征，需要建立符号表示和数学意义之间的联系.直观化是理解数
学抽象概念的有效方式，Venn 图和数轴是直观理解集合基本运算的有效工具.在并集与交集的学习中，建立自然语言、符号语言、图形语言（Venn 图）之间的联系，有利于理解集合的基本运算，也有助于提升学生数学抽象素养.
因此，本节课的教学重点是：并集与交集的含义.
二、目标和目标解析
目标
理解两个集合的并集与交集的含义；
能求两个集合的并集与交集；
通过并集与交集的学习，渗透类比、分类和数形结合思想，培养数学抽象素养.
目标解析
达成上述目标的标志是：
能从元素与集合间关系的角度，抽象概括出并集、交集的元素特征，并用符号语言、图形语言表示两个集合的并集、交集；
对于具体的两个集合，能利用并集与交集的含义和图形语言（Venn 图、数轴）求并集、交集；
在集合运算的问题情境中，渗透类比思想，体会研究方法；在理解并集定义中，渗透分类思想；在求并集与交集过程中，关注自然语言、符号语言和图形语言的转换，体会图形对理解抽象概念的作用，积累数学抽象经验.
三、教学问题诊断分析
在理解并集的含义时，学生容易混淆生活用语中的“或”与逻辑用语中的“或”的含义.
生活用语中的“或”一般只取其一，不可兼有；而并集定义 A B {x | x A ，或 x B} 中的“或”包含下列三种情况： x A ， x B ； x A ， x B ； x A ， x B .
在求并集与交集过程时，学生需要根据元素的不同性质运用 Venn 图或数轴理解并集与
交集的含义.
因此，本节课的教学难点是：并集的含义，运用 Venn 图和数轴理解并集与交集运算.
四、教学过程设计
（一）概念的引入
问题 1：上一节课，我们类比实数之间的相等关系、大小关系，从元素与集合间关系的角度，研究了集合间的包含与相等关系.类比实数的运算，需研究什么问题？
师生活动：学生独立思考、讨论交流.教师提示，研究集合的运算.
设计意图：提供先行组织者，提出研究问题.引导学生类比实数的运算，联想元素与集合间的关系，思考“研究什么问题”，有助于学生明确研究对象和研究方法，学会发现和提出问题.
问题 2：（教科书第 10 页“观察”）观察下面的集合，类比实数的加法运算，你能说出集合C 与集合 A, B 之间的关系吗？
（1） A {1, 3, 5}, B {2, 4, 6} ， C {1, 2, 3, 4, 5, 6} ；
（2） A {x|x 是有理数}， B {x|x 是无理数}， C {x|x 是实数}.
师生活动：学生观察、思考，交流讨论.根据学生交流讨论的情况，教师选择以下问题进行追问.
追问：（1）你从哪个角度来分析上述两个问题中的集合C 与集合 A, B 之间的关系？（从元素与集合间关系来分析）
（2）在上述两个问题中，从元素与集合间关系来看，你能发现集合C 的元素与集合 A, B
的元素有何关系？（集合C 是由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的.）梳理观察结果，师生共同抽象概括出并集定义：
由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集，记作
A B （读作“ A 并 B ”），即 A B {x | x A ，或 x B}.
设计意图：引入并集概念.引导学生从元素与集合间关系的角度，归纳概括并集的元素特征，形成并集定义，有助于学生积累数学抽象经验.
问题 3：（1）在问题 2 的两个问题中，集合C 与集合 A, B 之间的关系？
（2）能用 Venn 图表示集合 A 与 B 的并集吗？
设计意图：辨认并集的含义（集合C 是 A 与 B 的并集， A B C ），引导学生用 Venn
图表示并集.
问题 4：（教科书第 11 页“思考”的变式）观察下面的集合，集合C 是 A 与 B 的并集吗？请说明理由.
（1） A { 1,1, 3, 5}, B { 1,1, 2, 4, 6} ， C { 1,1}；
（2） A {x|x 是立德中学今年在校的男同学} ， B {x|x 是立德中学今年在校的高一年级同学}， C {x|x 是立德中学今年在校的高一年级男同学}.
师生活动：学生观察、思考，交流讨论.根据学生交流讨论情况，教师适时地选择以下问题进行追问.
追问：
从元素与集合间关系来看，问题 4 中的两组集合C 的元素与集合 A, B 的元素有何关系？（集合C 是由所有既属于集合 A 又属于集合 B 的元素组成的.）
能用 Venn 图表达集合C 与集合 A, B 两个集合的关系吗？
梳理观察结果，师生共同抽象概括出交集的含义，及表示方法：
由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的交集，记作
A B （读作“ A 交 B ”），即 A B {x | x A ，且 x B}.
设计意图：引入交集概念.让学生充分经历从观察、分析到抽象、概括的过程，其中包括独立思考和交流讨论，提升学生数学抽象素养.
（二）概念的理解
例 1：设 A 4,5,6,8 , B 3,5,7,8 ，求 A B, A B .
师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范. 教师追问：在并集运算中，为什么公共元素只出现一次？
设计意图：在有限集中理解并、交运算的含义.
例 2：设集合 A x | 1 x 2 , B x |1 x 3 ，求 A B, A B .
师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.
设计意图：在无限集中理解并、交运算的含义，借助数轴表示并、交运算.
例 3：立德中学开运动会，设 A {x|x 是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学} ，
B {x|x 是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求 A B, A B .
师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.
解： A B 是立德中学高一年级参加百米赛跑或参加跳高比赛的同学组成的集合.所以， A B {x | x 是立德中学高一年级参加百米赛跑或参加跳高比赛的同学}. A B 是立德中学高一年级中既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合.
所以， A B {x | x 是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}.
设计意图：在实际问题中理解并、交运算.
例 4：设平面内直线l1 上点的集合为 L1 ，直线l2 上的点的集合为 L2 ，试用集合的运算
表示l1 ， l2 的位置关系.
师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.
解：平面内直线l1 ， l2 可能有三种位置关系，即相交于一点、平行或重合.
直线l1 ， l2 相交于一点 P 可表示为 L1 L2 { 点 P }；
直线l1 ， l2 平行可表示为 L1 L2 ；
直线l1 ， l2 重合可表示为 L1 L2 L1 L2 .
设计意图：运用集合语言描述几何对象及其关系，理解交集的含义，渗透分类讨论思想.
（三）概念的深化
问题 5：并集定义中“或”字的数学含义是什么？交集定义中“且”字的数学含义是什
么？
师生活动：学生独立思考，根据学生回答情况，教师讲解并集定义中“或”字的数学含
义：
并集定义 A B {x | x A ，或 x B} 中的“或”包含下列三种情况：
x A ， x B ； x A ， x B ； x A ， x B .
交集定义 A B {x | x A ，且 x B} 中“且”只包含下列一种情况：
x A ， x B .
设计意图：深化学生对并集和交集的理解.问题 6：下列关系式成立吗？
（1） A A A ；（2） A A ；（3） A A A ；（4） A .
师生活动：学生独立思考，根据学生回答情况，教师进行追问.
追问：如果 B A ，那么 A B ？ A B 能举例说明吗？能用 Venn 图表示吗？ 设计意图：让学生熟悉并集、交集的自然语言、符号语言和图形语言；通过举例，让抽
象概念具体化，深入理解并集、交集的概念.
（四）概念的巩固
课内练习：教科书第 12 页练习 1，2，3。
（五）归纳总结、布置作业
教师用以下问题引导学生回顾本节知识：
问题 7：（1）集合的并集、交集的含义是什么？如何用自然语言、符号语言、图形语言表达并集、交集？
（2）通过本节课的学习，同学们积累了何种数学活动经验？设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结.布置作业：教科书习题 1.3 中第 1，2，3，5 题.
五、目标检测设计
若集合 A x | 1 x 5 , B x | 1 x 3 ，求 A B, A B .
设计意图：考查学生利用数轴计算并集，交集.
【解析】 A B x | 1 x 5 ， A B x | 1 x 3
已知集合 A {1,3,
m}, B 1, m , A B A ，则 m .
设计意图：考查学生对并集的理解，以及分类讨论思想的运用.
【答案】0 或3 .
【解析】因为 A B A ，所以 B A ，所以 m 3 ，或 m ，即 m 3 ， m 0 或 m 1（舍去）.
1.3 集合的基本运算（第 2 课时）
一、内容和内容解析
内容
全集与补集。
内容解析
补集作为集合的一种基本运算，是一个相对的概念，是由这个集合所在的全集决定的。同一个集合相对于不同的全集，其补集就不同。补集也是一种重要的数学思想。
本节课将类比并集和交集的研究，研究集合的补集运算。从学生熟悉的集合出发，结合实例，抽象概括出全集和补集，并通过自然语言、符号语言及图形语言帮助学生理解补集的含义。通过本节课的学习，学生将会对集合的基本运算有全面的理解。
因此，本节课的教学重点是：补集的含义。
二、目标和目标解析
目标
理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；
能使用 Venn 图表达集合的补集，体会图形对理解抽象概念的作用；
通过补集的学习，渗透类比、分类、数形结合与化归转化的数学思想，进一步提升学生的数学抽象核心素养。
目标解析
达成上述目标的标志是：
能在具体情境中认识和识别全集，能解释给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集。
对于给定的问题和情境，能使用 Venn 图表达集合的“补”运算，能结合图形理解抽象的补集概念。
在具体问题情景中，能根据需求进行自然语言、符号语言和图形语言（Venn 图）的转换，熟悉符号语言和图形语言的表述方式，能有意识地使用符号语言表述数学对象，积累数学抽象经验。
三、教学问题诊断分析
通过并集与交集的学习，学生已经掌握了研究集合问题的方法——类比、归纳、由特殊到一般等思维方法。因此，本节课可以让学生类比并集、交集的研究过程，自主学习、合作探究本节内容。对于简单的数集之间的补集运算学生比较容易掌握，但是对于复杂的补集运算，学生往往会因为忽略或不能明确全集的范围而出错，特别是需要借助数轴解决集合运算的补集问题，学生在从数轴上找集合之间的补集关系时，容易出错。
因此，本节课的教学难点是：补集的含义。
四、教学过程设计
概念的引入
在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围.例如，从小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到正分数，再到有理数，引进无理数后，数的研究范围扩充到实数.在高中阶段，数的研究范围将进一步扩充. 在不同范围内研究同一个问题，可能有不同的结果.
问题 1：（1）在有理数范围内，写出方程 的解集；
（2）在实数范围内，写出方程 的解集.
师生活动：学生回顾集合的表示方法及有理数、无理数、实数等相关知识，思考、讨论后写出相应的集合：
（1） ；
（2） .
教师启发学生发现不同范围内方程的解的个数不同，由此引出全集的概念.
定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universe set），记作 .
注意：全集明确了在什么范围内讨论问题，它含有与所研究问题有关的各个集合的全部
元素. 例如，在研究数集时，常常把实数集看作是全集，我们通常也把给定的集合作为全集.设计意图：创设情境，激发学生学习兴趣，在具体情境中体会全集的含义和作用.
问题 2 ：观察下面的集合，相对于全集 ，你能发现集合 之间的关系吗？
（1） ， ， ；
（2） 是立德中学高一年级同学 ， 是立德中学高一年级参加运动会的同学 ， 是立德中学高一年级没有参加运动会的同学 .
师生活动：类比并集和交集的研究过程，学生从元素与集合之间关系的角度出发，观察、分析、讨论交流. 学生容易发现：上述两个问题中，集合 是由集合 中不属于集合 的 所有元素组成的集合，集合 是由集合 中不属于集合 的所有元素组成的集合.
教师提示：这种集合 之间的关系，我们称集合 是集合 相对全集 的补集，集
合 是集合 相对全集 的补集.
设计意图：创设具体的问题情境，引出补集的含义.
问题 3 ：类比“并集”和“交集”的定义与表示，能给补集下个定义吗？
师生活动：类比“并集”“交集”概念及其表示，学生尝试给出补集的定义与表示，教师补充和完善，给出补集的定义、记号和与表示.
定义：对于一个集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合称为集合
相对于全集 的补集（complementary set），简称为集合 的补集，记作 UA.
设计意图：引导学生类比“并集”“交集”概念及其表示，尝试给出补集的定义与表示，形成研究集合运算的基本思路，有利于培养学生的数学抽象素养.
概念的理解
问题 4 ：补集定义中的关键词有哪些？如何理解它们？
师生活动：学生辨认补集概念中的关键词：“全集 中”“不属于”“所有”.教师强调：补集是一个相对概念，对于同一个集合，全集不同，其补集也不同.追问 1：你能用符号语言和 Venn 图表示补集的概念吗？
师生活动：学生尝试把文字语言转换成符号语言和图形语言.
符号语言： UA ，且 .
图形语言：如图 1 所示.
追问 2：在补集定义中，集合 与全集 有何关系？集合 UA 与全集 有何关系？集合 和集合 UA 有何关系？
师生活动：学生思考、交流，得到如下结论.
（1） 是全集 的一个子集，即；
（2） UA 是全集 的一个子集，即 UA ；
（3） UA 与 没有公共元素，即( UA） ；
（4）( UA） .
设计意图：通过提炼补集定义中的关键词、用三种语言表示补集，以及探讨 UA之间的关系，帮助学生理解补集的定义，体会数学符号的简洁性和严谨性，感受图形直观性对理解抽象概念的作用.
概念的运用
例 1（教科书第 13 页例 5）设 是小于 9 的正整数 ， ，
，求 UA， UB.
师生活动：学生独立解题，教师追问：能用 Venn 图表示 与 UA ， 与 UB 吗 变式：已知集合， ，全集为实数集．求
U ， U .
设计意图：学会求集合的补集，加深对补集概念的理解.
例 2（教科书第 13 页例 6）设 是三角形 ， 是锐角三角形 ，
是钝角三角形 ，求 ， U .
师生活动：学生独立练习，教师检查，作个别指导并进行反馈.
设计意图：学会求简单的集合交集、并集、补集，加深学生对集合运算的理解.
课堂练习
教科书第 13 页练习第 1，2，3 题.
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈.
课堂小结
教师引导学生回顾集合的基本运算相关知识，并回答以下问题：
什么是全集？
什么是补集？你能用自然语言、符号语言、图形语言来描述吗？
设计意图：帮助学生把新知纳入到原有认知结构中，建立知识网络，把知识系统化.
布置作业
教科书习题 1.3 第 4，5 题.
五、目标检测设计
已知集合 ， ，全集为 ．求 R ， R .
设计意图：考查并集运算、交集运算及补集运算.
设全集 ,求实数 a 的值.
设计意图：考查学生对集合元素的互异性、补集的概念及补集运算的理解.

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