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人教版八年级数学上名师点拨精练
第11章 三角形
11.3多边形及其内角和
学习目标
1.掌握多边形的定义及有关概念，能区分凹凸多边形.
2.掌握正多边形的概念.
3.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.
4.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.
老师告诉你
从n边形的一个顶点可引（n-3）条对角线，一个n边形有条对角线；
从n边形的一个顶点可引对角线，可将n边形分成（n-2）个三角形。
求若干个角的和的方法
如果所有角都是多边形的全部内角，那么可直接由多边形内角和公式求出。
如果所有内角不都在一个多边形中，可将这些角运用相关几何性质进行转化到一个或几个多边形中，再由多边形内角和公式求出。
知识点拨
知识点1 多边形的定义及相关概念
多边形
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形…….三角形是最简单的多边形，如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.
2.相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；
【新知导学】
例1-1．如图所示的图形中，是多边形的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【对应导练】
1．若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是( )
A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形
2．下列说法错误的是( )
A.五边形有5条边，5个内角，5个顶点；
B.四边形有2条对角线；
C.连接对角线，可以把多边形分成三角形；
D.六边形的六个角都相等；
3．一个四边形切掉一个角后变成( )
A.四边形 B.五边形
C.四边形或五边形 D.三角形或四边形或五边形
4．从7边形的一个顶点作对角线，把这个7边形分成三角形的个数是( )
A.7个 B.6个 C.5个 D.4个
知识点2 正多边形
各个角都相等，各边都相等的多边形叫做正多边形.
正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
【新知导学】
例2-1．下列属于正多边形的特征的有( )
①各边都相等；
②各个内角都相等；
③各条对角线长都相等；
④各个外角都相等；
⑤从一个顶点引出的对角线将正边形分成面积相等的个三角形.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【对应导练】
1．正九边形的一个内角的度数是( )
A.108° B.120° C.135° D.140°
3．如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线，与其内角的平分线相交于点P，且，则___________度.
知识点3 多边形的内角和
多边形的内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）×180°。
【新知导学】
例3-1．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍,这个多边形是______边形.
【对应导练】
1．如图,用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结(如图1),然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形.在图2中,的度数为__________.
2．如图，在五边形中，，、分别平分、，则的度数是___________°.
3．一个多边形每个内角都是150°,则这个多边形的边数为( )
A.12 B.10 C.8 D.6
4．一个正多边形,它的一个内角恰好是一个外角的5倍,则这个正多边形的边数是( )
A.十二 B.十一 C.十 D.九
知识点4 多边形的外角和
性质：多边形的外角和等于360°。
【新知导学】
例4-1．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍,则这个多边形的边数是______.
【对应导练】
1．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O.若与、、、相邻的四个外角的和等于，则的度数为_____度.
2．如图所示，已知，正五边形ABCDE的顶点A，B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则________度.
.
3．如图,小明从A点出发,沿直线前进8米后向左转45°,再沿直线前进8米,又向左转45°……照这样走下去,他第一次回到出发点A时,共走路程为( )
A.80米 B.96米 C.64米 D.48米
4．如图所示，已知，正五边形的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则度数为( )
A. B. C. D.
题型训练
1.多边形的对角线在计算中的应用
1.（1）如图（1）所示是四边形，小明作出它对角线为2条，算法为=2．
（2）如图（2）是五边形，小明作出它的对角线有5条，算法为=5．
（3）如图（3）是六边形，可以作出它的对角线有_____条，算法为_____．
（4）猜想边数为n的多边形对角线条数的算法及条数．
2 .从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（　　）
A. 2001 B. 2005 C. 2004 D. 2006
多边形的内角和在解边与内角和关系的应用
3.一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（　　）
A. 10 B. 11
C. 12 D. 以上都有可能
4 .把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDM的CD边重合，按照如图的方式叠合在一起，延长MG交AF于点N，则∠ANG等于（　　）
A. 140° B. 144° C. 148° D. 150°
多边形内角和与角平分线的综合应用
5 .如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，DE平分∠ADC，交BC于点E．
（1）用直尺和圆规作∠ABC的角平分线，交AD于点F；（保留作图痕迹）
（2）求证：BF∥DE．
证明：∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，且∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=_____°，
∴∠ABC+∠ADC=90°．
∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABF=∠ABC，∠1= _____，
∴_____+∠1=90°．
∵∠A=90°，
∴∠ABF+∠AFB=90°，
∴∠1=_____，
∴BF∥DE．
多边形内角和与平行线综合应用
6.如图，在四边形ABCD中，BD⊥CD，EF⊥CD，且∠1=∠2．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若BD平分∠ABC，∠A=130°，求∠C的度数．
牛刀小试
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（　　）
A. 2，2，2 B. 1，1，8 C. 1，2，2 D. 1，1，1
2．从一个多边形的一个顶点出发，可以作2条对角线，则这个多边形是（　　）
A. 三边形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
3．小李同学将10cm,12cm,16cm,22cm的四根木棒首尾相接，组成一个凸四边形，若凸四边形对角线长为整数，则对角线最长为（　　）
A. 25cm B. 27cm C. 28cm D. 31cm
4．若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　）
A. 14或15 B. 13或14 C. 13或14或15 D. 14或15或16
5．如图所示的图形中，属于多边形的有（　　）个．
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6．一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是（　　）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
7．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（　　）
A. 10 B. 11
C. 12 D. 以上都有可能
8．图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若a⊥b,则n的值是（　　）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的度数为 _____．
10．若一个多边形的每一个内角都是，则它是______边形．
11．若对图1中星形截去一个角，如图2，再对图2中的角进一步截去，如图3，则图中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=_____度．
12．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为_____．
13．如图，在正六边形ABCDEF中，延长AB交EC的延长线于点G，则∠G的度数为_____．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）已知正n边形的周长为60，边长为a
（1）当n=3时，请直接写出a的值；
（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b.有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b,然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．
15．（8分）若一个n边形的内角和比它的外角和的3倍多180°，
（1）求n的值；
（2）在（1）条件下，求正（n+1）边形的一个内角度数及对角线条数．
16．（8分）如图，五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A=100°，∠B=120°．
（1）求∠C的度数；
（2）直接写出五边形ABCDE的外角和．
17 .（8分）如图，已知在四边形中，，．
(1)的度数为___________；
(2)若的平分线交边于点E，且，求的度数．
18 .（8分）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的倍还大．
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
19 （8分）如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，BE、CD交于G点．
（1）如图1，若∠A＝90°，
①求证：∠EDG＝∠ABC；
②作DF平分∠ADC，如图2，求证：DF∥BG．
（2）如图3，作DF平分∠ADC，在锐角∠BAD内部作射线AN，交DF于N，若∠AND﹣∠GBC的大小为45°，试说明：AN平分∠BAD．
人教版八年级数学上名师点拨精练
第11章 三角形
11.3多边形及其内角和
学习目标
1.掌握多边形的定义及有关概念，能区分凹凸多边形.
2.掌握正多边形的概念.
3.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.
4.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.
老师告诉你
从n边形的一个顶点可引（n-3）条对角线，一个n边形有条对角线；
从n边形的一个顶点可引对角线，可将n边形分成（n-2）个三角形。
求若干个角的和的方法
如果所有角都是多边形的全部内角，那么可直接由多边形内角和公式求出。
如果所有内角不都在一个多边形中，可将这些角运用相关几何性质进行转化到一个或几个多边形中，再由多边形内角和公式求出。
知识点拨
知识点1 多边形的定义及相关概念
多边形
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形…….三角形是最简单的多边形，如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.
2.相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；
【新知导学】
例1-1．如图所示的图形中，是多边形的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案：A
解析：根据多边形定义，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.题图中1、2、5是多边形，其余不是，故是多边形的有3个，.故选A
【对应导练】
1．若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是( )
A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形
答案：A
解析：设这个多边形是n边形.
依题意，得，
.
故这个多边形是13边形.
故选A.
2．下列说法错误的是( )
A.五边形有5条边，5个内角，5个顶点；
B.四边形有2条对角线；
C.连接对角线，可以把多边形分成三角形；
D.六边形的六个角都相等；
答案：D
解析：A、五边形有5条边，5个内角，5个顶点，原选项正确，故不符合题意；
B、四边形有2条对角线，原选项正确，故不符合题意；
C、连接对角线，可以把多边形分成三角形，原选项正确，故不符合题意；
D、六边形的六个角不一定相等，只有正六边形的六个内角相等，原选项错误，故符合题意；
故选：D.
3．一个四边形切掉一个角后变成( )
A.四边形 B.五边形
C.四边形或五边形 D.三角形或四边形或五边形
答案：D
解析：如图，一个四边形切掉一个角后变成三角形或四边形或五边形.
4．从7边形的一个顶点作对角线，把这个7边形分成三角形的个数是( )
A.7个 B.6个 C.5个 D.4个
答案：C
解析：从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是，
从7边形的一个顶点作对角线，把这个7边形分成三角形的个数是：(个)，
故选：C.
知识点2 正多边形
各个角都相等，各边都相等的多边形叫做正多边形.
正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
【新知导学】
例2-1．下列属于正多边形的特征的有( )
①各边都相等；
②各个内角都相等；
③各条对角线长都相等；
④各个外角都相等；
⑤从一个顶点引出的对角线将正边形分成面积相等的个三角形.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案：B
解析：正多边形只具有以下特征：各边都相等，各个内角都相等，各个外角都相等.所以只有①②④符合题意.故选B.
【对应导练】
1．正九边形的一个内角的度数是( )
A.108° B.120° C.135° D.140°
答案：D
解析：正九边形的内角和，则每个内角的度数.故选D.
2．正八边形的每个外角为_________°.
答案：45
解析：∵正多边形每个内角都相等
∴正多边形每个外角都相等.
又∵多边形外角和为
∴正八边形的一个外角为：.
故答案为：45.
3．如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线，与其内角的平分线相交于点P，且，则___________度.
答案：66
解析：五边形ABCDE为正五边形，它的内角和为，则，AP是的平分线，，，.
知识点3 多边形的内角和
多边形的内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）×180°。
【新知导学】
例3-1．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍,这个多边形是______边形.
答案：十
解析：设这个多边形有n条边.
由题意得：,
解得.
则这个多边形是十边形.
故答案为：十.
【对应导练】
1．如图,用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结(如图1),然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形.在图2中,的度数为__________.
答案：
解析：由n边形内角和公式可得五边形的内角和为540°,
∴,
∴在等腰中,,
∴,
故答案为.
2．如图，在五边形中，，、分别平分、，则的度数是___________°.
答案：60
解析：五边形的内角和等于，，
，
、的平分线在五边形内相交于点O，
，
.
故答案是：60.
3．一个多边形每个内角都是150°,则这个多边形的边数为( )
A.12 B.10 C.8 D.6
答案：A
解析：,
.
故选A.
4．一个正多边形,它的一个内角恰好是一个外角的5倍,则这个正多边形的边数是( )
A.十二 B.十一 C.十 D.九
答案：A
解析：一个正多边形,它的一个内角恰好是一个外角的5倍,且一个内角与一个外角的和为,
这个正多边形的每个外角都相等,且外角的度数为,
这个正多边形的边数为,
故选：A.
知识点4 多边形的外角和
性质：多边形的外角和等于360°。
【新知导学】
例4-1．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍,则这个多边形的边数是______.
答案：8
解析：设边数为n,由题意得,
,
解得.
所以这个多边形的边数是8.
故答案为：8.
【对应导练】
1．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O.若与、、、相邻的四个外角的和等于，则的度数为_____度.
答案：50
解析：，，，的外角的角度和为，
，
，
五边形OAGFE内角和，
，
，
故答案为：50
2．如图所示，已知，正五边形ABCDE的顶点A，B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则________度.
答案：48
解析：五边形ABCDE是正五边形，
，.在中，.
3．如图,小明从A点出发,沿直线前进8米后向左转45°,再沿直线前进8米,又向左转45°……照这样走下去,他第一次回到出发点A时,共走路程为( )
A.80米 B.96米 C.64米 D.48米
答案：C
解析：根据题意可知,他需要转次才会回到原点,所以一共走了米.
故选：C.
4．如图所示，已知，正五边形的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则度数为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：五边形ABCDE为正五边形，
，
，
，
故选：C.
题型训练
1.多边形的对角线在计算中的应用
（1）如图（1）所示是四边形，小明作出它对角线为2条，算法为=2．
（2）如图（2）是五边形，小明作出它的对角线有5条，算法为=5．
（3）如图（3）是六边形，可以作出它的对角线有_____条，算法为_____．
（4）猜想边数为n的多边形对角线条数的算法及条数．
【答案】(1)9;(2);
【解析】根据（1）（2）所给算法计算即可．
解：（3）六边形，可以作出它的对角线有9条，算法：=9；
故答案为：9；=9；
（4）n的多边形对角线条数的算法及条数．
2 .从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（　　）
A. 2001 B. 2005 C. 2004 D. 2006
【答案】C
【解析】可根据多边形的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系求解．
解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，
则这个多边形的边数为2003+1=2004．
故选：C．
多边形的内角和在解边与内角和关系的应用
3.一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（　　）
A. 10 B. 11
C. 12 D. 以上都有可能
【答案】D
【解析】首先计算截取一个角后多边形的边数，然后分三种情况讨论．因为截取一个角可能会多出一个角，也可能角的个数不变，也可能少一个角，从而得出结果．
解：∵内角和是1620°的多边形是边形，
又∵多边形截去一个角有三种情况．一种是从两个角的顶点截取，这样就少了一条边，即原多边形为12边形；
另一种是从两个边的任意位置截，那样就多了一条边，即原多边形为10边形；
还有一种就是从一个边的任意位置和一个角顶点截，那样原多边形边数不变，还是11边形．
综上原来多边形的边数可能为10、11、12边形，
故选：D．
4 .把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDM的CD边重合，按照如图的方式叠合在一起，延长MG交AF于点N，则∠ANG等于（　　）
A. 140° B. 144° C. 148° D. 150°
【答案】B
【解析】先根据多边形的内角和公式分别求得正六边形和正五边形的每一个内角的度数，再根据多边形的内角和公式求得∠ANG的度数．
解：（6-2）×180°÷6=120°，
（5-2）×180°÷5=108°，
∠ANG=（6-2）×180°-120°×3-108°×2
=720°-360°-216°
=144°．
故选：B．
多边形内角和与角平分线的综合应用
5 .如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，DE平分∠ADC，交BC于点E．
（1）用直尺和圆规作∠ABC的角平分线，交AD于点F；（保留作图痕迹）
（2）求证：BF∥DE．
证明：∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，且∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=_____°，
∴∠ABC+∠ADC=90°．
∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABF=∠ABC，∠1= _____，
∴_____+∠1=90°．
∵∠A=90°，
∴∠ABF+∠AFB=90°，
∴∠1=_____，
∴BF∥DE．
【答案】(1)180;(2)∠ADC;(3)∠ABF;(4)∠AFB;
【解析】（1）利用基本作图作∠ABC的平分线即可；
（2）先利用四边形内角和得到∠ABC+∠ADC=180°，再根据角平分线的定义得到∠ABF=∠ABC，∠1=∠ADC，则∠ABF+∠1=90°，然后证明∠1=∠AFB，从而可判断BF∥DE．
（1）解：如图，BF为所作；
（2）证明：∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，且∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC+∠ADC=90°．
∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABF=∠ABC，∠1=∠ADC，
∴∠ABF+∠1=90°．
∵∠A=90°，
∴∠ABF+∠AFB=90°，
∴∠1=∠AFB，
∴BF∥DE．
故答案为：180，∠ADC，∠ABF，∠AFB．
多边形内角和与平行线综合应用
6.如图，在四边形ABCD中，BD⊥CD，EF⊥CD，且∠1=∠2．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若BD平分∠ABC，∠A=130°，求∠C的度数．
【解析】（1）由BD⊥CD，EF⊥CD可得BD∥EF，所以∠2=∠3，结合∠1=∠2得∠1=∠3，据此即可得证；
（2）由AD∥BC、∠A=130°知∠ABC=50°，再根据平分线定义知∠3=25°，由直角三角形的两个锐角互余可得答案．
解：（1）证明：如图，
∵BD⊥CD，EF⊥CD（已知），
∴BD∥EF（垂直于同一直线的两条直线平行），
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3（等量代换）．
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
（2）∵AD∥BC（已知），
∴∠ABC+∠A=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠A=130°（已知），
∴∠ABC=50°．
∵DB平分∠ABC（已知），
∴∠3=∠ABC=25°．
∴∠C=90°-∠3=65°．
牛刀小试
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（　　）
A. 2，2，2 B. 1，1，8 C. 1，2，2 D. 1，1，1
【答案】A
【解析】根据若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边逐项判定即可．
解：A、∵2+2+2=6＞5，
∴此三条线段与长度为5的线段能组成四边形，故此选项符合题意；
B、∵1+1+5=7＜8，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；
C、∵1+2+2=5，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；
D、∵1+1+1=3＜5，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．从一个多边形的一个顶点出发，可以作2条对角线，则这个多边形是（　　）
A. 三边形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
【答案】C
【解析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，得出n-3=2，求出n即可．
解：设这个多边形的边数是n,
由题意得n-3=2，
解得n=5．
故选：C．
3．小李同学将10cm,12cm,16cm,22cm的四根木棒首尾相接，组成一个凸四边形，若凸四边形对角线长为整数，则对角线最长为（　　）
A. 25cm B. 27cm C. 28cm D. 31cm
【答案】B
【解析】根据三角形的三边关系即可确定对角线的范围，从而判断．
解：如图，设AD=10cm,AB=12cm,BC=16cm,CD=22cm,连接AC和BD，
由三角形ABC和△ACD可知AC＜12+16=28，AC＜10+22=32，
所以AC＜28，
由三角形ABD和△BCD可知BD＜12+10=22，DB＜16+22=38，
以BD＜22，
四边形对角线长为整数，
∴对角线最长为27，
故选：B．
4．若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　）
A. 14或15 B. 13或14 C. 13或14或15 D. 14或15或16
【答案】C
【解析】根据不同的截法，找出前后的多边形的边数之间的关系得出答案．
解：如图，n边形，A1A2A3…An，
若沿着直线A1A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1，
若沿着直线A1M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，
若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，
因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数为13或14或15，
故选：C．
5．如图所示的图形中，属于多边形的有（　　）个．
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】根据多边形的定义：平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．显然只有第一个、第二个、第五个．
解：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第五个．
故选：A．
6．一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是（　　）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】B
【解析】利用多边形的外角和是360度，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
解：360°÷36°=10，
则这个正多边形的边数是10．
故选：B．
7．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（　　）
A. 10 B. 11
C. 12 D. 以上都有可能
【答案】D
【解析】首先计算截取一个角后多边形的边数，然后分三种情况讨论．因为截取一个角可能会多出一个角，也可能角的个数不变，也可能少一个角，从而得出结果．
解：∵内角和是1620°的多边形是边形，
又∵多边形截去一个角有三种情况．一种是从两个角的顶点截取，这样就少了一条边，即原多边形为12边形；
另一种是从两个边的任意位置截，那样就多了一条边，即原多边形为10边形；
还有一种就是从一个边的任意位置和一个角顶点截，那样原多边形边数不变，还是11边形．
综上原来多边形的边数可能为10、11、12边形，
故选：D．
8．图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若a⊥b,则n的值是（　　）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】B
【解析】延长a、b交于点E，根据得到，于是可以得到正多边形的一个外角为45°，进而可得正多边形的边数．
解：如图，延长a,b交于点E，
∵a⊥b,
∴∠ABC=90°，
∴正多边形的一个外角为，
∴．
故选：B．
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的度数为 _____．
【答案】36°
【解析】利用多边形内角和公式及正多边形性质易得∠B的度数，AB=BC，再根据等边对等角，利用三角形内角和定理即可求得答案．
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC，∠B=（5-2）×180°÷5=108°，
∴∠BAC=∠BCA===36°，
故答案为：36°．
10．若一个多边形的每一个内角都是，则它是______边形．
【答案】十二/12
【解析】先求出一个外角的度数，根据多边形的外角和定理计算即可．
解：∵多边形的每一个内角都是，
∴它的每个外角度数均为：，
∵多边形的外角和为，
∴多边形的边数为：，它是十二边形，
故答案为：十二．
【点睛】本题考查多边形的外角和定理，外角与内角的关系，关键是熟记多边形的外角和为．
11．若对图1中星形截去一个角，如图2，再对图2中的角进一步截去，如图3，则图中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=_____度．
【答案】1080
【解析】根据图中可找出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案．
解：根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，每截去一个角则会增加180度，
所以当截去5个角时增加了180×5度，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=180×5+180=1080°．
12．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为_____．
【答案】15，16，17
【解析】先求出新多边形的边数，再根据截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多1，少1三种情况进行讨论．
解：设新多边形的边数是n,则（n-2） 180°=2520°，
解得n=16，
∵截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，多1或少1，
∴原多边形的边数是15，16，17．
故答案为：15，16，17．
13．如图，在正六边形ABCDEF中，延长AB交EC的延长线于点G，则∠G的度数为_____．
【答案】30°
【解析】利用正六边形的性质求出∠BCG=90°，∠CBG=60°即可解决问题；
解：∵ABCDEF是正六边形，
∴∠D=∠DCB=∠ABC=120°，
∵DE=DC，
∴∠DCE=30°，∠ECB=∠BCG=90°，∠CBG=60°，
∴∠G=90°-60°=30°，
故答案为30°
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）已知正n边形的周长为60，边长为a
（1）当n=3时，请直接写出a的值；
（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b.有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b,然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．
【解析】（1）边长=周长÷边数；
（2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值．
解：（1）a=20；
（2）此说法不正确．
理由如下：尽管当n=3、20、120时，a＞b或a＜b,
但可令a=b,得，即．
∴60n+420=67n,
解得n=60，
经检验n=60是方程的根．
∴当n=60时，a=b,即不符合这一说法的n的值为60．
15．（8分）若一个n边形的内角和比它的外角和的3倍多180°，
（1）求n的值；
（2）在（1）条件下，求正（n+1）边形的一个内角度数及对角线条数．
【解析】（1）一个多边形的内角和等于外角和的3倍多180°，而任何多边形的外角和是360°，因而多边形的内角和等于1260°．n边形的内角和可以表示成（n-2） 180°，设这个正多边形的边数是n,就得到方程，从而求出边数，即可求出答案．
（2）从n边形的一个顶点引出对角线，可以引（n-3）条．
解：（1）设这个多边形的边数为n,则内角和为180°（n-2），依题意得：
180°（n-2）=360°×3+180°，
解得n=9，
答：这个多边形是九边形；
（2）从n边形的一个顶点引出对角线，可以引（n-3）条，
则从十边形的一个顶点引出对角线，可以引7条．
正十边形的一个内角为（10-2）×180°÷10=144°
16．（8分）如图，五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A=100°，∠B=120°．
（1）求∠C的度数；
（2）直接写出五边形ABCDE的外角和．
【解析】（1）根据平行线的性质可得∠D+∠E=180°，再根据多边形内角和定理即可求解；
（2）根据多边形外角和定理可得．
解：（1）∵AE∥CD，
∴∠D+∠E=180°，
∵五边形ABCDE中，∠A=100°，∠B=120°，
∴∠C=540°-180°-100°-120°=140°．
（2）五边形ABCDE的外角和是360°．
17 .（8分）如图，已知在四边形中，，．
(1)的度数为___________；
(2)若的平分线交边于点E，且，求的度数．
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
（1）根据四边形的内角和求解即可；
（2）根据平行线的性质，求出∠BCE的度数，根据，求出∠BCD的度数，即可得出∠D的度数．
(1)
∵在四边形ABCD中，∠A=70°，∠B=140°，
∴∠BCD+∠D=
；
故答案为：150°；
(2)
，
，
，
，
平分∠BCD，
，
．
【点评】本题主要考查了四边形的内角和，角平分线的定义和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
18 .（8分）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的倍还大．
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
【答案】（1）9；（2）1080 或1260 或1440 ．
【解析】
【分析】
（1）设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于，根据内角与其相邻的外角的和是 列出方程，求出的值，再由多边形的外角和为，求出此多边形的边数为；
（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理即可求出答案．
【详解】
解：（1）设每一个外角为，则与其相邻的内角等于，
，
，即多边形的每个外角为，
∵多边形的外角和为，
∴多边形的外角个数为：，
∴这个多边形的边数为；
（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
①若剪去一角后边数减少1条，即变成边形，
内角和为，
②若剪去一角后边数不变，即变成边形，
内角和为，
③若剪去一角后边数增加1，即变成边形，
内角和为，
∴将这个多边形剪去一个角后，剩下多边形的内角和为或或 ．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
19 （8分）如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，BE、CD交于G点．
（1）如图1，若∠A＝90°，
①求证：∠EDG＝∠ABC；
②作DF平分∠ADC，如图2，求证：DF∥BG．
（2）如图3，作DF平分∠ADC，在锐角∠BAD内部作射线AN，交DF于N，若∠AND﹣∠GBC的大小为45°，试说明：AN平分∠BAD．
【分析】（1）①根据四边形内角和得出∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，根据邻补角得出∠EDG+∠ADC＝180°，根据补角的性质即可得出结论；
②根据角平分线的定义结合∠ABC+∠ADC＝180°，得出，根据∠DFC+∠4＝90°，得出∠2＝∠DFC，根据平行线的判定得出DF∥BG；
（2）延长AB、DF交于点M，求出∠DAN＝135°﹣∠2﹣∠3，∠BAN＝135°﹣∠2﹣∠3，证明∠DAN＝∠BAN，即可证明AN平分∠BAD．
【解答】证明：（1）①∵∠C＝90°，∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠EDG+∠ADC＝180°，
∴∠EDG＝∠ABC；
②∵BE平分∠ABC，
∴，
∵DF平分∠ADC，
∴，
∴，
∵∠C＝90°，
∴∠DFC+∠4＝90°，
∴∠2＝∠DFC，
∴DF∥BG；
（2）延长AB、DF交于点M，如图所示：
∵∠AND﹣∠GBC＝45°，
∴∠AND＝∠2+45°，
∴∠DAN＝180°﹣∠AND﹣∠3
＝180°﹣∠2﹣45°﹣∠3
＝135°﹣∠2﹣∠3，
∵BE平分∠ABC，
∴，
∵DF平分∠ADC，
∴，
∵∠BFM＝∠CFD＝90°﹣∠4＝90°﹣∠3，
∴∠AMN＝∠ABC﹣∠BFM＝2∠2﹣90°+∠3，
∴∠BAN＝∠AND﹣∠AMN
＝45°+∠2﹣2∠2+90°﹣∠3
＝135°﹣∠2﹣∠3，
∴∠DAN＝∠BAN，
∴AN平分∠BAD．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定，补角和余角的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线，数形结合．
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