资源简介

2.7 角的和与差
课题 角的和与差 课型 新授课
教学内容 教材第86-89页的内容
教学目标 1.理解角的和与差、角的平分线的意义及数量关系，并会用文字语言、图形语言、符号语言进行描述. 2.类比线段的大小、和与差、中点，学习角的和与差、角平分线，体会类比思想. 3.了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质.
教学重难点 教学重点：角的和与差、角平分线、余角与补角，感受类比的思想. 教学难点：探索并掌握同角(等角)的余角、补角相等的性质.
教 学 过 程 设计意图
1.创设情境，引入课题 教师：上节课我们学习了角的大小的比较方法，你能回忆一下学了哪些内容吗？从研究线段得到启发，接下来将研究什么？ 【师生活动】学生回忆，回答问题． 【问题】请同学们回忆一下，前面我们学习了线段的哪些内容？ 【师生活动】学生回顾在线段中所学内容，教师归纳． 教师关注：学生对所学线段内容的整体认识以及“几何模型——图形——文字——符号”的学习过程． 2.类比探究，学习新知 【探究1】认识角的和、差 【思考】如图，图中共有几个角？它们之间有什么关系？ 【师生活动】学生分小组讨论交流后，派学生代表回答问题． 图中共有3个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC.它们的关系是： ∠AOB=∠AOC+∠BOC； ∠AOC=∠AOB-∠COB； ∠COB=∠AOB-∠AOC. 【探究2】角平分线 在一张纸上画出一个角并剪下，将这个角对折，使其两边重合．想想看，折痕与角两边所成的两个角的大小有什么关系？ 【师生活动】学生动手操作并讨论后得到角平分线的定义. 如图1： 【总结】角平分线：如果从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成的两个角相等，那么这条射线叫作这个角的角平分线.若OB是∠AOC的平分线，则可以记作：∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC或∠AOB＝∠BOC＝________. 【探究3】余角、补角的概念 【师生活动】现在我们一起来做一下教材例题，大家尝试解答一下.学生解答，教师及时帮助解答有困难的同学，并让学生回答自己做出的答案. 例 已知求和的度数． 解：． 103°24′28″ + 30° 54″ ___________________ 133°24′82″ （82″=1′22″） 所以 ． 103°24′28″ — 30° 54″ _______________ 73°23′34″ （24′28″=23′88″） 所以 注意：遇到减法的借位问题，因为角度的进制为60进制，所以借位时，借的是60，即借1°为60′，借1′为60″，或者说“借1当60”. 【教师】同学们会进行角的和与差的计算了，现在独立解答一下下面的小题. （1）∠α=22°18′， ∠β=67°42′，∠α+∠β= ； （2）∠α=117°25′13″，∠β=62°34′47″，∠α+∠β= . 学生独立解答，老师让学生说出他们的答案，并提问最终结果有什么特点，最后老师总结. 【总结】已知∠ 1.如果∠=90 °，那么我们就称∠互为余角，简称互余．其中，∠的余角． 2.如果∠=180 °，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补．其中，∠的补角． 【探究4】余角、补角的性质 【思考】1．如果和都是的余角，那么和相等吗 试着说说理由． 2．如果和都是的补角，那么和相等吗 试着说说理由． 学生交流、讨论，得出性质： 同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等 3.学以致用，应用新知 【例1】如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝53°17′，求 ∠BOC的度数. 解：由题意可知，∠AOB是平角，∠AOB＝∠AOC＋∠BOC，所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝180°－53°17′＝126°43′. 答：∠BOC的度数为126°43′. 【例2】如图，将长方形ABCD沿EF折叠，C点落在C′处，D点落在D′处.若∠EFC＝119°，则∠BFC′为（　　） A.58° B.45° C.60° D.42° 答案：A 【例3】已知∠1+∠2＝90°，∠3+∠4＝90°，如果∠1＝∠3，那么∠2＝∠4，依据是（　　） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．等角的余角相等 D．等角的补角相等 答案：C 【例4】如图，点O在直线AB上，OD平分∠COA，OE平分∠COB. (1)∠COB＋∠AOC＝ ，∠EOD＝ ； (2)图中互余的角有 对，互补的角有 对. 答案：（1）180° 90°（2）4 5 4.随堂训练，巩固新知 1.射线OC在∠AOB内部，下列四个选项不能判定OC是∠AOB的平分线的是( ) A.∠AOB＝2∠AOC B．∠AOC＝∠AOB C.∠AOC＋∠BOC＝∠AOB D．∠AOC＝∠BOC 答案：C 2.如图，若OC平分∠AOB，∠AOB＝60°，则∠1＝30°. 3.已知∠AOB＝80°，∠AOC＝40°，则∠BOC的度数为120°或40°. 4. 若∠α＝55°，则∠α的余角是( ) A．35° B．45° C．135° D．145° 答案：A 5.若一个角的补角等于它的余角的3倍，则这个角为( ) A．75° B．60° C．45° D．30° 答案： C 6.计算： ①15°37′＋42°51′； ②90°－68°17′50″； ③5°26′×3； ④178°53′÷5. 解：①原式＝58°28′.②原式＝21°42′10″. ③原式＝16°18′.④原式＝35°46′36″. 7.如图，已知O是直线CD上的点，OA平分∠BOC，∠AOC＝35°，求∠BOD的度数. 解：因为O是直线CD上的点，OA平分∠BOC，∠AOC＝35°，所以∠BOC＝2∠AOC＝70°.所以∠BOD＝180°－∠BOC＝110°. 8.如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°. ①求出∠AOB及其补角的度数； ②请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由. 解：①∠AOB＝∠BOC＋∠AOC＝70°＋50°＝120°，其补角为180°－∠AOB＝180°－120°＝60°. ②∠DOC＝∠BOC＝35°，∠AOE＝∠COE＝∠AOC＝25°. ∠DOE与∠AOB互补. 理由：∠DOE＝∠DOC＋∠COE＝35°＋25°＝60°，∠DOE＋ ∠AOB＝60°＋120°＝180°，故∠DOE与∠AOB互补. 5.课堂小结，自我完善 1.本节课我们学习的主要内容是什么？ （1）角的和与差 （2） 角平分线 （3） 余角、补角的概念与性质 2.你还有什么疑问？ 6.布置作业 课本P189习题A组第1题，B组第4，5题. 通过回忆与本节课内容密切相关的引导性材料，使学生对学习进程心中有数，帮助学生掌握研究问题的方法. 数形结合使学生深刻理解角的和、差的意义，同时也培养学生的发散思维. 通过折纸寻找角的平分线，使学生在动手的过程中，锻炼学生的动手操作能力，同时也激发他们的兴趣. 巩固新知的同时提高学生的计算能力及分析问题、解决问题的能力. 进一步巩固新知，提高学生对所学知识的运用能力. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计 1.认识角的和与差 2.角平分线 3.余角、补角的概念与性质 提纲挈领，重点突出.
教后反思 本节课的教学内容是角的和差关系，角的平分线以及余角、补角的概念和性质．通过数形结合、折纸，使学生在动手的过程中，锻炼学生的动手操作能力，提升学生的发散思维能力，也使数学知识充满新鲜感，实现了书本知识和学生发现的一种沟通，增强学生对几何图形的敏感性． 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
2.8 平面图形的旋转
课题 平面图形的旋转 课型 新授课
教学内容 教材第90-93页的内容
教学目标 学生通过欣赏生活中的旋转变换现象，认识旋转，理解旋转的基本要素. 培养观察图形的能力，能识别旋转中心和旋转角度； 通过创设问题情境，调动学生的主观能动性，积极参与教学活动，促进学生间、师生间的合作交流意识. 通过数学活动“有趣的七巧板”培养学生的想象力.
教学重难点 教学重点：平面图形旋转的性质及其应用． 教学难点：作简单平面图形旋转后的图形．
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 我们生活在一个充满旋转的世界里，例如：正在转动的钟表时针、电风扇的叶片、汽车的雨刷，你还能举出生活中旋转的例子吗？你是否思考过以上情景中的转动现象有什么共同特征？ 2.类比探究，学习新知 【探究1】旋转的有关概念 1．观察生活中的旋转现象回答下列问题： （1）观察图1，钟表的指针是怎样从OA转到OB位置的 （2）观察图2，类比钟表指针的转动过程，请说出风车的叶片是怎样从OM转到ON位置的 2．平面图形的旋转 （1）∠AOB可以看作由射线OA绕端点O按逆时针方向旋转到OB位置所形成的．OA叫作∠AOB的始边，OB叫作∠AOB的终边． （2）线段CD可以看作由线段AB绕点O按顺时针方向转动得到的． 定义：像这样，在平面内，一个图形绕一个定点沿顺时针（或逆时针）方向转过一个角度，这样的图形运动叫作旋转．这个定点叫作旋转中心，转过的这个角叫作旋转角． 旋转的三要素：旋转中心，旋转角度，旋转方向． 注意：旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小. 【探究2】探究旋转的性质 【师生活动】教师展示下面两个探究性的问题，让学生自主解答，然后分组讨论，最后和老师一起总结. 【问题1】如图，已知A，B是射线OM上的两点，且OA=1 cm，OB=2.5 cm． （1）当OM绕点O按逆时针旋转到ON位置时，点A，B旋转到点A′，B′的位置，请画出点A′，B′． （2）OA和OA′，OB和OB′分别有怎样的数量关系 【问题2】如图，三角形AOB绕点O按顺时针方向旋转后得到三角形COD，E是线段BA上一点． （1）对应线段OB与OD，OA与OC，AB与CD分别相等吗？ （2）∠BOD与∠AOC相等吗 （3）画出点E的对应点F． （4）连接OE，OF，那么∠EOF与∠AOC相等吗 （5）若M，N为任意一对对应点，那么M，N与旋转中心O连线所成的角与∠AOC还相等吗 【归纳总结】在平面内，旋转前后的两个图形有如下的性质: 对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等，它们都等于旋转角． 【师生活动】教师展示教材P91页的例题，让学生解答.教师点评. 【例】 如图，三角形ABC绕点C按顺时针方向旋转后，顶点A的对应点为点P.试确定顶点B的对应点的位置，并画出旋转后的三角形. 答案： 步骤：（1）如图，连接CP； （2）以BC为一边作∠BCN，使∠BCN=∠ACP； （3）在射线CN上截取CM=CB； （4）连接PM. 三角形PMC就是三角形ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到的图形. 3.学以致用，应用新知 【例1】 下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是（　　） A． B． C． D． 答案：C 【例2】如图，顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（　　） A．点， B．点O， C．点， D．点O， 答案：B 【例3】按照要求作图 (1)将三角形绕点按逆时针方向旋转度． (2)将梯形绕点按顺时针方向旋转度． 解：（1）三角形即为所求． （2）梯形即为所求． 【例4】为了庆祝龙年的到来，小陈将一副七巧板拼成如图所示的“龙”的图案，则 度． 答案：135 4.随堂训练，巩固新知 1．下列事件中，属于旋转运动的是（ ） A．小明向北走了4 m B．小朋友们在荡秋千时做的运动 C．电梯从1楼到12楼 D．一物体从高空坠下 答案：B 2．下列物体的运动不是旋转的是（　　） A．坐在摩天轮里的小朋友 B．正在走动的时针 C．骑自行车的人 D．正在转动的风车叶片 答案：C 3．如图，△ABC和△DCE都是直角三角形，其中一个三角形是由 另一个三角形旋转得到的，下列叙述中错误的是（　　） A．旋转中心是C点 B．旋转角是90° C．旋转中心是B点，旋转角是∠ABC D．既可以逆时针旋转又可以顺时针旋转 答案：C 4．如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置． （1）指出它的旋转中心； （2）说出它的旋转方向和旋转角是多少度； （3）分别写出点A，B，C的对应点． 解：（1）点A. 逆时针旋转，旋转角是45°. A，E, F 5.课堂小结，自我完善 1．旋转的定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿顺时针（或逆时针）方向转过一个角度，这样的图形运动叫作旋转．这个定点叫作旋转中心，转过的这个角叫作旋转角． 2. 旋转的性质： 对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等，它们都等于旋转角． 3.你还有什么疑惑？ 6.布置作业 课本P93习题B组3-4. 通过例题讲解加深对本课时知识的理解. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计 提纲挈领，重点突出.
教后反思 本节课在观察的基础上，让学生先想象后动手操作，使得学生对平面图形的旋转有了深入认识，同时培养了学生的想象力.在教学过程中还需要多重视学生的自我思考能力，给予更多的思考时间，真正做到循循善诱. 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.

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