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3.3 数量之间的关系
课题 数量之间的关系 课型 新授课
教学内容 教材第114-117页的内容
教学目标 1.通过观察探索,发现和总结图形和代数式中所蕴含的规律. 2.通过对具体对象的观察,发现一些代数式的一般规律. 3.培养学生善于合作、勇于探索的创新精神.
教学重难点 教学重点：发现和总结一些数量之间的特殊规律. 教学难点：抽象理解代数式的数学模型,尝试解决问题的多种策略.
教 学 过 程 设计意图
1.创设情境，引入课题 观察: 1×3=22 - 1,2×4=32 - 1,3×5=42 - 1…… 请你试用一个公式表示出这些等式所反映的规律. 观察每个等式的共同特征,这些等式可以改写为: (2 - 1)(2+1)=22 - 1; (3 - 1)(3+1)=32 - 1; (4 - 1)(4+1)=42 - 1; …… 一般地,有(n - 1)(n+1)=n2 - 1. 2.类比探究，学习新知 【探究1】如图所示,这是一个由1～120的连续整数排成的“数阵”.如果用方框围住9个数,那么这9个数的和随方框位置的变化而变化. 1.设方框左上角的数为a, （1）用含a的代数式表示这9个数的和. 思考: ①方框内每行的三个数之和与中间数有什么关系 提示:三个数的和是中间数的3倍. ②怎样表示这9个数的和比较简单 提示:三行数的和依次为3(a+1),3(a+7),3(a+13),故这9个数的和为9(a+7). (2）当a为1，8，15时，分别求这9个数的和. 提示：将a的数值分别代入9(a+7)中，求得分别为72,135,198. 2．设方框正中间的数为m，S表示这9个数的和,请写出用m表示S的关系式. 思考: ①方框内9个数的和,与中间的数15有什么关系 提示:方框内9个数的和为135,是15的9倍. ②如果方框下移一行,中间的数变为21,此时方框内9个数的和是多少 提示:方框内9个数的和是189，是21的9倍. ③根据上述规律,写出用m表示S的关系式. 提示:S=9m. 3.如果将方框由左向右平行移动一列,那么9个数的和会有怎样的变化 如果方框由上向下平行移动一行,那么9个数的和又有怎样的变化 思考: ①在移动后,变化后的数字与原来的数字有什么关系 ②如果将方框由右向左平行移动一列,那么9个数的和会有怎样的变化 如果方框由下向上平行移动一行,那么9个数的和又有怎样的变化 提示:无论向哪个方向移动,9个数字之和都是有规律地变化.向左(右)平移一列,和减少(增加)1×9=9.向上(下)平移一行,和减少(增加)6×9=54. 【探究2】图(1)是由点组成的n行n列的方阵,设其总点数为P.图(2)是由每条边上n个点围成的空心方阵，设其总点数为Q. 问题探究:观察图(1)和(2)中的方阵，用含n的代数式表示它们的总点数P,Q. 【师生活动】老师引导学生逐步思考，思考n=1，2，3,4,5时，P,Q的值分别是多少，用式子怎么表示，最后用含n的代数式表示它们的总点数P,Q.让学生体会从特殊到一般的归纳过程. 答案：P=n2,Q= n2 - (n - 2)2. 【师生活动】同学们，思考一下，关于上面图（2）中总点数Q还有其他的表示方法吗？小组讨论，并发言.老师总结，并带领学生一起探究其他的方法. 【方法1】 如图,每边n个点,4个边共4n个点,减去重复计算的4个点,方阵的总点数Q=4n-4. 【方法2】 如图,将点阵分成不重叠的4组,每组有(n - 1)个点,方阵的总点数Q=4(n-1). 【方法3】 如图,将点阵分成不重叠的4组,其中两组各有n个点,另两组各有(n - 2)个点,方阵的总点数Q=2n+2(n - 2). 【归纳总结】通过观察、归纳、探索发现一般规律，然后列代数式表示这一规律. 3.学以致用，应用新知 【例1】如图所示的是某年5月的日历表,任意圈出一竖列上相邻的三个数,发现这三个数的和不可能是 (　　) 日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031
A.27 B.36 C.40 D.54 答案：C 解析: 一竖列上相邻的三个数的和是3的倍数. 【例2】按如图所示的方式,用火柴棒拼成三角形. 设三角形的个数为a，火柴棒的根数为y， (1)当a=5时,用了多少根火柴棒 (2)用含a的代数式表示y. 解:(1)11.　(2)y=2a+1. 4.随堂训练，巩固新知 1.在下列2×2的方格中找出规律,你认为x应为 (　　) 答案：B 解析:每个方格中的四个数,对角上的两数和相等,所以3+7=12+x,所以x= - 2.故选B. 2.有这样一组数：40.1，40.2，40.3，40.4，40.5，…，若第n个数为m，请用含n的代数式表示m： . 答案：m=40+ 3.用同样大小的黑色棋子按如图表示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，设第n个图形中黑色棋子的个数为S，则第3个图形中黑色棋子的个数为 ，第5个图形中黑色棋子的个数为 ，用含n的代数式表示S： ． 答案：10 16 S=3n+1 5.课堂小结，自我完善 用代数式表示数量之间的关系 探索规律 6.布置作业 课本P116习题A组第1-2题. 引导学生逐步认识“由特殊到一般”抽象过程，通过对特殊等式的对比，发现一般规律并用公式表示规律.
板书设计 数量之间的关系 1.探究1 2.探究2　 3.例题1 4.例题2 提纲挈领，重点突出.
教后反思 规律探索问题既需要充分调动学生的思维,也需要给予学生必要的指导.在引导学生进行探究的过程中,提出了相关具有引导性的问题,不但可以帮助学生摸索解决探索规律问题的方法,而且可以使学生体验到探索尝试的快乐. 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.

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