资源简介

5.4 一元一次方程的应用
第2课时 行程和工程问题
课题 行程和工程问题 课型 新授课
教学内容 教材第172-175页的内容
教学目标 1.掌握利用一元一次方程解决实际问题，根据实际问题中的等量关系列出方程，掌握行程问题、工程问题，培养分析问题、解决问题的能力． 2.经历分析行程及工程问题中的数量关系，列出方程，感悟方程是刻画现实世界的一个有效模型，训练学生运用新知识解决实际问题的能力，体会“建模”思想.
教学重难点 教学重点：根据行程问题、工程问题中各量的数量关系，找出相等关系. 教学难点：根据等量关系列出正确的一元一次方程.
教 学 过 程 设计意图
1.创设情境，引入课题 同学们，你有早上上学忘记带课本的时候吗？忘记带了怎么办呢？请看下面的小品. 学生们以小品的形式演绎了一位同学早晨忘记带作业后路上发生的一系列事，他刚出门不久，父母就发现他忘带作业，于是赶快加速赶往学校给他送作业，最终在去学校的路上追上了他. 教师活动：通过小品的形式揭示生活中蕴含着我们数学的一个常见问题——行程问题，从而引出课题及例题. 2.类比探究，学习新知 【探究1】行程问题 乙两地间的路程为375km.一辆轿车和一辆公共汽车分别从甲、乙两地同时出发沿公路相向而行.轿车的平均速度为90km/h，公共汽车的平均速度为60km/h.它们出发后多长时间相遇？ （1）找出本题中的等量关系. （2）设两车出发后x h相遇，请解释下图的含义. （3）列出方程并求解. 学生活动：仔细分析问题，根据图形，找出等量关系，列出方程并讨论. 解：（1）轿车行驶的路程+公共汽车行驶的路程=甲、乙两地间的路程. （2）线段示意甲、乙两地的路程，反向箭头示意相向而行，虚线位置示意相遇地点，90x km是轿车x h行驶的路程，60x km是公共汽车x h行驶的路程，375 km是全路程. （3）90x+60x=375. 合并同类项，得150x=375， 将系数化为1，得x=2.5. 教师活动：体会画图在解答本题中的作用，以后遇到路程、时间、速度问题你将怎么解答？请同学们结合本题展开讨论. 学生活动：进行分组讨论，与同学交流. 【探究2】工程问题 整理一批图书，由一个人做要40 h完成，现计划由一部分人先做4 h，然后增加2人与他们一起做8 h，完成这项工作． 假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 【师生活动】学生先自主探究讨论，教师可以点拨以下问题. (1)人均效率(一个人做1小时完成的工作量)为__________. (2)设先安排x人，则先做4小时完成的工作量为________． 再增加2人和前一部分人一起做8小时，完成的工作量为____________. (3)这项工作分两段完成，两段完成的工作量之和为_______. (4)完成下面表格： 人均效率人数时间工作量前一部分工作x4后一部分工作8
　 学生讨论交流，分小组展示成果，比比谁快、准．教师适当加以引导，利用人均效率、工作人数、工作时间和工作量之间的关系列出方程. 注意：教师要关注学生在确定两阶段工作量关系时是否准确，同时收集错例展示，并关注去分母解方程的过程是否正确. 解：设安排x人先做4 h．根据先后两个时段的工作量之和应等于总工作量，列出方程＋＝1. 解方程，得4x＋8(x＋2)＝40， 4x＋8x＋16＝40， 12x＝24， x＝2. 答：应安排2人先做4 h. 【师生活动】教师展示教材173页例2，让学生独立完成，训练学生的解题思路，规范学生的解题步骤，培养学生良好的做题习惯. 【例2】一项工作，小李单独做需要6h完成，小王单独做需要9h完成.如果小李先做2h后，再由两人合做，那么还需两人合做几个小时才能完成？ 分析：本题中含有如下等量关系. 小李单独做6h的工作量=小王单独做9h的工作量， 小李单独做2h的工作量+两人合做的工作量=总工作量， 工作效率×工作时间=工作量. 如果设还需两人合做x h才能完成，则有下面的分析图. 解：设还需两人合做x h才能完成.根据题意，得 解这个方程，得. 答：还需两人合做h才能完成这项工作. 2.学以致用，应用新知 【例1】《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲仍发长安，问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从长安出发，问多久后甲、乙相逢？设乙出发x日后甲、乙相逢，则可列方程为（ ） A. +=1 B. +=1 C. +=1 D. +=1 答案：D 变式训练 我国出口印尼、用于雅万高铁的高速动车组在中国中车青岛基地下线，这标志着最高运行时速350千米、中国出口国外的首列高速动车组正式诞生.已知甲、乙两地相距900千米，两列动车同时从两地相向开出，1.5小时后相遇，已知快车和慢车的速度比是 7∶5，这两列动车的速度分别是多少？ 解：设快车的速度是7x千米/时，则慢车的速度是 5x千米/时， 依题意得1.5（7x+5x）=900，解得x=50， 则7x=7×50=350，5x=5×50=250. 所以快车的速度是350千米/时，慢车的速度是250千米/时. 【例2】一条地下管线，若由甲工程队单独完成需要12天，由乙工程队单独完成需要24天，先由乙工程队铺设3天，剩下的甲、乙合作完成．还需多少天铺设完这条管道？ 解：设还需x天铺设完这条管道. 由题意，得＋＝1，解得x＝7. 答：还需7天铺设完这条管道. 4.随堂训练，巩固新知 1.汽车以72 km/h的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员摁一下喇叭，4 s后听到回声，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340 m/s，设听到回声时，汽车离山谷x m，根据题意，列出方程为（ ） A．2x＋4×20＝4×340 B．2x－4×72＝4×340 C．2x＋4×72＝4×340 D．2x－4×20＝4×340 答案：A 2.A，B两地相距900 km，一列快车以200 km/h的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以75 km/h的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距200 km的次数是（ ） A．2次 B．3次 C．4次 D．5次 答案：D 3.某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先干1天，然后甲、乙合作完成此项工程，若设甲一共做了x天，则所列方程为（ ） A. + =1 B.+=1 C.+=1 D.++=1 答案：B 4.甲、乙两人相约晨跑，乙出发时，甲跑在乙前方50米处，已知甲跑步速度为每分钟200米，乙跑步速度为每分钟220米，问当两人相距10米时，乙跑了____________米. 答案：440或660 5.某土建工程共需动用15台挖、运机械，1台机械每分钟能挖土3 m3或者运土2 m3.为了使挖土和运土工作同时结束，则安排了 台机械运土. 答案：9 6.一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行4.6 h，飞机出航时顺风飞行，在无风时的速度是575 km/h，风速为25 km/h，这架飞机最远能飞出多少千米就应返回？ 解：设飞机顺风飞行的时间为t h. 依题意，有(575＋25)t＝(575－25)(4.6－t)． 解得t＝2.2. 则(575＋25)t＝600×2.2＝1 320. 因此，这架飞机最远能飞出1 320 km就应返回． 5.小明和他的哥哥早晨起来沿长为400 m的环形跑道练习跑步．小明跑2圈用的时间和他的哥哥跑3圈用的时间相等．两人同时同地同向出发，结果经过2 min 40 s他们第一次相遇， 若他们两人同时同地反向出发，则经过几秒他们第一次相遇？ 解：设小明的速度为x m/s， 则他的哥哥的速度为x m/s， 由题意得160x＝160×(x)-400. 解得x＝5. 则小明的哥哥的速度为5×=7.5(m/s)． 设经过y s他们第一次相遇， 由题意，得(5+7.5)y＝400. 解得y＝32. 因此，经过32 s他们第一次相遇． 7.课堂小结，自我完善 （1）用一元一次方程解决实际问题的基本过程有几个步骤？分别是什么？ （2）行程问题需要注意什么问题？工程问题需要注意什么问题？ （3）学习本节课后，还存在哪些困惑？ 有的问题由于比较复杂,各个量之间的关系不是很容易被理解,这个时候,借助于简单的图形,可以使问题中的各种量直观化和明晰化,从而使问题迎刃而解. 6.布置作业 课本P174习题A组第1-3题. 采用生动活泼的小品，让学生感受生活中我们常常会遇到类似的问题，从学生熟悉的生活经历出发，激发学生的好奇心，进而轻松地引入本节所要探讨的主要问题、便于引起每位同学的兴趣. 让学生学会用线段表示出路程,学会分析路程、时间、速度问题,更主要的是通过画图直观地找出题目中的等量关系. 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏.
板书设计 行程问题、工程问题与一元一次方程 列方程解应用问题的一般步骤： 审→设→列→解→答 【例2】 提纲挈领，重点突出.
教后反思 本节课以生活中常见的一个问题展开，提高学生的兴趣，让学生们认识到数学知识与我们的实际生活息息相关．然后通过例题教学，为学生提供了探索空间，通过猜测、验证、质疑、讨论、解疑等一系列活动，充分调动学生学习的积极性．让学生在实践中获得解决问题的方法，得到学习的乐趣． 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.

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