资源简介

教案及设计说明
课题《函数的表示法（第二课时）》
教材：普通高中教科书《数学（必修第一册）》第三章第一节
【教学内容】
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第三章《函数的概念与性质》，本节课是第2课时，本节课主要学习函数的三种表示方法及其简单应用，进一步加深对函数概念的理解。
课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．
因为学生在初中阶段已经接触了函数的三种表示，所以教科书直接给出函数的三种表示法，并通过典型例题训练学生选择适当的方法表示函数，并通过例题引进分段函数、在数学概念的表示中，函数的表示是比较特别的，一是符号的抽象性，二是函数的几种表示方法对理解函数概念的促进作用(本质上都是对应关系)，三是不同表示法的特点及相互之间的联系与转化，因此，教科书在这里特别注意安排用“数学语言表达世界”的训练。
【教学目标】
在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（解析式法、图象法、列表法）表示函数；
通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单地应用.
3、 学习函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数模型解决实际问题的需要，而且是进一步理解函数
概念，深化对具体函数模型的认识的需要。同时，基于高中所涉及的函数大多数均可用几种不同的方式
表示，因而学习函数的表示也是向学生渗透数形结合思想，培养学生直观想象素养的重要过程。由实际问
题构造合理的函数模型，进行数学抽象后由条件求函数的解析式，利用函数解析式求值及分析。或根据表
格、图像等做出分析和判断；
【教学重难点】
1、教学重点：进一步掌握函数的三种表示方法，理解分段函数的概念，在实际背景下抽象出函数形式。
2、教学难点：能根据实际背景的不同需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的应用。
【教学过程】
一、复习引入、学习新知：
上节课我们学习了函数的几种表示法，对于一个具体的问题，如果涉及函数，那么应当学会选择恰当的方法表示问题中的函数关系。
二、例题探究、提升巩固：
【例7】下表3.1-4是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析.
解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况.
如果将每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图像（均为6个离散的点）表示出来，如图1，那么就能比较直观地看到每位同学成绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助.
为了更容易地看出学生的学习情况，将离散的点用虚线（虚线不是函数图像的组成部分）连接，主要是为了让三个函数的图像具有整体性，分属一人，而不混乱。如下图2。
在图2中看到，王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且比较优秀. 张诚同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且幅度较大. 赵磊同学的数学成绩低于平均水平，但是他的成绩呈曲线上升的趋势，从而表明他的数学成绩在稳步提高.
学生活动： 学生回顾函数的几种表示法，以便迁移到实际背景的学习当中。
学生思考，小组讨论、画图及作答。对比不同表示法的优劣，进一步强化学习的重点。
各小组积极参与，并派代表上台总结，在讨论过程中，不断的质疑，产生思维的火花，使学生成为课堂的主体.
设计意图：通过例7进一步比较列表法、图象法，让学生进一步理解这两种表示方法的优缺点，提高学生的观察、概括能力。根据实际需要选择恰当的方法表示函数是需要给予关注的。教学时应当引导学生观察图像，学习如何从图像上获取有用信息，为分析每位同学的学习情况提供依据。
【例8】 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应按照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）。2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为
个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数. ①
应纳税所得额的计算公式为
应纳税所得额=综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除. ②
其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元. 税率与速算扣除数见下表。
（1）设全年应纳税所得额为t,应缴纳个税税额为y，求 ，并画出图象。
（2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
解：（1） 根据上表，可得函数的解析式为
函数图象如图所示
（2）根据公式②，小王全年应缴纳所得额为
t=189600－60000－189600(8%+2%+1%+9%)－52800－4560
=0.8×189600－117360 =34320
将t的值代入③，得y=0.03×34320=1029.6
所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为1029.6元.
学生活动：由学生独立思考后，小组合作交流，并利用实物投影讲解答题过程.
设计意图：例8包含两个问题，第1个问题是将应缴纳个税税额表示为应纳税所得额的函数，这个问题可以直接由表3. 1-5得出，得到的是一个分段函数.第2个问题是-个具体的缴纳个税的计算问题，教科书中并未给出应缴纳个税和个人综合收入的函数关系，这个函数关系是在“3.4函数的应用(一)”中给出的.
教学时可以结合当地的实际情况，给出各种保险费和住房公积金占综合收人额的比例，给出不同的全年综合收人、专项附加扣除和其他扣除，让学生计算应缴纳的个税税额，以加深学生对此问题的认识.
实际操作时，可以利用信息技术帮助解决计算问题.
课堂练习：
1.下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好 请你为剩下的那个图象写出一件事.
(1) 我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学;
(2)我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间;
(3)我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.
2.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:
(1) 5km以内(含5km),票价2元;
(2)5km以上，每增加5km,票价增加1元(不足5km的按5km计算).
如果某条线路的总里程为20 km,请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
设计意图：通过练习，巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
三、小结提升：
1. 理解函数的三种表示方法；
2.在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数；
3.注意分段函数的表示方法及其图象的画法；
4.注意数形结合的使用。
设计意图：通过小结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
四、作业：习题3.1——10，18题
10.一个老师用5分制对数学作业评分，一次作业中， 第一小组同学按座位序号1,2,3,4,5,6的次序，得分依次是5,3,4,2,4,5. 你会怎样表示这次作业的得分情况 用x，y分别表示序号和对应的得分，y是x的函数吗 如果是，那么它的定义域、值域和对应关系各是什么
18.在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率π小数点后第n位上的数字为y，那么你认为y是n的函数吗 如果是，请写出函数的定义域、值域与对应关系;如果不是，请说明理由.
设计意图：通过作业中对于难以用解析式表达的函数，教学中要注意利用这些问题加深学生对函数、函数的对应关系以及函数的表示法的认识。
【目标检测题】
一、单选题
1．某种图书，如果以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本，若单价每提高0.1元，销售量将减少2000本，如果提价后的单价为元，下列各式中表示销售总收入不低于20万元的是（ )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用每本提高钱数乘以实际售出为总收入列不等式即可
【详解】
提价后的价格为元，则提高了元，则销售减少了本，即减少了万本，实际售出万本，则总收入为，
故选C
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用问题，准确分析题意是关键，是基础题
2．2011年12月,某人的工资纳税额是元，若不考虑其他因素,则他该月工资收入为( )
级数 全月应纳税所得额 税率(%)
1 不超过元 3
2 元 10
注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去(起征点)后的余额.
A．7000元 B．7500元 C．6600元 D．5950元
【答案】A
【解析】
【分析】
设此人的工资为元，则根据题设条件可得纳税额与的关系，再令，则可得此人的工资收入.
【详解】
设此人的工资为元，纳税额为，则有，
当时，，故当（元）时，，
令，
则（元），故选A.
【点睛】
本题考查分段函数的应用，属于基础题.
二、填空题
3．2019年“平安夜”前后，某水果超市从12月15日至1月5日（共计22天，12月15日为第1天，12月16日为第2天，…，1月5日为第22天），某种苹果的销售量y千克随时间第x天变化的函数图象如图所示，则该超市在12月20日卖出了这种苹果_____千克.
【答案】21.
【解析】
【分析】
计算得到直线方程为，当时计算得到答案.
【详解】
当时，设直线方程为，
将点，代入直线解得 ，故
当时，
故答案为：
【点睛】
本题考查了根据图像求解析式，意在考查学生的应用能力.
4．某停车场规定：停车第一个小时6元，以后每个小时4元；超过5个小时，每个小时5元；不足一小时按一小时计算，一天内60元封顶.小林与小曾在该停车场当天分别停车4.5小时，13小时，则他们两人在该停车场共需交停车费________元.
【答案】82
【解析】
【分析】
根据条件，结合分段函数的收费标准进行求解即可．
【详解】
小林停车4.5小时，按5小时计算，第一小时是6元，其他4小时，每小时4元，停车费为6+4×4＝22元，
小曾停车13小时，第一小时是6元，其他4小时，每小时4元，超过5小时的时间为8小时，此时每小时收费5元，
停车费为6+4×4+5×8＝62元，由于一天内60元封顶，故小曾只需要交60元，两人合计22+60＝82元，
故答案为82
【点睛】
本题考查函数的应用问题，结合分段函数解析式进行计算计算是解决本题的关键．涉及函数值的计算，属于基础题．
三、解答题
5．某城市出租车，乘客上车后，行驶3km内（包括3km）收费都是10元，之后每行驶收费2元，超过15km，每行驶1km收费为3元．
（1）写出付费总数与行驶路程收费之间的函数关系式；
（2）乘客甲需要乘坐出租车与在15km处等候的乘客乙共同到达20km处的目的地，当出租车行驶了15km后，乘客甲和乙有两种选择：两人一起换乘一辆出租车或者继续乘坐这辆出租车行驶完余下的5km路程，请给出你对甲和乙的选择建议，并说明理由．
【答案】（1）；（2）两人一起换乘一辆出租车更划算．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题可知，分三段、和，写出与的函数关系即可；
（2）根据（1）中的函数关系，分别求出两人一起换乘一辆出租车和两人继续乘坐这辆出租车的付费总数，比较大小后，选择较小者即可．
【详解】
解：（1）当时，；
当时，；
当时，
综上所述，
（2）若两人一起换乘一辆出租车，则元，
若两人继续乘这辆出租车，则，
故两人一起换乘一辆出租车更划算．
【点睛】
此题考查函数的实际应用，考查逻辑推理能力和计算能力，属于基础题
6．在经济学中，函数的边际函数定义为．
某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产台的收益函数为 （单位：万元），成本函数（单位：万元），该公司每月最多生产台该医疗器材．（利润函数=收益函数－成本函数）
（1）求利润函数及边际利润函数；
（2）求为何值时利润函数取得最大值，并解释边际利润函数的实际意义．
【答案】（1）；；
（2）或；反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少.
【解析】
【分析】
（1）根据利润公式得到，根据边际函数定义得到；
（2）根据二次函数的对称性求出的值.
【详解】
（1）由题意知：且，
，
.
（2），
由，得，此时随增大而增大，
由得，此时随增大而减小，
或时，取得最大值.
反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少.
【点睛】
本题考查二次函数性质的应用，考查函数与方程思想、数形结合思想的应用，考查阅读理解能力和运算求解能力.
答 疑
一、重难点：
1、重点：（1）进一步掌握函数的三种表示方法；（2）理解分段函数的概念；
（3）在实际背景下抽象出函数形式，并运用函数的知识解决实际问题。
2、难点：（1）充分理解好实际背景的题意，并能根据实际背景的不同需要，选择恰当的方法表示函数；
（2）分段函数的理解与应用。
【例题1】
年初我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务．经过数据分析得到某山区贫困户年总收入与各项投入之间的关系是：贫困户年总收入y（元）=1200+年扶贫资金（元）+年自投资金（元）自投劳力（个）．若一个贫困户家中只有两个劳力，年自投资金元，以后每年的自投资金均比上一年增长，年获得的扶贫资金为元，以后每年获得的扶贫资金均比上一年减少元，则该贫困户在年的年总收入约为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【详解】
由题意，年的自投资金为（元），
年的扶贫资金为（元），
所以该贫困户年的年总收入约为（元）．
故选：B.
【例题2】
我们要检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如图所示(已隐去数据)，其部分数据如表：
小数记录 0.1 0.12 0.15 0.2 … ？ … 1.0 1.2 1.5 2.0
五分记录 4.0 4.1 4.2 4.3 … 4.7 … 5.0 5.1 5.2 5.3
现有如下函数模型：①，②，表示小数记录数据，
表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，
医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为（ ）(附：)
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8
【答案】B
【详解】
由数据可知，当时，，两个都符合，
但当时，由，得，与表中的数据符合，
而，与表中的数据不符合，
所以选择模型更合适，此时令，则，
所以.
故选：B.
二、思想方法：
函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念。特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法。因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用，本节课注重数形结合思想的渗透与培养。另外，教科书通过典型例题引进分段函数，注重对学生分类讨论思想的渗透与培养。
【例题3】
王叔叔从家门口步行20分钟到离家900米的书店，停留10分钟后，用15分钟返回家里，图中能表示王叔叔离家的时间与距离之间的关系的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由题意0-20分钟，步行到离家900米的书店，离家路程增加到900米，
20-30分钟停留，离家路程不变，
30-45分钟返回家，离家路程减少为0米。
故选：D.
【例题4】
已知某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天的旅游人数（万人）近似地满足，而人均消费（元）近似地满足．则求该城市旅游日收益的最小值是（ ）
A．480 B．120 C．441 D．141
【答案】C
【详解】
记旅游日收益为，
当时，,，
所以，所以
所以，取等号时；
当时，，，
所以，显然在上单调递减，
所以，
由上可知：旅游日收益的最小值为万元，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题属于分段函数的实际应用问题，解答本题的关键在于对的合理分类，并通过函数的单调性以及基本不等式等方法完成函数最值的分析；解答函数的实际应用问题时，一定要注意分析定义域.
三、核心素养：
在数学概念的表示中，函数的表示是比较特别的，一是符号的抽象性，二是函数的几种表示方法对理解函数概念的促进作用(本质上都是对应关系)，三是不同表示法的特点及相互之间的联系与转化，因此，教科书在这里特别注意安排用“数学语言表达世界”的训练。 基于高中所涉及的函数大多数均可用几种不同的方式表示，是培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等素养的重要过程。
【例题5】
某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为（不超过按起步价付费）；超过但不超过时，超过部分按每千米2.15元收费；超过时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元，下列结论正确的是（ ）
A．出租车行驶，乘客需付费8元
B．出租车行驶，乘客需付费9.6元
C．出租车行驶，乘客需付费25.45元
D．某人两次乘出租车均行驶的费用之和超过他乘出租车行驶一次的费用
【答案】CD
【详解】
对于A：出租车行驶，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，故A错误；
对于B：出租车行驶，乘客需付费8+2.15+1=11.15元，故B错误；
对于C：出租车行驶，乘客需付费元，故C正确；
对于D：某人两次乘出租车均行驶的费用之和为元，
一次行驶的费用为25.45元，，故D正确.
故选：CD
【例题6】
为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒.教室内每立方米空气中的含药量y(单位：：随时间x(单位：：的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为(a为常数：，则含药量y随时间x变化的函数表达式为___________；经过___________小时以后教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.125以下.
【答案】 ， 1.2
【详解】
一次函数过点，，故，一次函数解析式为
过点，故，故
故含药量y随时间x变化的函数表达式为
若，则，则
故经过1.2小时以后教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.125以下.
故答案为：；1.2
4、易错点：
（1）由实际问题抽象成数学模型的过程中，题意理解困难或不到位；
（2）运用函数概念与知识，解决实际问题存在困难；
（3）分段函数的理解与应用不到位。
【例题7】
某电影票单价30元，相关优惠政策如下：①团购10张票，享受9折优惠：②团购30张票，享受8折优惠；③购票总额每满500元减80元．每张电影票只能享受一种优惠政策，现需要购买48张电影票，合理设计购票方案，费用最少为（ ）
A．1180元 B．1230元 C．1250元 D．1152元
【答案】A
【详解】
由第③种方案可知，，，，
，则第③种方案约为84折，所以先以第②种方案购票张：
(元)，再以第③种方案购买余下的张：(元)，
所以共需要(元).
故选：A.
【例题8】
Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数.当时，标志着己初步遏制疫情，则约为（ ）
A．59 B．61 C．63 D．65
【答案】C
【详解】
由题意，，
．
故选：C．
【例题9】
在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长，当基本传染数持续低于时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为，个感染者在每个传染期会接触到个新人，这个人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么个感染者新的传染人数为．已知新冠病毒在某地的基本传染数，为了使个感染者新的传染人数不超过，该地疫苗的接种率至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题意可得，解得，因此，该地疫苗的接种率至少为.
故选：D.
【例题10】
个人所得税是指以个人所得为征税对象，并由获取所得的个人缴纳的一种税，我国现行的个人所得税政策主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点五险一金(个人缴纳部分)累计专项附加扣除；专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用，每月扣除2000元，②子女教育费用，每个子女每月扣除1000元，个税政策的税率表部分内容如下：
级数 全月应纳税所得额 税率%
1 不超过3000元的部分 3%
2 超过3000元至12000的部分 10%
3 超过12000元至25000的部分 20%
现王某每月收入为30000元，每月缴纳五险一金(个人缴纳部分)6000元，有一个在读高一的独生女儿，还需独自赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，则他每月应缴纳的个税金额为________.
【答案】1790元
【详解】
因为王某每月缴纳五险一金(个人缴纳部分)6000元，有一个在读高一的独生女儿，还需独自赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，所以他每月应缴纳税所得额为：
，
所以他每月应缴纳的个税金额为：
.
故答案为：1790元
【例题11】
央视前著名主持人崔永元曾自曝，自小不爱数学，成年后还做过数学噩梦，心狂跳不止：梦见数学考试了，水池有个进水管，5小时可注满，池底有一个出水管，8小时可放完满池水.若同时打开进水管和出水管，多少小时可注满空池？“这题也太变态了，你到底想放水还是注水？”崔主持质疑这类问题的合理性.其实这类放水注水问题只是个数学模型，用来刻画“增加量-消耗量=改变量”，这类数量关系可以用于处理现实生活中的大量问题.例如，某仓库从某时刻开始4小时内只进货不出货，在随后的8小时内同时进出货，接着按此进出货速度，不进货，直到把仓库中的货出完.假设每小时进 出货量是常数，仓库中的货物量(吨)与时间(时)之间的部分关系如图，那么从不进货起__________小时后该仓库内的货恰好运完.
【答案】8
【详解】
由图象可知，在到小时进货吨，故进货速度是每小时吨，
所以出货速度为每小时吨，
从不进货起，需要小时将该仓库内的货恰好运完.
故答案为：8
【点睛】
关键点点睛：根据图象计算出进货速度与出货速度是解题关键.
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