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4　探索三角形相似的条件
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索三边成比例两三角形相似的定理 模型观念、推理能力
2.掌握并应用三边成比例两三角形相似的定理及黄金分割 运算能力、应用意识、抽象能力、模型观念
基础主干落实
重点典例研析
素养当堂测评
基础主干落实
新知要点
1.三角形相似的判定方法3
文字 语言 条件 两个三角形中,三边________
结论 这两个三角形______
图形 语言
符号 语言
∴ △ABC ∽△A'B'C'
成比例
相似
对点小练
1.(1)下列说法中,不正确的是 ( )
A.两角对应相等的两个三角形相似
B.两边对应成比例的两个三角形相似
C.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
D.三边对应成比例的两个三角形相似
(2)在△ABC中,AB=4,BC=5,AC=6.若在△DEF中,DE=10,DF=12,则当EF=_____　
时,△ABC与△DEF相似.
B
　8
新知要点
2.黄金分割
(1)定义:一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果AC∶AB=____∶____,那么称线段AB被点C黄金分割.
(2)黄金比:长线段的长度与________的长度的比.
(3)黄金比:_______≈0.618.
BC
AC
原线段
对点小练
2.已知AB=2,点P是线段AB上的黄金分割点,且AP>BP,则AP的长为 ( )
A.　　　　　　 B.-1
C. D.3-
B
重点典例研析
【重点1】利用三边成比例判定两三角形相似(模型观念、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P94例3拓展)如图,点B,D,E在一条直线上,BE与AC相交于点F,==.
(1)求证:∠BAD=∠CAE;
【自主解答】(1)∵==,
∴△ABC∽△ADE,∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF,即∠BAD=∠CAE;
【典例1】(教材再开发·P94例3拓展)如图,点B,D,E在一条直线上,BE与AC相交于点F,==.
(2)若∠BAD=21°,求∠EBC的度数.
【自主解答】(2)∵△ABC∽△ADE,∴∠ABC=∠ADE.
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD,
∴∠EBC=∠BAD=21°.
【举一反三】
1.(2024·铜仁期末)如图,在正方形网格上,与△ABC相似的三角形是 ( )
A.△AFD
B.△FED
C.△AED
D.不能确定
A
2.已知,在△ABC中,三条边的长分别为2,3,4,△A'B'C'的两边长分别为1,1.5,要使△ABC∽△A'B'C',那么△A'B'C'中的第三边长应该是( )
A.2　 B.2.2　
C.4　 D.5
A
【重点2】黄金分割的应用(模型观念、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P96想一想拓展)如果一个矩形的宽与长的比值为,则称这个矩形为黄金矩形.如图,将矩形ABCD剪掉一个正方形ADFE后,剩余的矩形BCFE(BC>BE)是黄金矩形,则原矩形ABCD是否为黄金矩形 请说明理由.
【自主解答】原矩形ABCD是黄金矩形.
理由如下:设矩形BCFE的长BC为x,
∵四边形BCFE为黄金矩形,∴宽FC为x.
∵四边形AEFD是正方形,∴AB=x+x=x,则==,
∴原矩形ABCD是黄金矩形.
【举一反三】
(2024·贵阳期末)大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”.如图,P为AB的黄金分割点(AP>PB),如果AP的长度为7 cm,那么AB的长度是　_______ cm.(结果精确到0.1 cm)
11.3　
(10分钟·20分)
1.(5分·模型观念、运算能力)下列条件中,能判定△ABC与△DEF相似的有( )
①∠A=45°,AB=12,AC=15,∠D=45°,DE=16,DF=40;
②AB=12,BC=15,AC=24,DE=20,EF=25,DF=40;
③∠A=47°,AB=15,AC=20,∠E=47°,DE=28,EF=21.
A.0个　 B.1个　 C.2个　 D.3个
素养当堂测评
C
2.(5分·模型观念、运算能力)已知△ABC的三边长分别是2,5,6,△DEF的三边长如以下四个选项所列,若要使△ABC∽△DEF,则△DEF的三边长分别是 ( )
A.3,6,7　 B.18,6,15
C.3,8,9　 D.10,12,8
B
3.(10分·模型观念、推理能力)(2024·遵义质检)如图,△ABC与△DEF在6×6的正方形网格中,它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置,试判断△ABC与△DEF是否相似,并说明理由.
【解析】相似,理由如下:根据题意得,AB=2,DE=1,
AC==2,
DF==,
BC==4,
EF==2.
∵=2,==2,==2,
∴===2,
∴△ABC∽△DEF.
本课结束4　探索三角形相似的条件
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索三边成比例两三角形相似的定理 模型观念、推理能力
2.掌握并应用三边成比例两三角形相似的定理及黄金分割 运算能力、应用意识、抽象能力、模型观念
基础主干落实　
新知要点 对点小练
1.三角形相似的判定方法3 文字 语言条件两个三角形中,三边成比例结论这两个三角形相似图形 语言符号 语言 ∴ △ABC ∽△A'B'C'
1.(1)下列说法中,不正确的是 (B) A.两角对应相等的两个三角形相似 B.两边对应成比例的两个三角形相似 C.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 D.三边对应成比例的两个三角形相似 (2)在△ABC中,AB=4,BC=5,AC=6.若在△DEF中,DE=10,DF=12,则当EF=　8　时,△ABC与△DEF相似.
2.黄金分割 (1)定义:一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果AC∶AB=BC∶AC,那么称线段AB被点C黄金分割. (2)黄金比:长线段的长度与原线段的长度的比. (3)黄金比:≈0.618. 2.已知AB=2,点P是线段AB上的黄金分割点,且AP>BP,则AP的长为 (B) A.　　　　　　B.-1 C. D.3-
重点典例研析　　
【重点1】利用三边成比例判定两三角形相似(模型观念、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P94例3拓展)如图,
点B,D,E在一条直线上,BE与AC相交于点F,==.
(1)求证:∠BAD=∠CAE;
(2)若∠BAD=21°,求∠EBC的度数.
【自主解答】(1)∵==,
∴△ABC∽△ADE,∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF,即∠BAD=∠CAE;
(2)∵△ABC∽△ADE,∴∠ABC=∠ADE.
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD,
∴∠EBC=∠BAD=21°.
【举一反三】
1.(2024·铜仁期末)如图,在正方形网格上,与△ABC相似的三角形是 (A)
A.△AFD
B.△FED
C.△AED
D.不能确定
2.已知,在△ABC中,三条边的长分别为2,3,4,△A'B'C'的两边长分别为1,1.5,要使△ABC∽△A'B'C',那么△A'B'C'中的第三边长应该是(A)
A.2　 B.2.2　 C.4　 D.5
【重点2】黄金分割的应用(模型观念、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P96想一想拓展)如果一个矩形的宽与长的比值为,则称这个矩形为黄金矩形.如图,将矩形ABCD剪掉一个正方形ADFE后,剩余的矩形BCFE(BC>BE)是黄金矩形,则原矩形ABCD是否为黄金矩形 请说明理由.
【自主解答】原矩形ABCD是黄金矩形.
理由如下:设矩形BCFE的长BC为x,
∵四边形BCFE为黄金矩形,
∴宽FC为x.
∵四边形AEFD是正方形,∴AB=x+x=x,则==,
∴原矩形ABCD是黄金矩形.
【举一反三】
(2024·贵阳期末)大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”.如图,P为AB的黄金分割点(AP>PB),如果AP的长度为7 cm,那么AB的长度是　11.3　 cm.(结果精确到0.1 cm)
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(5分·模型观念、运算能力)下列条件中,能判定△ABC与△DEF相似的有 (C)
①∠A=45°,AB=12,AC=15,∠D=45°,DE=16,DF=40;
②AB=12,BC=15,AC=24,DE=20,EF=25,DF=40;
③∠A=47°,AB=15,AC=20,∠E=47°,DE=28,EF=21.
A.0个　 B.1个　 C.2个　 D.3个
2.(5分·模型观念、运算能力)已知△ABC的三边长分别是2,5,6,△DEF的三边长如以下四个选项所列,若要使△ABC∽△DEF,则△DEF的三边长分别是 (B)
A.3,6,7　 B.18,6,15
C.3,8,9　 D.10,12,8
3.(10分·模型观念、推理能力)(2024·遵义质检)如图,△ABC与△DEF在6×6的正方形网格中,它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置,试判断△ABC与△DEF是否相似,并说明理由.
【解析】相似,理由如下:根据题意得,AB=2,DE=1,
AC==2,
DF==,
BC==4,
EF==2.
∵=2,==2,==2,
∴===2,
∴△ABC∽△DEF.
训练升级,请使用　“课时过程性评价 二十四”

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