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7　相似三角形的性质
课时学习目标 素养目标达成
1.探索相似三角形的性质 几何直观、抽象能力
2.应用相似三角形的性质解决实际问题 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实
重点典例研析
素养当堂测评
基础主干落实
新知要点
相似三角形的性质定理
定理1 相似比=对应____的比
=对应__________的比
=对应______的比
定理2 周长比=相似比;
面积比=相似比的_____
高
角平分线
中线
平方
对点小练
1.若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则对应高的比为 ( )
A.3∶2 B.3∶5 C.9∶4 D.4∶9
2.如果两个相似三角形的相似比为4∶9,那么它们的对应角平分线的比为　
________,对应中线的比为__________,对应高的比为__________,对应周长的比为　
________,对应面积的比为____________.
A
4∶9　
　4∶9　
　4∶9　
4∶9　
　16∶81　
重点典例研析
【重点1】利用相似三角形的性质解决线段问题(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P107例1拓展)(2024·六盘水质检)如图,矩形EFGH内接于△ABC,且边FG在BC上.若BC=3,AD=2,EF=EH,AD⊥BC,求EH的长.
【自主解答】∵四边形EFGH是矩形,
∴EH∥BC,∴∠AEH=∠B,∠AHE=∠C,∴△AEH∽△ABC.
∵AM⊥EH,AD⊥BC,∴=.
设EH=3x,则EF=2x,AM=AD-EF=2-2x,∴=,
解得x=,则EH=3x=.
【举一反三】
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,有一内接正方形DEFC,连接AF交DE于G,若AC=15,BC=10.
(1)求正方形DEFC的边长;
【解析】(1)∵四边形DEFC是正方形,∴DE=DC,DE∥BC,
∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B,∴△ADE∽△ACB,∴=.
设正方形DEFC的边长为x,则DE=DC=x,AD=AC-x=15-x,
∴=,解得x=6,
∴正方形DEFC的边长为6.
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,有一内接正方形DEFC,连接AF交DE于G,若AC=15,BC=10.
(2)求EG的长.
【解析】(2)∵四边形DEFC是正方形,且边长为6,
∴EF=6,EF∥AD,
∴∠GEF=∠GDA,∠EFG=∠DAG,∴△EGF∽△DGA,
∴=.
设EG=y,则DG=6-y.∵AD=AC-DC=15-6=9,∴=,解得y=,∴EG=.
【重点2】利用相似三角形的性质求周长与面积(模型观念、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P110例2拓展)如图所示,在平行四边形ABCD中,E是CD延长线上的一点,DE=CD,连接BE,与AC,AD分别交于点O,F.若△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.
【自主解答】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥DC,AD∥BC,
∵DE=CD,∴==,∵AB∥DC,∴∠ABF=∠DEF,
又∵∠AFB=∠DFE,∴△DEF∽△ABF,∴==,
又∵S△DEF=2,∴S△ABF=8;∵AD∥BC,∴△DEF∽△CEB,∴===,
∴S△CBE=9×2=18,∴S四边形BCDF=S△CBE-S△DEF=18-2=16,
∴平行四边形ABCD的面积为S△ABF+S四边形BCDF=8+16=24.
【举一反三】
1.(2023·遵义一模)如图,在△ABC中,D是AB边上的点,∠B=∠ACD,AC∶AB=1∶,
则△ADC与△ABC的面积比是( )
A.1∶ B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
B
2.(2024·贵阳质检)若两个相似三角形的对应高的比为3∶5,则它们对应周长的比为( )
A.3∶5 B.9∶25
C.1∶3 D.1∶5
A
【技法点拨】
计算三角形面积比的三种方法
1.三角形面积公式.根据两三角形同高,则面积比等于对应底的比.
2.利用相似三角形面积比等于相似比的平方.先计算相似比,然后求面积比.
3.利用面积的和差.
(10分钟·16分)
1.(4分·模型观念、运算能力)(2023·重庆中考B卷)如图,已知△ABC∽△EDC,
AC∶EC=2∶3,若AB的长度为6,则DE的长度为( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.4 B.9 C.12 D.13.5
素养当堂测评
B
2.(4分·模型观念、运算能力)在△ABC中,AB=48 cm,BC=40 cm,CA=36 cm,一个和
它相似的三角形的最短边是12 cm,那么该三角形最长边是 ( )
A.48 cm B.16 cm C.36 cm D.144 cm
3.(4分·模型观念、运算能力)如图,把一张三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后,在
平面上将△ADE绕着点E顺时针旋转180°.点D到点F的位置,则S△ADE∶S BCFD=　
________.
B
1∶4　
4.(4分·模型观念、运算能力)如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,点D在BC的延长线上,AD=12,且△ACD∽△BAD,求BD的长.
【解析】∵△ACD∽△BAD,∴=.∵AB=8,AC=6,AD=12,∴=,解得BD=16.
本课结束7　相似三角形的性质
课时学习目标 素养目标达成
1.探索相似三角形的性质 几何直观、抽象能力
2.应用相似三角形的性质解决实际问题 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实　
新知要点 对点小练
相似三角形的性质定理定理1相似比=对应高的比 =对应角平分线的比 =对应中线的比定理2周长比=相似比; 面积比=相似比的平方
1.若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则对应高的比为 (A) A.3∶2 B.3∶5 C.9∶4 D.4∶9 2.如果两个相似三角形的相似比为4∶9,那么它们的对应角平分线的比为　4∶9　,对应中线的比为　4∶9　,对应高的比为　4∶9　,对应周长的比为　4∶9　,对应面积的比为　16∶81　.
重点典例研析　　
【重点1】利用相似三角形的性质解决线段问题(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P107例1拓展)(2024·六盘水质检)如图,矩形EFGH内接于△ABC,且边FG在BC上.若BC=3,AD=2,EF=EH,AD⊥BC,求EH的长.
【自主解答】∵四边形EFGH是矩形,
∴EH∥BC,∴∠AEH=∠B,∠AHE=∠C,∴△AEH∽△ABC.
∵AM⊥EH,AD⊥BC,∴=.
设EH=3x,则EF=2x,AM=AD-EF=2-2x,∴=,
解得x=,则EH=3x=.
【举一反三】
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,有一内接正方形DEFC,连接AF交DE于G,若AC=15,BC=10.
(1)求正方形DEFC的边长;
(2)求EG的长.
【解析】(1)∵四边形DEFC是正方形,∴DE=DC,DE∥BC,
∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B,∴△ADE∽△ACB,∴=.
设正方形DEFC的边长为x,则DE=DC=x,AD=AC-x=15-x,∴=,解得x=6,
∴正方形DEFC的边长为6.
(2)∵四边形DEFC是正方形,且边长为6,∴EF=6,EF∥AD,
∴∠GEF=∠GDA,∠EFG=∠DAG,∴△EGF∽△DGA,∴=.
设EG=y,则DG=6-y.∵AD=AC-DC=15-6=9,∴=,解得y=,∴EG=.
【重点2】利用相似三角形的性质求周长与面积(模型观念、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P110例2拓展)如图所示,在平行四边形ABCD中,E是CD延长线上的一点,DE=CD,连接BE,与AC,AD分别交于点O,F.若△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.
【自主解答】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥DC,AD∥BC,
∵DE=CD,∴==,∵AB∥DC,∴∠ABF=∠DEF,
又∵∠AFB=∠DFE,∴△DEF∽△ABF,∴==,
又∵S△DEF=2,∴S△ABF=8;∵AD∥BC,∴△DEF∽△CEB,∴===,
∴S△CBE=9×2=18,∴S四边形BCDF=S△CBE-S△DEF=18-2=16,
∴平行四边形ABCD的面积为S△ABF+S四边形BCDF=8+16=24.
【举一反三】
1.(2023·遵义一模)如图,在△ABC中,D是AB边上的点,∠B=∠ACD,AC∶AB=1∶,则△ADC与△ABC的面积比是 (B)
A.1∶ B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
2.(2024·贵阳质检)若两个相似三角形的对应高的比为3∶5,则它们对应周长的比为(A)
A.3∶5 B.9∶25 C.1∶3 D.1∶5
【技法点拨】
计算三角形面积比的三种方法
1.三角形面积公式.根据两三角形同高,则面积比等于对应底的比.
2.利用相似三角形面积比等于相似比的平方.先计算相似比,然后求面积比.
3.利用面积的和差.
素养当堂测评　　(10分钟·16分)
1.(4分·模型观念、运算能力)(2023·重庆中考B卷)如图,已知△ABC∽△EDC,AC∶EC=2∶3,若AB的长度为6,则DE的长度为(B)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.4 B.9 C.12 D.13.5
2.(4分·模型观念、运算能力)在△ABC中,AB=48 cm,BC=40 cm,CA=36 cm,一个和它相似的三角形的最短边是12 cm,那么该三角形最长边是 (B)
A.48 cm B.16 cm C.36 cm D.144 cm
3.(4分·模型观念、运算能力)如图,把一张三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后,在平面上将△ADE绕着点E顺时针旋转180°.点D到点F的位置,则S△ADE∶S BCFD=　1∶4　.
4.(4分·模型观念、运算能力)如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,点D在BC的延长线上,AD=12,且△ACD∽△BAD,求BD的长.
【解析】∵△ACD∽△BAD,∴=.∵AB=8,AC=6,AD=12,∴=,解得BD=16.
训练升级,请使用　“课时过程性评价 二十七”

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