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第一章 有理数
2.3.1.1 乘方
1.理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义。
2.能够正确进行有理数的乘方运算。
1．有理数的乘法法则：
两数相乘，同号得____，异号得____，且积的___________等于乘数的____________．任何数与0相乘，都得___．
2．乘法交换律：_______．
3．乘法结合律：____________．
4．分配律：________________．
ab＝ba
(ab)c＝a(bc)
a(b＋c)＝ab＋ac
正
负
绝对值的积
0
绝对值
5．乘除混合运算往往先_________________，然后_________ ________，最后___________．
6．有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则与小学所学的混合运算一样，按照____________________的顺序进行．
将除法化为乘法
确定积
求出结果
“先乘除，后加减”
的符号
　　问题：你能计算下列图形中正方形的面积和立方体的体积吗？
边长为2的正方形的面积是2×2＝4；
棱长为2的立方体的体积是2×2×2＝8．
2×2
都是相同因数的乘法，有没有简写形式呢？
2×2×2
记作： 2
记作： 2
读作：2的平方或2的二次方
读作：2的立方或2的三次方
观察：下面的乘法算式有什么共同点呢？
(－2)×(－2)×(－2)×(－2)
读作：－2的四次方
记作：(－2)4
记作：
读作：的五次方
一般地，n个相同的因数a相乘， ，记作an，读作a的n次方.
求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.
幂
指数
底数
注意： 当an看作a的n次方的结果时，也可读作：
a的n次幂
一个数可以看作这个数本身的1次方．例如，5就是51．指数1通常省略不写．
例如，在94中，底数是9，指数是4，94读作“9的4次方”，或“9的4次幂”．
幂
指数
底数
（1）(－a)n表示n个－a相乘，底数是－a，指数是n，读作“－a的n次方”．
（2）－an表示n个a相乘的乘积的相反数，底数是a，指数是n，读作“a的n次方的相反数”．
你能区分(－a)n与－an吗？
因为an就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算．
例1：用乘方表示下列各式，并指出底数和指数．
（1）(－3)×(－3)×(－3)×(－3)； （2）
解：（1）(－3)×(－3)×(－3)×(－3)＝(－3)4，
底数是－3，指数是4．
（2）
底数是，指数是6．
当底数是负数或分数时，底数要加括号．
看因数，找底数，定指数．
要找底数和指数就要先去找“相同的因数”，相同的因数是哪个数，底数就是哪个数；有几个相同的因数，指数就是几．
例2：计算 (1) (－4)3； (2) (－2)4； (3)
(2) (－2)4 =(－2)×(－2)×(－2)×(－2)=16；
解：(1) (－4)3 =(－4)×(－4)×(－4)=－64；
分析：乘方运算转化为乘法运算.
(3) (－)3 =(－)×(－)×(－)=－
探究：请再举一些计算乘方的例子，结合例1，你发现负数的幂的正负与指数有什么关系？
当指数是_____数时，负数的幂是_____数；
当指数是_____数时，负数的幂是_____数．
奇
偶
正
负
根据有理数的乘法法则可以得出：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
显然，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．
乘方运算的两种方法：
（1）将乘方转化成乘法，再根据乘法法则计算；
（2）先根据乘方运算的符号法则判断幂的符号，再计算幂的绝对值．
例3：用计算器计算(－8)5和(－3)6．
解：用带符号键 的计算器，有
显示结果为
-32768;
显示结果为
729.
因此，(-8)5=-32768，(-3)5=729.
【知识技能类作业】必做题：
1．下列可以表示的是（ ）
A． B．
C． D．
D
【知识技能类作业】必做题：
2．下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
C
【知识技能类作业】必做题：
3．计算：
(1)；(2)；(3)；(4).
解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式；
【知识技能类作业】选做题：
4.下列各组数中，相等的一组是（　　）
A．与 B．与
C．与 D．与
D
【综合拓展类作业】
5.已知n为正整数，计算的结果是（ ）
A．1 B． C．2 D．0
解：n为正整数，
为偶数，为奇数，
D
有理数的乘方
乘方运算
乘方及相关概念
(－a)n 与－an的区别
乘方运算符号法则
乘方运算的方法
文字与符号语言
乘方的表示
【知识技能类作业】必做题：
1．以下四个数：﹣22、（﹣3）3、﹣（+5）．（﹣）2其中正数有 个．
解：，，，，
所以四个数中正数有1个．
1
【知识技能类作业】必做题：
2．下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
B
【知识技能类作业】必做题：
3．计算：
(1)；(2)；(3)；(4)．
解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式
【知识技能类作业】选做题：
4.下列计算：
①；②；③；
④；⑤．
其中正确的是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
B
【综合拓展类作业】
5.火眼金睛（寻找错误并纠正）
计算：．
解：没有正确分清底数，导致出错．
【正解】．

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分课时教学设计
第九课时《2.3.1.1 乘方》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 有理数的乘方是是有理数的一种基本运算，是在学生学习了有理数的加、减、乘、除运算的基础上来学习的，它既是有理数乘法的推广和延续，又是后继学习有理数的混合运算、科学记数法和开方的基础，起到承前启后的作用。
学习者分析 学生刚学完有理数的加、减、乘、除运算，对许多概念、法则的理解不一定很深刻，容易造成知识的遗忘与混淆，所以在本节课的学习中应全面系统的加以讲述。另外，学生在学习有理数乘方中相关概念及其符号规律的推导、应用方面可能会有模糊现象，因此，在教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。
教学目标 1.理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义。 2.能够正确进行有理数的乘方运算。
教学重点 有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及其相互间的关系；有理数乘方的运算方法。
教学难点 有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及其相互间的关系的理解。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1.理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义。 2.能够正确进行有理数的乘方运算。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题1．有理数的乘法法则： 两数相乘，同号得____，异号得____，且积的___________等于乘数的____________．任何数与0相乘，都得___． 答案：正，负，绝对值，绝对值的积 问题2．乘法交换律：_______． 答案：ab＝ba 问题3．乘法结合律：____________． 答案：(ab)c＝a(bc) 问题4．分配律：________________． 答案：a(b＋c)＝ab＋ac 问题5．乘除混合运算往往先_________________，然后_________ ________，最后___________． 答案：将除法化为乘法，确定积的符号，求出结果 问题6．有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则与小学所学的混合运算一样，按照____________________的顺序进行． 答案：先乘除，后加减学生活动2： 学生积极回答教师提出的问题活动意图说明： 回顾有理数加减乘除等学习过的知识，为新知识——乘方的学习做好铺垫。环节三：新知讲解教师活动3： 问题：你能计算下列图形中正方形的面积和立方体的体积吗？ 答案：边长为2的正方形的面积是2×2＝4； 棱长为2的立方体的体积是2×2×2＝8． 观察：下面的乘法算式有什么共同点呢？ 2×2 2×2×2 预设：含有相同的因数 追问1：都是相同因数的乘法，有没有简写形式呢？ 2×2， 记作：2 ，读作：2的平方或2的二次方 2×2×2， 记作：2 ，读作：2的立方或2的三次方 追问2：下面的式子又如何表示呢？ (－2)×(－2)×(－2)×(－2) 答案： (－2)×(－2)×(－2)×(－2) 记作：(－2)4，读作：－2的四次方 记作：，读作：的五次方 归纳1：一般地，n个相同的因数a相乘，，记作an，读作a的n次方. 归纳2：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂. 指出： 注意：当an看作a的n次方的结果时，也可读作：a的n次幂 例如，在94中，底数是9，指数是4，94读作“9的4次方”，或“9的4次幂”． 一个数可以看作这个数本身的1次方．例如，5就是51．指数1通常省略不写． 想一想：你能区分(－a)n与－an吗？ 归纳：（1）(－a)n表示n个－a相乘，底数是－a，指数是n，读作“－a的n次方”． （2）－an表示n个a相乘的乘积的相反数，底数是a，指数是n，读作“a的n次方的相反数”． 因为an就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算． 例1：用乘方表示下列各式，并指出底数和指数． （1）(－3)×(－3)×(－3)×(－3)； （2） 解：（1）(－3)×(－3)×(－3)×(－3)＝(－3)4， 底数是－3，指数是4． （2） 底数是，指数是6． 指出：当底数是负数或分数时，底数要加括号． 归纳：看因数，找底数，定指数． 要找底数和指数就要先去找“相同的因数”，相同的因数是哪个数，底数就是哪个数；有几个相同的因数，指数就是几． 例2：计算 (1) (－4)3； (2) (－2)4； (3) 分析：乘方运算转化为乘法运算. 解：(1) (－4)3 =(－4)×(－4)×(－4)=－64； (2) (－2)4 =(－2)×(－2)×(－2)×(－2)=16； (3) (－)3 =(－)×(－)×(－)=－ 探究：请再举一些计算乘方的例子，结合例1，你发现负数的幂的正负与指数有什么关系？ 预设：当指数是正数时，负数的幂是负数； 当指数是偶数时，负数的幂是正数． 归纳：根据有理数的乘法法则可以得出： 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． 显然，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0． 提出：乘方运算的两种方法： （1）将乘方转化成乘法，再根据乘法法则计算； （2）先根据乘方运算的符号法则判断幂的符号，再计算幂的绝对值． 例3：用计算器计算(－8)5和(－3)6． 解：用带符号键的计算器，有 显示结果为 -32768; 显示结果为 729. 因此，(-8)5=-32768，(-3)5=729.学生活动3： 学生认真观察、思考，小组合作探究、交流，并认真听老师的讲解 学生认真计算，然后独立思考，小组讨论后，班内板演并交流。 活动意图说明： 让学生经历探索乘方概念的过程，理解乘方及其相关概念，培养学生合情推理的能力，提高学生自主发现问题、提出问题的能力，然后通过例题掌握乘方的计算可转化为乘法进行计算的方法，并探究乘方的符号法则，并学会用计算器计算乘方.环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：2.3.1.1 乘方一、乘方及其相关概念 二、乘方运算教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列可以表示的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 2．下列各组数中，互为相反数的一组是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 3．计算： (1)；(2)；(3)；(4). 解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式； 选做题： 4.下列各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【综合拓展类作业】 5.已知n为正整数，计算的结果是（ ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】D 解：n为正整数， 为偶数，为奇数，
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．以下四个数：﹣22、（﹣3）3、﹣（+5）．（﹣）2其中正数有 个． 【答案】1 解：，，，， 所以四个数中正数有1个． 2．下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 3．计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式 选做题： 4.下列计算：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【综合拓展类作业】 5.火眼金睛（寻找错误并纠正） 计算：． 解 解：没有正确分清底数，导致出错． 【正解】．
教学反思 有理数乘方是初中数学教学的重点之一，也是初中数学教学的一个难点。所以在教这一节课的教学中要关注有理数乘方的意义、有理数乘方的符号法则的分类讨论，有理数乘方的易混淆点三个方面。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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