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4　一次函数的应用
第1课时
1.了解两个条件可确定一次函数;能根据所给信息(图象、表格、实际问题等)利用待定系数法确定一次函数的表达式;并能利用所学知识解决简单的实际问题.
2.经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程,掌握用待定系数法求一次函数的表达式,进一步发展数形结合的思想方法.
重点:根据实际问题抽象出数学模型,利用一次函数解析式,以及其图象与性质解决实际问题.
难点:寻找实际问题中的一次函数关系,通过确定一次函数,利用其解析式、图象与性质,以及自变量的取值范围,解决实际问题.
一、创设情境
实际情境:某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒 )的关系如图所示.
(1)写出v与t之间的关系式.
(2)下滑3秒时物体的速度是多少
分析:要求v与t之间的关系式,首先应观察图象,确定函数的类型,然后根据函数的类型设它对应的解析式,再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可.
二、探究归纳
例:在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体的质量x(kg)的一次函数,某弹簧不挂物体时长14.5 cm;当所挂物体的质量为3 kg时,弹簧长16 cm.写出y与x之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度.
解:设y=kx+b,根据题意,得
14.5=b, ①
16=3k+b,②
将b=14.5代入②,
得k=0.5.
所以在弹性限度内,
y=0.5x+14.5.
当x=4时,y=0.5×4+14.5=16.5(cm).
即物体的质量为4 kg时,弹簧长度为16.5 cm.
想一想:大家思考一下,在上面的两个题中,有哪些步骤是相同的,你能否总结出求一次函数表达式的步骤.
求函数表达式的步骤有:
1.设一次函数表达式.
2.根据已知条件列出有关方程.
3.解方程.
4.把求出的k,b值代回到表达式中即可.
目的:对求一次函数表达式方法的归纳和提升.在此基础上,教师可指出这种先将表达式中未知系数用字母表示出来,再根据条件求出这个未知系数,这种方法称为待定系数法.
三、交流反思
1.要学生了解正比例函数的确定需要一个条件,一次函数的确定需要两个条件,能由条件利用待定系数法求出一些简单的一次函数表达式,并能解决有关现实问题.
2.本节课设计注重发展学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力及应用意识的培养,为后继学习打下基础.
四、检测反馈
1.如图,直线l是一次函数y=kx+b的图象,求它的表达式.
　　2.若一次函数y=2x+b的图象经过A(-1,1),则b=　　　　,该函数图象经过点B(1,　　　　)和点C(　　　　,0).
3.如图,直线l是一次函数y=kx+b的图象,填空:
(1)b=　　　　,k=　　　　.
(2)当x=30时,y=　　　　.
(3)当y=30时,　　　.
4.已知直线l与直线y=-2x平行,且与y轴交于点(0,2),求直线的表达式.
五、布置作业
P90 习题4.5　 1,2,3,4
六、板书设计
4.4　一次函数的应用(1)
待定系数法求一次函数 解析式的步骤: (1)设 (2)代 (3)求 (4)写 学生板演练习
　　七、教学反思
探究的过程由浅入深,并利用了丰富的实际情景,既增加了学生学习的兴趣,又让学生深切体会到一次函数就在我们身边,应用非常广泛.教学中注意到利用问题串的形式,层层递进,逐步让学生掌握求一次函数表达式的一般方法.教学中还注意到尊重学生的个体差异,使每个学生都学有所获.第2课时
1.进一步训练学生的识图能力,能通过函数图象获取信息,解决简单的实际问题.
2.在函数图象信息获取过程中,进一步培养学生的数形结合意识,发展形象思维.
重点:一次函数图象的应用.
难点:从函数图象中正确读取信息.
一、创设情境
内容:由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.蓄水量V(万m3)与干旱持续时间t(天)的关系如图所示,根据图象回答下列问题:
(1)水库干旱前的蓄水量是多少
(2)干旱持续10天,蓄水量是多少 干旱持续23天呢
(3)蓄水量小于400万m3时,将发生严重干旱警报.干旱持续多少天后将发出严重干旱警报
(4)按照这个规律,预计干旱持续多少天水库将干涸
(根据图象回答问题,有困难的可以互相交流.)
目的:通过生动的现实情景引入一次函数图象的应用,目的是培养学生的识图能力.
效果:本题插图中干涸的河床势必给学生一个很强的视觉刺激,从而渗透环保教育.
二、探究归纳
我边防局接到情报,近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶.边防局迅速派出快艇B追赶.图中l1,l2分别表示两船相对于海岸的距离s(n mile)与追赶时间t(min)之间的关系.
根据图象回答下列问题:
(1)哪条线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系
(2)A,B哪个速度快
(3)15min内B能否追上A
(4)如果一直追下去,那么B能否追上A
(5)当A逃到离海岸12 n mile的公海时,B将无法对其进行检查.照此速度,B能否在A逃入公海前将其拦截
(6)l1与l2对应的两个一次函数s=k1t+b1与s=k2t+b2中,k1,k2的实际意义各是什么 可疑船只A与快艇B的速度各是多少
解:(1)当t=0时,B距海岸0 n mile,即s=0,故l1表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系.
(2)t从0增加到10时,l2的纵坐标增加了2,而l1的纵坐标增加了5,即10 min内,A行驶了2 n mile,B行驶了5 n mile,所以B的速度快.
(3)延长l1,l2,如图,可以看出,当t=15时,l1上的对应点在l2上对应点的下方,这表明,15 min时B尚未追上A.
(4)如图,l1,l2相交于点P.因此,如果一直追下去,那么B一定能追上A.
　　(5)图中,l1与l2交点P的纵坐标小于12,这说明,在A逃入公海前,B能够追上A.
(6)k1表示快艇B的速度,k2表示可疑船只A的速度.可疑船只A的速度是
0.2 n mile/min,快艇B的速度是0.5 n mile/min.
目的:培养学生的识图能力和探究能力,调动学生学习的自主意识.通过问题串的精心设计,引导学生根据实际问题建立适当的函数模型,利用该函数图象的特征解决这个问题.在此过程中渗透数形结合的思想方法,发展学生的数学应用能力.
三、交流反思
1.能通过函数图象获取信息.能利用函数图象解决简单的实际问题.
2.初步体会方程与函数的关系.将知识系统化,感性认识上升为理性认识.
四、检测反馈
1.一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题.
(1)农民自带的零钱是多少
(2)试求降价前y与x之间的关系
(3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少
(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆
2.内容:观察甲、乙两图,解答下列问题:
(1)填空:两图中的(　　　)图比较符合传统寓言故事《龟兔赛跑》中所描述的情节.
(2)根据(1)中所填答案的图象填写下表:
　项目 线型　 主人公 (龟或兔) 到达时间 (分) 最快速度 (米/分) 平均速度 (米/分)
l1
l2
(3)根据(1)中所填答案的图象求:
①龟免赛跑过程中的函数关系式(要注明各函数的自变量的取值范围);
②乌龟经过多长时间追上了兔子,追及地距起点有多远的路程
　　五、布置作业
P92 习题4.6　T1,2
六、板书设计
4.4　一次函数的应用(2)
例题讲解 学生板演练习
　　七、教学反思
函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型,是初中阶段数学学习的一个重要内容.在本节教学设计中,进一步体现了“问题情境——建立数学模型——应用与拓展”的模式.让学生从实际问题中抽象出函数及一次函数的概念、图象、性质,进而利用一次函数及其图象解决有关现实问题.

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