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(共24张PPT)
一元二次方程的根与系数的关系
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
1.探索一元二次方程的根与系数的关系；
素养目标
3.经历探索一元二次方程的根与系数的关系，体会从特殊到一般的科学探究过程，发展学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，培养学生观察、分析、归纳和判断的能力.
2. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决数学问题；
复习回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？它具有实数根的条件是什么？

ax2+bx+c=0(a≠0)
Δ=b2-4ac≥0
2.一元二次方程的求根公式是什么？
这个求根公式不仅表示可以由方程的系数 a,b,c决定根的值,而且反映了根与系数之间的联系,一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？
探究新知（一）
【填表、观察 】 一元二次方程的两根之和、两根之积与系数有什么关系呢？请完成以下表格
方程 x1 x2 x1+ x2 x1·x2
x2-3x+2=0
x2-2x-3=0
2
3
2
-1
2
-3
【发现】这些一元二次方程的两根之和 x1+ x2、两根之积 x1·x2
与系数有什么关系呢？
【猜想】当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为 x1，x2
发现：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项.
1
3
x1+x2= -p , x1 ·x2=q
【验证】方程(x－x1)(x－x2)＝0 (x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
(x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0
x2+px+q=0
x1+x2= -p , x1 ·x2=q
【结论】
当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为x1, x2
x1+x2= -p , x1 ·x2=q
探究新知（一）
操作、观察
发现
猜想
验证
得出结论
数学的研究路径：
如果二次项系数不为1呢
探究新知（一）
探究新知（二）
方法1
【类比学习 】当二次项系数不为1时， 一元二次方程的两根之和、两根之积与系数有什么关系呢？
【发现、猜想】
用公式法求得
两根之积等于常数项与二次项系数的比.
当二次项系数不为1时，两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数；
当二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项.
【类比学习 】当二次项系数不为1时， 一元二次方程的两根之和、两根之积与系数有什么关系呢？
探究新知（二）
方法2
二次项系数化为1，得：
【发现、猜想】
当二次项系数不为1时，两根之和等于一次项系数与二次项系数比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.
探究新知（二）
如果系数为未知数呢，还有一样的规律吗？
【发现、猜想】
当二次项系数不为1时，两根之和等于一次项系数与二次项系数比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.
特殊
一般
ax2+bx+c=0
（a、b、c是常数且a≠0）
探究新知（二）
把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的二次项系数化为1，得：
【验证方法1】
两根之积等于常数项
当二次项系数为1时，
两根之和等于一次项系数的相反数
探究新知（二）
x1= ，x2= ，
已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，两根分别为
【验证方法2】
x1+x2= ，
根与系数的关系（韦达定理）
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）的两根为x1，x2，方程的两个根和系数a，b，c 的关系如下：
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
注意：韦达定理成立的前提条件是Δ =b2-4ac≥0.
拓展阅读
韦达（1540—1603），法国数学家．年轻时当过律师，后来致力于数学研究，韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著，他是第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂的人，带来了代数理论研究的重大进步.
他讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与系数的关系（即韦达定理），他的《应用于三角形的数学定律》可能是西欧第一部论述用6种三角函数解平面和球面三角形方法的系统著作，在欧洲被尊称为“代数学之父”．
（图片来源于网络）
应用1：求与根有关的代数式的值
【例1】 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1、x2的和与积：
(1) x2－6x－15＝0 (2) 5x－1＝4x2
解：
x1+x2＝－(－6)＝6，
解：方程化为4x2－5x＋1＝0
【解题方法】
1.把方程化为一般式；2.运用韦达定理求解.
x1x2＝－15.
韦达定理
韦达定理
变式1：求与根有关的代数式的值
【变式1】利用根与系数的关系，求一元二次方程
两个根的（1）平方和；（2）倒数和.
分析：（1）平方和
变式1：求与根有关的代数式的值
变式：利用根与系数的关系，求一元二次方程
两个根的（1）平方和；（2）倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
1.变形：将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式.
【转化思想】
2.整体代入：运用韦达定理.
【整体思想】
1.变形：将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式.
【转化思想】
2.整体代入：运用韦达定理.
【整体思想】
利用根与系数的关系，求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2的相关代数式的值.
类比学习
【类比学习】常见的变式求值
【例2】 已知方程5x2+kx 6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
应用2：求另一根及参数的值
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .
所以 x1 · x2=2x2=
即 x2=
由于x1+x2=2+ =
得 k= 7.
答：方程的另一个根是 ，k= 7.
【解题方法】
知：二次项系数和常数项
求：一次项系数
①先运用两根之积求出另一根；
②再运用两根之和求出一次项系数k的值．
常数项
【变式2】已知关于x的方程 x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，
求方程的另一个根和p的值．
∴p2－2p－3＝0，　　　
变式2:求另一根及参数的值
解：设方程的两根为x1、x2，其中x1=2
∵x1+x2＝6，x1＝2，
∴x2＝4.
又∵x1 · x2＝p2－2p＋5＝2×4＝8，
解得 p＝3或p＝－1.　
答：方程的另一个根是4 ，p＝3或p＝－1.
【解题方法】
知：二次项和一次项系数
求：常数项
①先运用两根之和求出另一根；
②再运用两根之积求出常数项中p的值．
课堂小结
一元二次方程的根与系数的关系
(韦达定理)
内 容
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
应 用
注 意
韦达定理成立的前提条件是b2-4ac≥0.
直接利用韦达定理求解
结合已知系数和一根求另一根、参数的值
先变形后整体代入求解
数学的研究路径：观察—发现—猜想—验证—得出结论
数学思想方法：从特殊到一般、转化思想、整体思想、类比学习
数学家韦达敢于质疑、敢于探索的精神值得我们学习.
巩固新知
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当______________时，方程有实数根x1，x2.这两个根与系数的关系是：x1＋x2＝______，x1x2 ＝______．运用根与系数的关系解决问题的前提条件是方程有实数根，即________________．
b2－4ac≥0
b2－4ac≥0
2.若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则
x1＋x2的值是( )
A. －10　 B. 10　　　 C. －16　 D. 16
A
【基础达标作业】
3. 若一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2 ，则x1·x2的值是( )
A. 4 B. －4 C. 3 D. －3
4. 若方程x2－2x－1＝0 的两根分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2 的值为　 　.
5.已知一元二次方程2x2+mx+3=0的一个根是1，则另一个根是______
巩固新知
【能力提升作业】
D
6.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；
（1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.
解：(1)根据根与系数的关系得：
所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=
解得：k=-7；
（2）因为k=-7,所以
则：
巩固新知
巩固新知
【拓展延伸作业】（选做题，选一题完成即可）
1.借助网络搜寻有关“代数学之父”韦达的信息，写一篇有关他的小文章或制作一份手抄报；
2.利用思维导图整理本节课内容.

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