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学科 数学 授课人
课题 14.2.1 平方差公式（第一课时）
来源 人教版八年级上册
目标确立依据 课标 分析 课标要求“能推导乘法公式：(a+b)( a- b) = a2- b2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。”课标提出公式的推导应该是一个由具体数值计算到符号公式表达的过程，即由特殊到一般的过程。可以让学生感悟，有些问题是可以通过一般性的证明来验证自己所发现的规律，感悟数学的严谨性，增加学习数学的兴趣。
教材 分析 平方差公式是一个重要的乘法公式，它是基于学生掌握多项式的乘法之后的又一种特殊乘法，是从一般到特殊的典型范例，在研究平方差公式的过程中，又涉及从特殊到一般的数学思想。同时，平方差公式是学生后期学习因式分解、分式等知识的基础，也为研究完全平方公式提供了方法。因此，平方差公式在初中数学中占有重要的地位。
学情 分析 学生在初一的时候学习“用字母表示数”后已能建立起“字母表示数具有一般性”的观点，但是对于字母的理解仍过于狭隘，因此学生对于平方差公式的学习困难在于对公式的结构特征，以及公式中字母的广义理解不到位。平方差公式是初中生开始学习的第一个数学公式，所以，教学将重点放在对该公式的本质的理解上，那就是“结构的不变性，字母的可变性”。
学习目标 1。理解平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性； 2。通过探究平方差公式的几何解释，体会数形结合的思想； 3。感受数学的魅力，体会数学符号语言的简洁美。
教学重难点 教学重点：平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性； 教学难点：利用数形结合的思想解释平方差公式，并能根据平方差公式的结构特征灵活运用平方差公式。
教学过程
教学环节 教学活动 设计意图
一、情境引入 教师讲授故事：从前，有一个狡猾的地主，把一边长为100米的正方形土地租给陈大爷种植，一年后他对陈大爷说：“我把这块地的一边长增加2米，另一边减少2米，继续租给你，你看如何？”陈大爷没细算就答应了。回到家中，儿子告诉陈大爷明年种植的面积将变小了。陈大爷非常惊讶。 教师提出问题：同学们，你们能通过计算告诉陈大爷这是为什么吗？ 教师紧接着将问题中的100米改成a米，询问学生种植的面积又发生了什么变化呢？ 借助几何图形的解释帮助学生复习多项式的乘法法则，得到： (a+2) (a–2) =a2 -2a+2a-4=a2 -4。 引入本节课的内容，吸引学生的兴趣，也为后面用几何图形解释平方差公式做铺垫。
二、探索新知 （一）填一填 = = = 学生根据多项式的乘法法则填一填上面的结果，引导学生发现原本结果是四项但中间两项一加一减可以抵消掉，所以最后结果只有两项。 （二）探索发现 引导学生从以下三个式子： 总结规律得到猜想： 证明猜想： 学生经历由具体数值计算到符号公式表达最后到公式的证明的过程，体会平方差公式是多项式两项式×两项式的特殊情况，因为中间过程的抵消所以最后结果是两项。这三个具体的式子中间过程能够两项抵消是有共同点，为后面得到平方差公式的结构特征做铺垫。
三、理解新知 （一）认识平方差公式 1.符号语言： 2.文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 3.字母可变、结构不变：a、b可以表示数也可以表示式，可以表示单项式也可以表示多项式，反映了字母的可变性。但a表示的是前面符号相同的项，b表示的是前面符号相反的项，这反映的是公式的结构不变。 （二）几何解释 引导用两种方法求黄色部分的面积，通过等积法证明平方差公式。 引导学生从多个角度认识平方差公式，体会从特殊到一般、数形结合的数学思想方法。
四、巩固新知 例题：运用平方差公式计算 （1）(3x+2)(3x–2) （2）(-x+2y)(-x–2y) 第（1）题引导学生识别出该题是两个数的和与这两个数的差的乘积的形式，符合平方差公式的结构特征，并且识别出式子中的a与b分别是谁； 第（2）题学生可能会对-x产生疑惑，教师引导学生把-x当成一个整体，-x看成是a，2y看成是b，再利用平方差公式。 提醒学生运用公式时需要把某些项看成一个整体。 练习1：计算 （1）(p+ )(p–) （2）(x+y) (-x+y) （3）(y+2)(y–2) – (y–1)(y+5) 第（1）题是公式的直接应用，属于技巧的模仿，第（2）题引导学生发现第一项符号相反，第二项符号相同，所以可以通过加法交换律交换位置得到（y+x）(y-x)以使用平方差公式。第（3）题提醒学生注意(y–1)(y+5) 的符号为负号，去括号时候注意后面的项要变号。 练习2：判断下列各式的运算是否正确 （1）(2x+a)(2x–b) = (2x) 2 – a2 （2）(-2a+b) (2a–b) = 4a 2 – b2 （3）(-x – y) (x – y) = y 2 – x2 （4）(a+b+c)(a – b–c) = a 2 – (b+c) 2 第（4）题让学生感受a与b不仅仅可以是单项式也可以是多项式。 根据情境引入中的102×98顺势让学生完成练习3：请用简便的方法计算： 检查学生对知识的掌握程度： （1）学生能否识别出公式中前面符号相同的项和前面符号相反的项； （2）学生能否看到公示的本质，突破公式字面意义的局限性，进行有意义的变形和运算，而不是机械的记忆公式。
五、课堂小结 老师提问： 1. 什么是平方差公式？ （1）文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 （2）符号语言： （3）本质 ①结构是稳定不变的：两个数的和与这两个数的差的乘积，等与这两个数的平方之差； ②公式中的字母a和b却可以变：可以是其他字母，可以是正数，也可以是负数，可以是单项式，也可以是多项式。 2.怎么学习平方差公式？ ①从特殊进行猜想到一般进行证明 ②数形结合使用等积法解释公式 3. 为什么要学平方差公式？ 在进行某些乘法运算时，利用平方差公式，可以进行简便、快速运算。 帮助学生梳理本节课的内容，复习本节课的知识、数学思想方法以及学习本节课的目的。
六、课后作业 （一）基础题 1.利用平方差公式计算 （1）(a+3b)(a- 3b) （2）(3+2a)(－3+2a) （3）(－2x2－y)(－2x2+y) 2.计算： 20152 － 2014×2016 提高题 3.利用平方差公式计算 （1） (a-2)(a+2)(a2 + 4) （2） (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4) （三）拓展题 4.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝ 1－x4 ， (1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝_____；(n为正整数) (2)根据你的猜想计算： ①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________； ②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)； ③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________ 分层反馈

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