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数学广角植树问题教学设计
【教材分析】
《植树问题》是人教版义务教育教科书五年级数学上册第七单元“数学广角”的内容。这一教学内容，新旧教材作了删减和调整，旧教材分别安排了有两端都栽、两端都不栽、方阵问题等3个例题，而新教材安排了两端都栽、两端都不栽、环形问题（一端栽一端不栽）等3个例题，把方正问题作为了补充内容。
本节课重点解决例1、例2，同时解决直线上一端栽一端不栽的问题。在解决植树问题的过程中，向学生渗透“化归思想”和“模型思想”，一方面把抽象的植树问题化简成直观的生活问题，另一方面让学生从生活中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再模型解决实际问题，同时使学生感悟和应用数学模型解题的优越性，从而发展、提高学生的思维能力。
【学情分析】
从数学学习的能力看，五年级学生已具备了一定的分析综合、抽象概括、归类梳理的数学活动经验；从思维特点看，仍以形象思维为主，以形象思维推动抽象思维的发展。这部分内容放在这个学段，说明这个内容本身具有很高的数学思维和很强的探究空间，既需要教师的有效引领，也需要学生的自主探究。
【教学目标】
1.利用课前小研究提供的数学思考内容及方向，通过简单的动手操作实践与思考活动，理解点数、间隔数之间的关系。
2.通过小组交流和学生展讲，互相启发，及时更新个体认知，逐步建立植树问题的数
学模型。
3.让学生经历和体验“从简单的事例中发现规律，再应用找到的规律来解决问题”的解题策略和方法。同时，渗透数形结合的思想，培养学生借助图形解决问题的意识。
4.感受日常生活中处处有数学，体验学习成功的喜悦。
【教学重点】
理解“植树问题”三种情况的特征，体会数形结合思想的重要性，在一题多向思考中突出认知建立的有序性。
【教学难点】
建立“植树问题”深刻的数学模型，并能运用其解决数学问题。
【教学过程】
课前3分钟口算练习
【设计意图：把口算训练作为课前三分钟的常规，提高学生的口算能力，提升学生的计算素养。】
一、感知生活，建构模型
（一）观察发觉，寻找生活数学
1.（师生问好后，整理队列）我从大家所站的队形中看到了数字4和数字3，你能发现是什么吗？（“4”指四排，也就是“排数”；“3”指四排中有三个间隔，也就是间隔数，板书：间隔数）。
2.刚才这两个数学现象，其实是一种非常有趣的数学问题，它叫“植树问题”。（板书）
3.（齐读课题）植树问题？（是我们带上锄头、铁锹去植树吗？）你想学习什么样的数学知识？（板书整理：什么是植树问题？植树问题有哪些类型？……）
【设计意图：数学源于生活，高于生活，更服务于生活。从学生所站队列的“列数”，“间隔数”开始，引领植树问题走向生活，再度发现“排数”与“间隔数”的关系，契合植树问题，为植树问题的教学找到一个直观支点，开篇点题入胜，教学情境寓意深刻。同时，启发学生问题意识，以问题引领学习方向，突出学习的目标性。】
（二）体验归纳，建构数学模型
1.小组互学。（出示一条线段）研究植树问题，我们从这样一条“线段”开始。你能将这条线段平均分成几份？（学生说）接下来，请大家拿出你画好、分好的线段，在小组内交流自己的想法。具体要求是：
（1）说一说：在小组长的组织下，每一位同学依次发言，说一说思考的过程和结论。
（2）比一比：看谁画的线段最美观，表述最清楚，语言最简洁。
（学生分组学习，教师巡视，课件出示课前小研究）
2.全班展讲。选取2个学生（注意多份数和少份数）在实物台上展示研究成果，并进行个体讲解、全班质疑和互动交流。（不管是5份还是8份，得到的等量关系是一样的吗？）
3.认知迁移。不管是平均分成多少份，都存在这样的等量关系。
4.数形结合。我把一条线段平均分成了6份（出示），这是3种不同的画法。如果我们把这些线段看成是这样一条条路，把线段上的这些点看成是一棵棵的树，这就变成了我们数学上的“植树问题”。
（1）请你观察，这三种栽树的方式，它们的区别在哪里？（起点和终点）
（2）起点和终点都栽的叫做两端都栽。另外两种呢？（一端栽一端不栽；两端都不栽）
（3）建立模型。两端都栽时，栽树的棵树和树与树之间的间隔数有什么关系？
①两端都栽：棵数=间隔数+1
②一端栽一端不栽：棵数=间隔数
③两端都不栽：棵数=间隔数-1
（4）小结。这样我们就得到了植树问题的三种情况。要求出植树的“棵树”，最重要的是要找到什么？（间隔数）“间隔数”怎样得到？联系课前小研究的“思考四”想一想。（板书：间隔数=总长度÷间距）（学生齐读）接下来，就让我们一起去看看植树问题究竟该怎样解决。
【设计意图：本环节是本课的主旨，以“课前小研究”为线索，引领学生开展小组学习、展讲汇报、建构模型等系列学习活动，思维从“零散”到“聚焦”，再到“统一”，模型建构从“形象”到“具象”，再到“抽象”，充分经历了做数学的全过程。】
二、尝试释问，运用模型
1.抛问。在一条长是100米的公路一旁栽树，每隔5米栽一棵。一共可以栽多少棵？
2.质疑。请大家先尝试解决这个问题。能解决吗？（不能）为什么？（不知道栽树的情况）你准备怎么栽？
3.补充。在一条长是100米的公路一旁栽树，每隔5米栽一棵（ ）。一共可以栽多少棵？
4.解决。学生根据自己的想法进行选择，尝试解决，教师巡视，学生上黑板板演。
5.整理。对3个学生分别板演3种解法经行统一整理。
（二）变式问题
1.变化题目。在一条长是100米的公路两旁栽树，每隔5米栽一棵（ ）。一共可以栽多少棵？
2.区别异同。这个题目和刚才我们解决的问题有什么不同？
3.解决问题。师生一起口述结果。
【设计意图：本教学内容以教材的例题为依据，在“一题多变”中实现练习有效性的生长。练习从认知冲突开始，突出解决问题的开放性、多样化，再到重点字词关注，突出问题解决的细致性、两面性，一个题目建立了三种问题模型，实现了不同人在练习中获得不同发展的目标。】
（三）提升问题
看来呀，解决植树问题最关键的是要弄清什么？（栽树的方式）生活中有这样的植树问题吗？（学生说）只要我们做生活的有心人，就一定可以发现更多这样的植树问题。
1.题目。一根木头长10米，要把它锯成2米长的小段，如果每锯一段要8分钟，锯完一共需要几分钟？
2.对比。方法一：10÷2=5（段）5×8=40（分钟）
方法二：10÷2=5（段）5-1=4（次）4×8=32（分钟）
3.反问。这是植树问题吗？（是）什么是棵树？（次数）什么是间隔数？（段数）是哪种情况？（两端都不栽）
【设计意图：“提升问题”是对植树问题中“两端都不栽”这一难点问题的具体实践，目的在于从对比中发现计算“次数”的必要性，区分“棵树”、“间隔数”在具体问题中的隐藏点，学生对问题的认识更感性、更清晰，有效搭建了数学与生活的桥梁。与前两个练习一起，充分体现了数学练习螺旋上升、层层递进的特点。】
三、全课小结，延伸模型
同学们，刚才我们一起研究了“植树问题”，课前提出的两个问题都解决了吗？小明学完植树问题后，爷爷给他出了一道趣味题（课件出示）
湖边春色分外娇，一株杏树一株桃，平湖周围三千米，六米一株都栽到，漫步湖畔美景色，可知桃杏各多少？
你知道这个顺口溜是什么意思吗？你能把这个顺口溜改编成一道通俗易懂的数学问题吗？它是植树问题吗？是哪种类型？你会解答吗？
【设计意图：课末，一方面回应了课前提出的问题，前后照应，突出教育学的完整性；另一方面以诗句的形式引出例3的“环形植树问题”，既诗趣盎然，又充满挑战，为下一课时的学习埋下了伏笔，使教学环环紧扣，浑然一体。】
四、板书设计
植树问题
间隔数=总长度÷间距
①两端都栽； ②一端栽一端不栽； ③两端都不栽
棵数=间隔数+1 棵数=间隔数 棵数=间隔数-1

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