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第二章 有理数及其运算
第二章 本章所需课时数 21课时
课标要求 1.经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能。 2.建立数感、符号意识，初步形成运算能力，发展形象思维与抽象思维。 3.获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。 4.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数；掌握必要的运算（包括估算）技能。 5.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。 6.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道的含义（这里表示有理数）。 7.理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）。 8.理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算，能运用有理数的运算解决简单的问题。 9.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。 10.会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。
教材分析 本章内容展开的大致线索是：进一步认识负数，建立有理数的概念→探索有理数的运算法则并运用法则进行计算→运用有理数和有理数的运算解决实际问题。让学生在活动中体会数的概念的扩张，了解负数的本质意义；经历探求有理数运算法则的过程，理解有理数的算理，初步体会转化、归纳的数学思想；体验数学与现实的联系以及数学活动的探究性和创造性。 在第1节“有理数”、第2节“数轴”、第3节“绝对值”三节内容中，首先借助表示比赛得分这个生活中的实例，从用正负数表示现实生活中具有相反意义的量的角度引入负数，使学生感受到负数的引入源自实际生活的需要，体会数学知识与现实世界的联系；然后通过与温度计的类比，认识数轴，会用数轴上的点表示有理数；最后借助数轴理解相反数、绝对值的意义，知道互为相反数的两个数在数轴上的位置关系，会求一个数的绝对值，能比较有理数的大小，会利用绝对值比较两个负数的大小。 在第3节“有理数的加减运算”的几个课时内容中，设置了丰富的现实背景，以直观形象的解释，探索、归纳的方式，获得有理数加法和减法法则及相关运算律，运用法则进行运算。如有理数的加法法则，教科书首先从计算知识竞赛得分入手，使学生理解和；然后利用“正负抵消”的思想，讨论整数加法的几种情况；最后再由特例归纳出有理数的加法法则。通过有趣的卡片游戏，引入包括小数或分数的有理数的加减混合运算，在计算过程中，感受运算律简化运算的作用；通过对同一具体情境两种算法的比较，让学生体会加减法混合运算可以统一成加法，以及加法运算可以写成省略括号及前面加号的形式。借助“水位的变化”这样一个实实在在的生活情境完成有理数及其加法、减法运算的技能训练。教科书安排了大量运用有理数及其运算解决实际问题的内容，以使学生进一步体会所学知识与现实世界的联系. 基于有理数运算的学习重点是对法则和运算律的理解，所以为了避免因为小数、分数运算的复杂性而冲淡学习的重点，有理数的运算以整数运算的学习为出发点，然后过渡到含有小数、分数的运算。 在第4节“有理数的乘除运算”、第5节“有理数的乘方”两节内容中，采用探索规律的方式，在数学活动过程中，帮助学生更好地理解和归纳总结运算法则。通过细胞分裂等情境，理解有理数乘方的意义，同时感受当底数大于1时，乘方运算的结果增长得很快。 在第6节“有理数的混合运算”、第7节“近似数”、第8节“用计算器进行运算”三节内容中，设计“24点”游戏、探求数字运算规律等情境，进一步掌握混合运算的法则，合理使用运算律简化运算。同时，鼓励学生算法多样化，提高学生的学习兴趣，训练学生的思维。在学生理解并能正确应用法则进行计算的基础上，指导学生用计算器完成较为繁杂的计算，鼓励学生用计算器进行探索规律等活动。 本章的学习给学生提供了丰富的数学活动机会，如归纳、猜测、验证、推理、计算、交流等，以使学生在亲身经历这些活动中发现问题、探索问题，促进他们对知识的理解和掌握.
主要内容 本章主要内容：有理数，数轴，绝对值，有理数的加、减、乘、除及乘方，科学记数法，计算器的使用。
教学目标 1.在具体情境中，理解有理数及其运算的意义，发展运算能力。 2.能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。 3.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值。 4.经历探索有理数运算法则和运算律的过程，体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。 5.能运用有理数及其运算解决简单的实际问题。 6.会用科学记数法表示大数；能对含有较大数字的信息做出合理的解释和推断，发展数感。 7.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。
教学重难点 教学重难点： 1.正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数； 2.正确理解绝对值的概念； 3.准确迅速地进行有理数的加减混合运算； 4.准确地掌握有理数混合运算的运算顺序和运算中的符号问题。
教与学建议 1.让学生在实际情境中理解有理数的相关概念。 2.让学生经历有理数运算法则的探索过程。 3.恰当把握对有理数运算的要求。 4.渗透分类和转化的数学思想。
章节课时分配 1 从小学算术说起 （1课时） 2 认识有理数 （4课时） 第1课时 有理数 第2课时 数轴 第3课时 相反数与绝对值 第4课时 有理数的大小比较 3 有理数的加减运算 （6课时） 第1课时 有理数的加法法则 第2课时 有理数的加法运算律 第3课时 有理数的减法 第4课时 有理数的加减混合运算1 第5课时 有理数的加减混合运算2 第6课时 有理数的加减混合运算3 4 有理数的乘除运算 （3课时） 第1课时 有理数的乘法 第2课时 有理数的乘法运算律 第3课时 有理数的除法 5 有理数的乘方 （3课时） 第1课时 有理数乘方的意义及运算 第2课时 有理数乘方的应用 第3课时 科学记数法 6 有理数的混合运算 （1课时） 7 近似数 （1课时） 8 用计算器进行运算 （1课时） 回顾与思考 （1课时）
2.1 从小学算术说起
课题 第1节 从小学算术说起 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P28-30
教学目标 回顾小学学过的自然数、整数等，复习小数、分数的运算等，为下一节的学习做铺垫。
教学重难点 重点： 运算法则及负数的简单认知。 难点： 小学运算法则等的迁移。
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.回顾复习，导入新课 （1）我们小学学过哪些数？ （2）小学学过哪些运算？各种运算的法则是什么？ （3）学过哪些运算律？ 学生活动：对问题进行思考，并与组内同学交流，回顾小学学过的算术问题。 这节课我们就来学习有理数。（教师板书课题： 第1课时 从小学算术说起） 本章是小学学过知识的延伸，将在小学学习的基础上，进一步学习负数，研究有理数的有关概念及其运算，并利用有理数的知识解决实际问题。
2.实践探究，学习新知 【探究1】单位统一 【思考·交流】 （1）判断正误，并说明理由。 ①2km加3m写成算式:2+3=5。 ②如图2-1，5捆（每捆10根）小木棒加2根小木棒写成算式:5+2-7。 （2）如图2-2，2.34+2.1写成竖式的形式，为什么要求“小数点对齐，相同数位上的数相加” （3）成立吗 两个分数相加，为什么不能用分子的和作为和的分子，分母的和作为和的分母 关于小学算术的加法法则，你有何感触？ 师生活动：教师鼓励学生积极思考发言，大胆提出自己的观点。学生先自主探究解决问题，再分组交流、分析汇报。 答案预设： （1）①错误，因为单位没有统一； ②错误，因为一捆小棒和一根小棒，单位不一致。 （2）小数点对齐，就是数位对齐，也就是说相同的计数单位对齐。 （3）不成立。两个分数相加，不能用分子的和作为和的分子，分母的和作为和的分母，是因为这几个分数的分子、分母的计数单位各不同，无法相加减。 【归纳总结】 只有计数单位或者数的单位相同时，才可能加减。不同的记数单位是不能加减的。 【探究2】运算法则和运算律 【尝试·思考】 怎样计算更简便 理论依据是什么 (1)0.25x125 x 32; (2)()x60; (3)()÷。 师生活动：教师鼓励学生积极思考发言，大胆提出自己的观点。学生先自主探究解决问题，再分组交流、分析汇报。 【归纳总结】在计算时，运用运算律可以简化计算过程。 【探究3】运算律2 【观察·思考】 (1)把两个长方形拼成如图 2-3所示的一个长方形。 口答:75x9= 。 （2）下图是一个999×1000的长方形。 口答：999×999= 。 （3）把两个长方形拼成如图所示的一个长方形。 若a=67，b=33，m=56，则56×67+56×33= 。 师生活动：教师鼓励学生积极思考发言，大胆提出自己的观点。学生先自主探究解决问题，再分组交流、分析汇报。 上面题目可以借助数形结合思想，较为轻松地解决。 答案预设：（1）675 （2）998001 （3）5600 【尝试·思考】 已知a与b都是自然数，a+b，a-b，a×b，a÷b也都是自然数吗？ 师生活动：教师鼓励学生积极思考发言，大胆提出自己的观点。学生先自主探究解决问题，再分组交流、分析汇报。 答案预设：a+b，a-b和a×b，是自然数，但a÷b不一定是自然数，如2÷3。 【尝试·交流】 (1)小丽从小养成了理财的习惯。上个月她卖了一次废品，并给自己买了一本课外书。她在账本上记录:+56.2元，-27.5元。试说明“+56.2元”“-27.5元”的实际意义。 (2)生活中会发生可以写成算式“2-3”的故事。例如，某地现在的气温是2℃，后下降了3℃。试讲一个关于算式“2-3”的故事。 师生活动：教师鼓励学生积极思考发言，大胆提出自己的观点。学生先自主探究解决问题，再分组交流、分析汇报。 答案预设：（1）+56.2元表示卖废品收入56.2元，-27.5元表示买课外书花费27.5元。 （2）答案不唯一，如某水库堤坝早上的水位是海拔2m，到了晚上因为放水，水位下降3m，则2-3表示现在的水位。 因为小学学过的运算法则等都适用于将要学的有理数运算，因此复习回顾是很有必要的。 该部分通过回顾小学知识，明白加减运算时，只有单位一致才可以。 本思考和下面一个思考都体现了运算法则和运算律，为后续有理数的运算计算做铺垫。 该思考为数系的扩充做铺垫，提供思路。 让学生的认知出现未知，引发学生学习兴趣，为后续负数的学习做铺垫。
3.学以致用，应用新知 例1 计算： （1）+5.6++4.4； （2）。 解：（1）+5.6++4.4=（+）+（5.6+4.4）=1+10=11； （2）=。 例2 12÷（）可以用12÷+12÷来简算吗？ 解：不能，因为除法没有分配律。 通过例题讲解，巩固理解小学学过的算术知识，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以查缺补漏。
4.随堂训练，巩固新知 1.已知A客车每辆乘坐30人，B客车每辆乘坐20人。某车站记录某日车站发出的客车数量(a表示一辆A客车，b表示一辆B客车): 2a，5b，9a，3b，3a，4b。 求当日乘坐A客车和和B客车各多少人（假设都满员）。 解：2a+9a+3a=14a，即当日共发出A客车14辆， 同理，共发出B客车12辆， 所以当日乘坐A客车的有14×30=420（人）， 当日乘坐A客车的有12×20=240（人）。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1.小学学过的运算法则和运算律 2.小学学过的数的分类 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P30习题2.1.1中的T1-5。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第1课时 从小学算术说起从小学算术说起小学学过的运算法则、运算律投影区数的认识……学生活动区
提纲挈领，重点突出。
教后反思 本节课是有理数全章的第一节，为以后“数”的学习奠定基础。回顾小学学过的知识，进一步加深对知识的理解，未来学习时可以形成正迁移。 反思，更进一步提升。

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