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2.2　有理数的乘法与除法
2.2.1　有理数的乘法
第1课时
1.类比正数及0的乘法,归纳有理数的乘法法则.
2.能利用有理数的乘法法则进行简单的有理数乘法运算.
3.通过有理数的乘法法则的推导,渗透分类讨论的思想,转化思想.
学习目标
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
甲水库的水位每天升高3 cm，乙水库的水位每天下降3 cm，4天后
甲、乙水库的水位的总变化量各是多少？
我们已经熟悉正数及0的乘法运算，引入负数后，怎样进行有理数的乘法运算呢？
壹
第四天
第三天
第二天
第一天
新知初探
贰
探究一　有理数的乘法法则
如图,一只蜗牛沿直线l爬行，它现在的位置在l上的点Ｏ处．
l
Ｏ
填一填
（1）如果一只蜗牛向右爬行2cm记为+2cm，那么向左爬行2cm应该
记为 .
（2）如果3min以后记为+3min，那么3min以前应该记为 .
-2cm
-3min
新知初探
贰
2
0
2
6
4
l
结果：3min后在l上点Ｏ 边 cm处;
表示： .
右
6
（+2）×（+3）=6(cm)
(1)如果蜗牛一直以每分钟２cm的速度向右爬行，
３min后它在什么位置？
想一想：
(2)如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向左爬行，3min后它在什么位置？
-6
-4
0
-2
2
l
结果：3分钟后在l上点Ｏ 边 cm处;
左
6
表示： .
（-2）×（+3）＝-6(cm)
(3)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向右爬行，3min前它在什么位置？
结果：3分钟前在l上点Ｏ 边 cm处;
表示： .
（+2）×（-3）＝-6(cm)
左
6
2
-6
-4
0
-2
2
l
(4)如果蜗牛一直以每分钟２cm的速度向左爬行，３min前它在什么位置？
结果：3钟分前在l上点Ｏ 边 cm处;
右
6
表示： .
（-2）×（-3）＝6(cm)　　　　　　　　
2
0
2
6
4
-2
l
结果:都是仍在原处，即结果都是 ，可以表示
为 .
(5)原地不动或运动时间为零，结果是什么？
0×3=0；0×(－3)=0；2×0=0；(－2)×0=0．
0
Ｏ
（1）正数乘正数，积为＿＿数;负数乘负数积，为＿＿数;
（2）负数乘正数，积为＿＿数;正数乘负数，积为＿＿数;
（3）积的绝对值等于乘数的绝对值的＿＿；
（4）零与任何数相乘或任何数与零相乘结果是 .
正
正
负
负
积
(同号得正)
(异号得负)
0
根据上面结果可知：
（＋2）×（＋3）＝＋6　（－2）×（－3）＝＋6
（－2）×（＋3）＝－6　（＋2）×（－3）＝－6
2×0＝0 (－2)×0＝0
问题 设a,b为正有理数，c为任意有理数，则
(+a)×(+b)= ,(-a)×(-b)= ;
(-a)×(+b)= ,(+a)×(-b)= ;
c×0= ,0×c= .
小结：
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
任何数与0相乘，都得0.
0
+(a×b)
+(a×b)
-(a×b)
-(a×b)
0
两个有理数相乘，积是有理数吗
探究二 倒数
计算并观察结果有何特点？
（1） ×2；　　　 （2）(-0.25)×(-4)
小结：有理数中，乘积是1的两个数互为倒数.
思考 数a(a≠0)的倒数是什么
答：a≠0时,a的倒数是
解：(1) ×2=1.
（2）(-0.25)×(-4)=1
探究三 例题讲解
有理数乘法的
求解步骤:
先确定积的符号
再确定积的绝对值
1.计算：
(1)8×(-1) ； (2)( )×(-2) ；
(3)(- ) ×(- ).
解：(1) 8×(-1)= -(8×1) =-8.
(2)(- )×(-2)= +( ×2) =1.
(3)(- )×(- )= +( × ) = .
2.求下列各数的倒数．
(1) ； (2) ； (3)－1.25； (4)5．
解：(1) 的倒数是 ；
(2) ＝ ，故 的倒数是 ；
(3)－1.25＝ ，故－1.25的倒数是 ；
(4)5的倒数是 ．
3.用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高1 km，气温的变化量为-6℃，攀登3km后，
气温有什么变化？
解：（-6）×3=-18（℃）.
答：气温下降18℃.
当堂达标
叁
1.下列各式的计算结果中符号为正的是（　　）
A.(-5)×3 B.(+7)×(-6) C.(-5)×0 D.(-5)×(-3.7)
2.下列说法中正确的有(　 )
①两数相乘,若积为正数,则这两个因数都是正数;
②两数相乘,若积为负数,则这两个数异号;
③两个数的积为0,则两个数都是0;
④互为相反数的数之积一定是负数.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
当堂达标
D
A
叁
解：(1)(-3)×(-6)
=+(3×6)
=18.
3.计算：
(1)(-3)×(-6); (2)(- )× ;
(3)(-3.14)×0; (4) 2 ×(- ).
(2)(- )×
=-( × )
=- .
(3)(-3.14)×0
=0.
(4)2 ×(- )
=-( × )
=- .
4.写出下列各数的倒数:(1)-15; (2) ; (3)-0.25; (4)-5 .
解:(1)-15的倒数是- . (2) 的倒数是 .
(3)-0.25=- ,倒数是-4. (4)-5 =- ,倒数是- .
5.某冷库厂的一个冷库的室温是-1 ℃,现有一批食品需要低温冷藏,如果冷库每小时可降温4 ℃,而连续降温6.5小时后,方可达到所需冷藏温度,则这批食品需要冷藏的温度是多少 ℃
解:降温记作负. (-4)×6.5=-26(℃)
所以(-1)+(-26)=-27(℃).
答:这批食品需要冷藏的温度是-27℃.
课堂小结
肆
课堂小结
1.有理数乘法法则:
(1)两数相乘,同号得正,异号得负,且积的绝对值等于乘
数的绝对值的积；
(2)任何数与0相乘,都得0.
2.倒数：
乘积是1的两个数互为倒数.
肆
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2,3题。
提高题：2.若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，
如2*3＝4×2×3＝24.
(1)求3*(－4)的值；
(2)求(－2)*(6*3)的值.
谢
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2.2　有理数的乘法与除法
2.2.1　有理数的乘法
第1课时
数学 七年级上册RJ
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预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.有理数的乘法法则:两数相乘,同号得　 　,异号得　 　,且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
2.任何数与0相乘,都得　 　.
3.乘积是　 　的两个数互为倒数.
正
负
0
1
课堂互动
知识点1　有理数的乘法法则
例1　计算:
[思路点拨] 根据有理数的乘法法则先确定积的符号,再求绝对值
的积.
(2)0×(-4)=0.
知识点2　倒数
例2　下列各组数中,互为倒数的是( )
C
基础题
A
A
3.下列运算结果为负值的是( )
A.(-7)×(-5) B.(-6)×(+3)
C.|-8|×|-4| D.0×(-9)
4.一个数的倒数等于这个数本身,则这个数是　 　.
5.a,b两个有理数在数轴上的对应点如图所示.
用“<”或“>”填空:a　 　b,ab　 　0.
B
±1
<
<
中档题
(2)(-2.5)×(-0.8)=+(2.5×0.8)=2.
素养题
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2.2.1　有理数的乘法
第1课时
一.学习目标
1.能归纳有理数的乘法法则.
2.能利用有理数的乘法法则进行简单的有理数乘法运算.
3.通过有理数的乘法法则的推导，渗透分类讨论的思想，转化思想.
二.自主预习
1.有理数包括哪些数
2.计算:(1)3×2; (2)3×1; (3); (4)2×0; (5)0×0.
3.计算：
（1） ；
（2） .
4.你能将上面两个算式写成乘法算式吗？
5.怎样计算？
（1）6×（-5）； （2）（-4）×（-5）； （3）0×（-5）.
【自主归纳】
(1)正数乘正数积为　 　数;负数乘负数积为　 　数;(同号得正)
(2)负数乘正数积为　 　数;正数乘负数积为　 　数;(异号得负)
(3)积的绝对值等于各乘数绝对值的　 　.
(4)零与任何数相乘或任何数与零相乘结果都是　 　.
三.探究新知
探究点一 有理数的乘法法则
1.如图所示,一只蜗牛沿直线l爬行,它现在的位置在l上的点O处.
填一填:
(1)如果一只蜗牛向右爬行2cm记为+2cm,那么向左爬行2cm应记为　 　;
(2)如果3分钟后记为+3分钟,那么3分钟前应记为　 　.
想一想:
(1)如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向右爬行,3分钟后它在什么位置
结果:3分钟后蜗牛在l上点O　 　边6cm处.可以表示为:(+2)×(+3)=　 　;
(2)如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向左爬行,3分钟后它在什么位置
结果:3分钟后蜗牛在l上点O　 　边　 　cm处.可以表示为:(-2)×(+3)=　 　;
(3)如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向右爬行,3分钟前它在什么位置
结果:3分钟前蜗牛在l上点O　 　边　 　cm处.可以表示为:　 　;
(4)如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向左爬行,3分钟前它在什么位置
结果:3分钟前蜗牛在l上点O　 　边　 　cm处.可以表示为:　 　;
(5)原地不动或运动时间为零,结果是什么
结果:仍在原处,即结果都是　 ,可以表示为:　 　.
(6)根据根据上面的计算归纳出有理数的乘法法则.
2.练习1
设a,b为正有理数，c为任意有理数，则
(+a)×(+b)= ,(-a)×(-b)= ;(-a)×(+b)= ,
(+a)×(-b)= ;
c×0= ,0×c= .
练习2
(1)若a＜0,b＞0,则a×b 0 ;
(2)若a＜0,b＜0,则a×b 0 ;
(3)若a×b＞0,则a、b应满足什么条件？
(4)若a×b＜0,则a、b应满足什么条件？
例1.计算:
(1)8×(-1);
(2)(-)×(-2);
(3)(-)×(-).
例2.用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高1km，气温的变化量为-6℃，攀登3km后，气温有什么变化？
探究点二 倒数
1.计算并观察结果有何特点
(1)×2; (2)(-0.25)×(-4).
归纳总结:有理数中,乘积是 的两个数互为倒数.
2.思考:数a(a≠0)的倒数是什么
例3.求下列各数的倒数.
(1)-; (2)2; (3)-1.25; (4)5.
四.运用新知
1.填空题
被乘数 乘数 积的符号 积的绝对值 结果
-5 7
15 6
-30 -6
4 -25
2.确定乘积符号,并计算结果:
(1)7×(-9); (2)4×5; (3)(-7)×(-9); (4)(-12)×3; (5)×(-); (6)-2009×0;
3.说出下列各数的倒数:
1,-1,,-,5,-5,0.75,-2.
五.达标测试
1.下列各式的计算结果中符号为正的是（　　）
A．（-5）×3 B．（+7）×（-6）
C．（-5）×0 D．（-5）×（-3.7）
2.下列说法中正确的有(　 　)
①两数相乘,若积为正数,则这两个因数都是正数;
②两数相乘,若积为负数,则这两个数异号;
③两个数的积为0,则两个数都是0;
④互为相反数的数之积一定是负数.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.计算：
(1)(-3)×(-6);
(2)(-)×;
(3)(-3.14)×0;
(4)2×(-).
4.写出下列各数的倒数:
(1)-15; (2); (3)-0.25; (4)-5.
5.某冷库厂的一个冷库的室温是-1 ℃,现有一批食品需要低温冷藏,如果冷库每小时可降温4 ℃,而连续降温6.5小时后,方可达到所需冷藏温度,则这批食品需要冷藏的温度是多少 ℃
参考答案
达标检测
1.D 2.A
3.解：(1)(-3)×(-6)=+(3×6)=18.
(2)(-)×=-(×)=-.
(3)(-3.14)×0=0.
(4)2×(-)=-(×)=-.
4.解:(1)-15的倒数是-.
(2)的倒数是.
(3)-0.25=-,倒数是-4.
(4)-5=-,倒数是-.
5.解:降温记作负.
(-4)×6.5=-26(℃)
所以(-1)+(-26)=-27(℃).
答:这批食品需要冷藏的温度是-27℃.
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2.2.1　有理数的乘法
第1课时
掌握有理数的乘法运算.能运用有理数的乘法运算解决简单问题.
1.类比正数及0的乘法,归纳有理数的乘法法则.
2.能利用有理数的乘法法则进行简单的有理数乘法运算.
3.通过有理数的乘法法则的推导,渗透分类讨论的思想,转化思想.
重点:能按有理数乘法法则进行有理数乘法运算.
难点:有理数乘法法则的推导.
在小学学习的数的乘法及刚接受有理数加减法的基础上,进一步学习有理数的基本运算,教学时强调学生自主探索,在互相交流的过程中理解和掌握有理数乘法法则的本质;另外,要求学生在探索有理数乘法法则的过程中,初步体验分类讨论的数学思想,鼓励学生归纳和总结,形成良好的数学心理品质.
(一)情境导入
甲水库的水位每天升高3 cm,乙水库的水位每天下降3 cm,4天后甲、乙水库的水位的总变化量各是多少
我们已经熟悉正数及0的乘法运算,引入负数后,怎样进行有理数的乘法运算呢
(二)新知初探
探究一　有理数的乘法法则
如图所示,一只蜗牛沿直线l爬行,它现在的位置在l上的点O处.
填一填:
(1)如果一只蜗牛向右爬行2 cm记为+2 cm,那么向左爬行2 cm应记为　-2 cm　;
(2)如果3 min后记为+3 min,那么3 min前应记为　-3 min　.
想一想:
(1)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向右爬行,3 min 后它在什么位置
结果:3 min后蜗牛在l上点O　右　边6 cm处.可以表示为(+2)×(+3)=　6(cm)　;
(2)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向左爬行,3 min 后它在什么位置
结果:3 min后蜗牛在l上点O　左　边　6　cm处.可以表示为(-2)×(+3)=　-6(cm)　;
(3)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向右爬行,3 min 前它在什么位置
结果:3 min前蜗牛在l上点O　左　边　6　cm处.可以表示为　(+2)×(-3)=-6(cm)　;
(4)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向左爬行,3 min 前它在什么位置
结果:3 min前蜗牛在l上点O　右　边　6　cm处.可以表示为　(-2)×(-3)=6(cm)　;
(5)原地不动或运动时间为零,结果是什么
结果:仍在原处,即结果都是　0　,可以表示为　0×3=0;0×(-3)=0;2×0=0;(-2)×0=0　.
根据上面的结果可知:
(1)正数乘正数,积为　正　数;负数乘负数,积为　正　数;(同号得正)
(2)负数乘正数,积为　负　数;正数乘负数,积为　负　数;(异号得负)
(3)积的绝对值等于各乘数的绝对值的　积　;
(4)零与任何数相乘或任何数与零相乘结果都是　0　.
小结:
有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
任何数与0相乘,都得0.
问题　设a,b为正有理数,c为任意有理数,则
(+a)×(+b)=　+(a×b)　,(-a)×(-b)=　+(a×b)　;
(-a)×(+b)=　-(a×b)　,(+a)×(-b)=　-(a×b)　;
c×0=　0　,0×c=　0　.
追问　两个有理数相乘,积是有理数吗
任务一　意图说明
引导学生通过观察数轴,分别得出正数乘正数,负数乘正数,正数乘负数,负数乘负数,一个数与零相乘的结果,从而归纳出有理数乘法的法则.通过乘法法则的推导,揭示了有理数乘法运算中分类讨论的数学思想.
探究二　倒数
计算并观察结果有何特点
(1)×2;
(2)(-0.25)×(-4).
解:(1)×2=1.
(2)(-0.25)×(-4)=1.
小结:有理数中,乘积是1的两个数互为倒数.
思考　数a(a≠0)的倒数是什么
答:a≠0时,a的倒数是.
任务二　意图说明
先计算再观察结果,归纳出倒数的概念,再引出互为倒数概念的同时,要注意与互为相反数的概念比较,避免产生混淆.
探究三　例题讲解
1.计算:
(1)8×(-1);(2)（-）×(-2);
(3)（-）×（-）.
解:(1)8×(-1)=-(8×1)=-8.
(2)（-）×(-2)=+（×2）=1.
(3)（-）×（-）=+（×）= .
[方法归纳] 有理数乘法的求解步骤:先确定积的符号,再确定积的绝对值.
2.求下列各数的倒数.
(1)-;(2)2;(3)-1.25;(4)5.
解:(1)-的倒数是-.
(2)2=,故2的倒数是.
(3)-1.25=-,故-1.25的倒数是-.
(4)5的倒数是.
3.用正负数表示气温的变化量,上升为正,下降为负.登山队攀登一座山峰,每登高1 km,气温的变化量为-6 ℃,攀登3 km后,气温有什么变化
解:(-6)×3=-18(℃).
答:气温下降18 ℃.
任务三　意图说明
1.通过练习帮助学生巩固提高,不仅使学生掌握了运算法则,而且积累了解题经验,发展了他们有条理地思考的能力.
2.教师应提前想到学生容易出现的错误并加以纠正,但只有让学生亲身经历错误,才能真正提高学生解决问题的能力.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.有理数乘法法则:
(1)两数相乘,同号得正,异号得负,且积的绝对值等于乘数的绝对值的积;
(2)任何数与0相乘,都得0.
2.倒数:乘积是1的两个数互为倒数.
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