资源简介

4.2.2 指数函数的图象和性质
一、学习目标
1．借助描点法、信息技术画出一些具体指数函数的图象，了解指数函数的基本性质．
2．通过指数函数的研究，进一步体会函数研究的基本方法.
3．通过指数函数的图象和性质，发展直观想象和思想抽象的素养.
二、教学重点
利用指数函数的图象研究指数函数的性质．
三、教学难点
根据图象抽象归纳、概括出指数函数的性质.
四、教学过程设计
（一）创设情境，引入新知
问题1：指数函数的概念是什么？
一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，定义域是.
问题2：类比幂函数的研究过程和方法：背景-概念-图象和性质-应用，前面我们学习了指数函数的概念，接下来我们可以从哪些角度去研究指数函数？
【师生活动】教师引导学生结合幂函数的学习，提出可以先画出指数函数的图象，然后借助图象研究指数函数的性质，最后应用图像和性质去解决问题.本节课我们共同来研究指数函数的图象和性质.
【设计意图】从单元教学整体设计出发，类比幂函数的研究过程，迁移研究方法，为指数函数的研究寻求研究思路.学生在这过程中进一步掌握研究函数的一般方法，形成独立研究、主动思考的思维习惯，为接下来的学习建立先行组织者.复习回忆指数函数的概念，为本节研究指数函数的图象和性质做好铺垫.
（二）信息辅助，探究图象
问题3：我们知道在指数函数中，是自变量，其中底数必须满足，对于在两个不同区间内的取值，其函数图象各有什么特征呢？我们先从几个简单指数函数入手，利用描点法，在同一直角坐标系中规范作出的图象.
追问：（1）描点法作图的步骤是怎样的？
列表、描点、连线.
（2）列表时取哪些值合适？
由指数函数的定义域为R，可取1、2、3、0、-1、-2、-3等值.
【师生活动】请同学们完成如下表格并作图.邀请学生代表黑板作图，其余学生网格纸上作图，教师巡视关注学生作图问题.
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
... ...
... ...
得到下图：
【设计意图】学生在动手操作、独立作图的过程中，掌握研究函数图象的一般方法，提高自主探究能力.教师通过问题串引导学生更加准确规范地作出的图象，体现以学生为主体的教学理念.
问题4：观察函数的图象有什么关系？从解析式的角度分析为什么会有这种关系？由此你能推广得到什么一般性结论？
【师生活动】教师引导学生发现两个函数图象关于y轴对称.因为函数图象上任意一点关于y轴的对称点都在函数图象上，反之亦然.由此得到底数互为倒数的两指数函数图象关于y轴对称.
追问：根据这样的对称性，你计划如何去画出更多的指数函数的图象？
【师生活动】学生自然想到先画、等函数的图象，根据y轴对称快速得到、等函数的图象.教师通过信息技术演示，在同一直角坐标系中，作出、、、、、的图象.
【设计意图】通过逻辑推理验证数学结论，学生更深刻地体会数形结合思想，学会用联系的观点看问题，体会用函数的关系研究未知函数图象的方法.同时为下一步指数函数的图象分为两类讨论做好铺垫.
问题5：观察这些函数图象的位置、公共点、变化趋势，它们有什么共性？
函数图象都在x轴上方，都过点，、、在R上单调递增；、、在R上单调递减.
追问：（1）从图象的变化趋势（函数单调性）上看，这些图象可以分为几类？你能由此猜想指数函数的单调性与底数有什么关系？
由单调性可将指数函数分为两类.
猜想：当时，R上单调递增；当时，R上单调递减.
从这几个特殊的指数函数图象中发现的共性和猜想是否适用于一般的指数函数呢？
【师生活动】教师利用信息技术演示随a取值变化，指数函数图象的变化特点，学生通过观察大量指数函数的图象验证猜想，了解指数函数的分类标准及图象特点.
【设计意图】从特殊到一般，通过信息技术便捷作出大量图象辅助观察，直观发现指数函数位置、特殊点、单调性等共性及差异，引导学生按底数的范围对指数函数进行分类讨论，从而达到难点的突破.
再次观察图象变化过程，随着底数的增大，指数函数的图象有什么变化规律？
当时，底数越大图象越缓；当时，底数越大图象越陡.
【思考】在同一坐标系下，函数①，②，③，④的图象如下图，则之间从小到大的顺序是________.
【师生活动】学生回答，教师介绍快速比较底数大小的方法：令.
【设计意图】通过信息技术直观观察到的指数函数图象随底数a变化的规律可以快速解决思考问题，但学生容易在之后的学习中混淆遗忘，因此在此处介绍特殊值比大小的方法，帮助学生更加深刻地识记指数函数的图象特点，加深记忆，提高识图解图效率.
数形结合，抽象性质
问题6：根据指数函数的图象，并结合解析式的代数特征，概括指数函数的性质，完成下表.
图象
定义域
值域
定点
奇偶性
单调性
【设计意图】通过指数函数的图象归纳总结指数函数的性质，再引导学生从解析式的代数特征分析理解性质的本质，数形结合，帮助学生从两个角度更加深刻地理解指数函数的图象和性质.
典例剖析，初探应用
比较下列各题中两个值的大小：
， （2），
（3）， （4），
解：（1）和可看作函数当分别取2.5和3时所对应的两个函数值.因为底数，所以指数函数是增函数.因为，所以.
同（1），因为，所以指数函数是减函数.因为，所以.
时，指数函数是减函数，因为，所以；
时，指数函数是增函数，因为，所以.
（4）由指数函数函数的性质知，所以.
【师生活动】教师引导学生将每一组中的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，从而利用指数函数的单调性进行比较.对于（1）（2），可以直接利用指数函数的单调性比较；对于（3），由于底数a不明确，故应按和分类讨论；对于（4），不能看作某一个指数函数的两个函数值.可以利用函数和的单调性，以及“”这条性质把它们联系起来.
【设计意图】通过应用函数的单调性比较大小，进一步理解指数函数的单调性.
练习1. 比较下列各题中两个值的大小：
（1）， （2）， （3），
【答案】
（1）因为函数在上单调递增，且，故.
（2）因为函数在R上单调递减，且，故.
（3）因为函数在R上单调递增，且，所以；
因为函数在R上单调递减，且，所以；所以.
【设计意图】通过对例题3的变式，促进学生对指数函数单调性的理解.
例2. 如图，某城市人口呈指数增长.
根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
该城市人口从80万开始，经过20年，人口会增长到多少？
解：（1）观察图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口翻一番所需的时间约为20年.
（2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.
【师生活动】教师引导学生对问题进行分析，根据该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期.要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系，由于倍增期是20年，因此容易得到“从80万人开始，20年后人口大约会增长到160万人”.
【设计意图】通过应用函数图象解决问题，进一步认识指数函数的图象，并由图象理解指数函数的概念和性质.
例3.已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.
（1）求该函数的解析式，并画出图象；
（2）判断该函数的奇偶性和单调性.
解：（1）因为函数的图象过原点，所以，即，所以，函数.又.且无限接近直线，但又不与该直线相交，所以，所以，函数，用描点法画出函数的图象如图.
（2）显然函数的定义域为R.
令，则，所以为偶函数.
当时，为单调增函数.
当时，为单调减函数.
所以在上为增函数，在上为减函数.
【设计意图】本题综合考察了学生在掌握了指数函数图象与性质的规律之后，通过对指数函数的单调性的应用以及研究一个新函数方法的训练，达到深刻理解和领悟本节课精髓的目的.
当堂达标、举一反三
1.若，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D
【答案】D　因为，且是增函数，所以，故.
2.已知，函数，若实数满足，则的大小关系为________.
【答案】 因为，所以在R上是减函数，又，所以.
3.已知函数的图象经过点.
（1）比较与的大小；
（2）求函数的值域.
【答案】（1）由已知得，解得，因为在R上单调递减，因为，所以.
（2）因为，所以，所以，即函数的值域为.
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，巩固指数函数的图像和性质，增强学生的数学抽象和数学直观和数学运算的素养。
（六）课堂小结
教师引导学生回顾本节课的学习内容，并回答如下问题：
写出一个指数函数的解析式，说明底数、增长比例和初始量的值，画出该函数的草图，并说明其单调性.
通过本单元的学习，你对研究函数的内容和方法有什么更进一步的认识？对比以前学习过的一些具体函数，你能建立指数函数和它们的联系吗？请你结合下表谈谈体会.
指数函数 一次函数 二次函数 反比例函数 幂函数
解析式
定义域
值域
图象
性质
【设计意图】结合问题（1），教师与学生一起回顾本单元学习的指数函数的概念、图象和性质；结合问题（2），建立指数函数与学习过的其他函数的联系，并进一步体会研究具体函数的内容、过程和方法.

展开更多......

收起↑