资源简介

5.1.2 弧度制
一、教材及内容分析
本节课是普通高中教科书人教A版必修第一册第五章第一节第二课，本节课起着承上启下的作用:前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”，并且上节课学了任意角的概念,将角的概念推广到了任意角;本节课作为三角函数的第二课时,是后续学习任意角的三角函数等知识的理论准备,因此本节课还起着启下的作用。通过本节弧度制的学习,我们知道实数与角之间有一一对应的关系，而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单的形式。另外弧度制为今后学习三角函数提供了很大方便。
二、教学目标
1、知识与技能
经历1弧度角定义的过程，感受定义的合理性；
（2） 会进行弧度制与角度制的换算；
（3） 会在弧度制下求弧长及扇形面积公式；
（4） 了解在弧度制下角的集合与实数集R之间一一对应的关系.
2、过程与方法
类比角度制单位角的定义过程，尝试规定其它类型的单位角，体验单位角在制定过程中的合理性，体会到1弧度角定义的合理性.由特殊到一般的思想找到弧度制与角度制之间的互化的方法，初步感受弧度制下运算的简洁性.
3、情感态度与价值观
（1）经历长度单位的再熟悉过程认识到单位与我们的生活息息相关，同时意识到规定单位角的大小是定义新的度量单位的前提；
（2）经历单位角的定义过程，从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念，体会1弧度角定义的合理性；
（3）经历角度制与弧度制的互化及应用弧长公式与扇形面积公式体会到弧度制建立的优越性.
三、教学重点、难点
教学重点：弧度制的定义及弧度制与角度制的换算.
教学难点：弧度制的定义.
教学方法与手段
探究式学习与讲授结合
教学过程：
创设情境、引入课题
活动1：请同学们目测并说出钟老师的身高。李老师身高1米75左右，也可以说成是钟老师身高175厘米左右。
设计意图：一方面，以自身为引子，拉进师生的距离，抓住学生的注意力。另一方面，唤醒学生的单位意识，知道当规定好1米有多长，我们可以用米作为单位来度量身高，当规定好1厘米有多长，我们可以用厘米作为单位来度量身高，长度单位有很多，各种单位之间可以实现换算，不同的单位选择对问题的描述体现出不一样的简洁程度。
活动2：试求60°+ sin60°的值
设计意图：六十进制的角与十进制的实数无法求和，呼唤角的十进制单位的引入。
二、数学建构 探索新知
（1）回顾度量长度的几种单位，指出怎样规定度量单位
当规定好1米有多长，我们可以用米作为单位来度量长度
当规定好1尺有多长，我们可以用尺作为单位来度量长度，一米=3尺
当规定好1度角有多大，我们可以用度作为单位来度量角的大小.
问题1：（1）1°角是怎么规定的？
（2）能用平分圆周的方法得到1°角吗？
（3）现在我们要建立新的单位来度量角，那先要对什么做出规定？（单位角的大小）
试一试：请您尝试利用圆周来定义一个单位的角的大小.
(学生活动)
问题2：如果以半径长为单位对圆周进行度量，把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为一个单位角的大小，合理吗？
（学生探究角的大小不会随着半径的改变而改变）
设计意图：类比1°角定义的过程，弧度制定义的本质是用半径r对圆周进行度量，可以理解为是对圆周不同的平分方式.学生经历单位角的定义过程，感受1弧度角定义的合理性.
(2)概念 ：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.
用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.
历史介绍： 1748年欧拉在它的著作《无穷小分析概论》
中提出把圆的半径作为弧长的度量单位,这一思想将线段
与弧的度量统一起来，大大简化了三角的运算.
数学教师汤姆生（James Thomson）在北爱尔兰首府贝尔法斯特（Belfast）女王学院的数学考试题目中创造性地首先使用了“弧度一词”，当时它将“半径”（radius）的前四个字母与“角（angle）的前两个字母合在一起，构成radian,并被人们广泛接受和引用.
在半径为的圆中
①若圆心角（正角）所对的弧长为,那么,角的弧度数是多少
②若圆心角（正角）所对的弧长为,那么,角的弧度数是多少
③若圆心角（正角）所对的弧长为，那么角的弧度数是多少？
④若圆心角（正角）所对的弧长为，那么角的弧度数是多少？
设计意图：根据1弧度角的定义，写出弧度角与半径及弧长之间的关系，弄清1弧度角的概念是了解弧度制的关键.
三、新旧融合 知识应用
问题3：弧度制与角度制之间如何换算？
1 rad =度
例1 ：把下列各角从弧度化为度
（2）3.5
解：
例2：把下列各角从度化为弧度
解
用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集R之间建立一一对应的关系：
练习.写出一些特殊角对应的角度和弧度
角度 00 300 600 1200 1350 2700
弧度
问题4：在弧度制下，弧长与面积公式是什么？并与角度制下的公式比较
（弧长公式）
（扇形面积公式）
结论：在弧度制下，弧长公式与扇形面积公式简洁了，这也是引入弧度制的原因之一.
例3（1） 已知扇形的周长为8厘米，圆心角为2rad，求扇形面积.
设计意图：（1）角度制与弧度制的互化紧扣
（2）体会弧度制下扇形的弧长公式与面积公式的简洁性.
四、课堂小结
五、课后作业
教学设计说明：
本节课是度量角的另一种单位制——弧度制. 学生对弧度制概念的学习比较困难，为何会这样定义1弧度角，一方面可以从角与的对应关系理解，另一方面可以从弧度制定义的本质出发，用半径度量圆周定义1弧度角的大小.本节课采用的是后一种方式，所以弄清1弧度角的概念是了解弧度制的关键.为了突破这些难点，本节课弧度制概念的学习分以下几个步骤完成：1.基于学生已有的知识基础，从熟悉的长度单位入手，了解当规定了单位长度时就可以用它作为单位度量长度，渗透了“单位”的思想.2.从熟悉的角度制入手，体会1°角定义的合理性.3.探究尝试其它方式定义一个单位角的大小，体会1弧度角定义的合理性.4.在1弧度角定义的基础上认识角的大小与的关系，同时揭示1弧度角定义的过程中角度与弧度之间的关系.
弧度制的学习一方面是使进位制统一，由角的60进制转为实数的10进制，拓展了角在实数领域研究的范围，为三角函数的学习做铺垫，另一方面弧度制的使用简化了微积分中公式的计算.由于学生的知识有限，所以体会弧度制下弧长公式与面积公式的简洁性及来初步感受弧度制使用的优越性
l
l

展开更多......

收起↑