资源简介

平行四边形单元概览
单元名称：平行四边形
学校 学科/年级/设计者 数学/初二
教材 人教版 对应章/课时 第十八章平行四边形/ 18.2.3 正方形
一、你敢挑战吗？ 如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，你有多少种方法？
二、你将学哪些知识？
三、期望你学会什么？ 1、经历图形的变化过程，理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性； 2、通过动手测量与逻辑证明，探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质、判定定理，进一步发展抽象能力、几何直观、推理能力、模型观念、应用意识、创新意识等数学核心素养； 3、经历实践对比，理解两条平行线之间的距离，能度量两条平行线之间的距离； 4、探索并证明三角形中位线定理； 5、经历图形的变化过程，理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的包含关系，体验数学思考与类比探究的乐趣。
四、给你支招 1. 为何学 平行四边形、矩形、菱形、矩形，是现实生活中常见的几何图形，与我们的生产生活密切相关；而该单元是学生掌握了平行线、全等三角形的性质与判定等相关知识后，
单元第 12 分课时学历案
课时 12 名称：正方形的概念与性质
课时目标
经历图形的变化过程，理解正方形的概念，以及平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的包含关系，领悟一般与特殊的关系；
经历正方形性质定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验，培养和发展合情推理能力，获得成功的体验；
运用正方形的概念与性质解决实际问题，培养转化思想、数形结合等数学思想，提高抽象能力、几何直观、推理能力、模型观念、应用意识、创新意识等核心素养。
评价任务
为了检测目标（1），引导学生完成任务一·进程反馈；目标（2）的检测由任务二·进程反馈、任务三·进程反馈完成；目标（3）的检测则是设置任务四·进程反馈。
任务一·进程反馈、任务二·进程反馈的检测，需要结合 ABCD 学习卡，得到学生答案的即时反馈，并根据 ABCD 学习卡的反馈结果，有的放矢地选择讲评题目；在任务三·进程反馈中，通过独立思考、全班齐答、邀请学生分享解题思路的方式，完成目标
（2）的检测；而任务四·进程反馈通过小组合作的形式，在探讨中获得过程性评价，并邀请小组代表分享小组思维硕果，达到教学目标。以上评价任务的灵活运用，实现了以评促教，以评促学的效果。
3.学习过程
课堂教学流程
教学环节 教师活动 学生活动 媒体资源 设计意图
新知引入 教师展示与正方形相关图片：魔方、七巧板、赵爽弦图。 追问：生活中还有哪些正方形呢？ 插座、手表…… 以生活中常见的正方形作为本节课的新知引入，学生在体会数学与生活之间联系的过程中，学会用数学的眼光观察现实世界；同时，引入我国古代数学家的智慧结晶——以正方形为框架的赵爽弦图，激发学生的 民族自豪感。
你敢挑战吗？ 展示挑战任务：如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，你有多少种方法呢？ 1、挑战任务的抛出，激发了学生对于运用数学知识解决生活实际问题的好奇心以及求知欲，培养学生会用数学的思维思考现实世界的 习惯、应用意识与创
追问 1 ： 关键条件是哪里呢？ 这两条小路将草地分成的四部分面积 相等。 新意识的数学核心素养；
追问 2：每一部分面积均是总面积的几分之几呢？ 四分之一。
通过班级优化大师随机抽取同学回答、学生举手回答等形式鼓励学生分享解决方案。
引导学生探索更多小路修建方法。 学生 1：两对角线所在的直线方向上 学生 2：过两对角线交点的水平方向以及竖直方向的两条 直线…… 2、班级优化大师的运用，增强数学课堂的趣味性，极大调动了学生的学习积极性。
回顾知识 展示学生课前准备环节所归纳的平行四边形知识结构图。 引导学生类比矩形、菱形的探究路径，学习正方形的相关内容。 学生代表解说该小组所绘制的平行四边形知识结构图。 1、利用粤教翔云平台的讨论板展示学生小组的知识结构图，将学生几何知识体系的构建直观化； 2、在矩形、菱形的类比学习中，有益于正方形学习的拓展与迁移。
任务一·正方形 的概念 播放粤教翔云平台中由矩形、菱形动态转化为正方形的演示视频。 学生观看演示视频，并归纳正方形的概 念。 粤教翔云的演示视频，直观地、便利地呈现正方形的转化过程，在正向迁移中培养学生抽象能力、几何直观、推理能力 等数学核心素养。
任务一· 教师展示正方形概念部分的对应练习： 下 列 命 题 正 确 的 是 （ ） 四个角都相等的平行四边形是正方形 四条边都相等的平行四边形是正方形 有一组邻边相等的平行四边形是正方形 有一个角是直角的菱形 是正方形 学生独立思考，完成 对应进程反馈。 概念学习后的进程反馈、ABCD 学习卡以及班级优化大师的运用，利于获得学生的即时反馈，体现了生本教学、“教学评”一体化的教学理念，为后续教学提供积极指导。
进程反馈
通过 ABCD 学习卡的展示，反馈自己的答案。
通过 ABCD 学习卡获取学生的即时反馈，并再次运用班级优化大师随机抽取一位同学讲解该题。 学生对题目进行讲评。
任务二·正方形 的性质 教师运用以下问题链，引导学生类比矩形、菱形的性质探索思路，归纳总结正方形的性质： 问题 1：类比矩形和菱形是特殊的平行四边形，结合正方形的概念，正方形是特殊的？ 问题 2：正方形作为特殊的菱形，边具有什么性质？ 问题 3：正方形作为特殊的矩形，角具有什么性质？问题 4：除了边、角，对角线具有什么性质呢？ 问题 5：正方形是轴对称图 形吗，有几条对称轴呢？ 学生回答问题链，梳理正方形与平行四边形等几何图形之间的联系；并从边、角、对角线等对正方形的性质进行归纳、运用数学语言表达以上性质。 类比矩形、菱形的相关性质学习正方形，达到高通路迁移的效果；在问题链中，细化正方形的性质与数学语言表达；从两种不同的探究路径出发，培养学生的探究思路的发散思维与总结能力。
任务二· 教师展示正方形性质部分的 对应练习： 学生独立思考，完成 对应进程反馈。 性质学习后的进程反馈、ABCD 学习卡以及班级优化大师的运用，利于获得学生的即时反馈，体现了生本教学、“教学评”一体化的教学理念。
进程反馈 1. 平行四边形、矩形、菱形、
正方形都具有的是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 2. 一个正方形的对角线长 通过 ABCD 学习卡的展示，反馈自己的答案。
为 2 cm，则它的面积是（ ） A. 2 cm2 B. 4 cm2
C. 6 cm2 D. 8 cm2
3. 正方形具有而矩形不一
定具有的性质是 ( )
A.四个角相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补 D.对角线相等
4. 正方形具有而菱形不一
定具有的性质（ ）
A.四条边相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
学生对题目进行讲评。
通过 ABCD 学习卡获取学 生的即时反馈，并再次选用班级优化大师随机抽取一位同学讲解第 3、4 题。
任务三·例题解析 教师展示课本例题，引导学生剖析题目，并利用一分钟进行小组探究，并用班级优化大师进行计时工作： 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 学生围绕该例题，进行小组合作探究。 1、用数学语言表达文字题，渗透数形结合思想以及转化思想等基本思想； 2、班级优化大师的计时工具，保证了小组合作探究的有效性；
邀请学生代表上台分享思维成果。 追问 1：这四个等腰直角三角形的面积均是总面积的？ 追问 2：图中共有多少个等腰直角三角形？哪几个？ 学生代表分享该题的解决方案。 四分之一。 学生独立思考，学生代表回答问题 3、在小组合作探究、问题链中的自主思考中，提高分析问题和解决问题的能力；培养几何直观、推理能力、应用意识等数学核心素养。
任务三 教师展示正方形的对应练 习。 学生代表分享解题思路，并互相邀请其他学生分享解题方法。 在解题方案互相分享的过程中，学生获得正方形相关知识的基础知识、基本技能、基本思想等；特别地，习题的精选精练，搭建从基础知识到完成挑战任务的思考桥梁。
·进程反馈 1. 在 正 方 形 ABCD 中 ，
∠ADB = °，
∠DAC = °，
∠BOC = °.
2. 在正方形ABCD 中，E 是
对角线 AC 上一点，且 AE
= AB ， 则 ∠EBC 的 度 数
是 。
3. 如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD相交于点 O，OA＝2，则该正 方 形 的 周 长为 ， 面积为 ． 邀请学生代表分享解题思路。
任务四· 教师再次展示挑战任务。 1、通过粤教翔云平 台展示实验与探究，
挑战任务 通过粤教翔云平台展示与挑 在动画中猜测、验证
战任务相关的实验与探究， 稍加引导后进行小组合作探 结论，将思考路径直 观化；
究: 如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O,点 O 又是正方 A1B1C1D1 的一个顶点，而 且这两个正方形的边长相 2、GeoGebra 的运用，实现复杂问题简单化、抽象问题具象化；而投影的灵活运
等。拖动点 A1，观察两个正方形重叠部分的面积是否变 用，将一题三解形象 化、直观化，是学生
化。若不变化，应为正方形 发散思维的培养载
ABCD 面积的多少几分之 几？ 三位学生代表上台 体，打破思维定势， 助力深度学习；
分享小组的思维硕果。 3、挑战任务的解决，学生积累基本活动经验，培养分析问题和解决问题的能力，抽象能力、几何直
引用 GeoGebra、投影等展示该题的一题三解，并邀请学生代表分享小组的思维成 果。 观、推理能力、模型观念、应用意识与创新意识等核心素养。
类比实验与探究的数学思想与方法，小组合作讨论挑战任务的解决思路。 学生代表分享挑战任务的解决方案。
课堂小结 教师引导小组合作讨论、补充课前的知识结构图，并分享自己的收获反思： 请给自己打打分（ 满分 10 分）： 知道正方形的概念、性质的具体内容 会运用正方形的概念、性质解决问题 在本节课中，学习了什么数学基本思想？ 这节课，你还存在什么 疑惑吗？ 学生代表分享知识结构图以及收获反思。 通过课堂小结， 总结、反思正方形的概念与性质，并对平行四边形的知识体系作进一步巩固提升。
作业布置 布置作业，分为基础性作业以及拓展性作业。 完成基础性作业（必做） 与拓展性作业 （选做）。 通过设置基础性作业与拓展性作业，学生进一步感悟正方形的概念与性质，使得不同的人在数学 上得到不同的发展。
基础性作业（必做）： 1.下列说法正确的有几个（ ） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②对角线互相垂直的四边形是菱形； ③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； ④对角线相等的平行四边形是矩形． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．正方形的一条对角线长为 8，则正方形的边长为（ ） A．2 B．4 C． 4 2 D． 2 2 3、如图，点 P 是正方形 ABCD 内一点，连接 AP ，BP ，CP ．若△APB 是等边三角形，则 BPC 的度数为（ ） A．30° B．60° C．75° D．90° 4、如图，P 为线段 AB 上任意一点，分别以 AP 、PB 为边在 AB 同侧作正方形 APCD 、 PBEF ，若 CBE 28 ，则 AFP 的度数为（ ）
A． 56 B． 62 C． 73 D． 76 拓展性作业（选做）： 5．在正方形 ABCD 中， E 是 BC 边上一点，在 BC 延长线上取点 F 使 EF ED. 过点 F 作 FG ED 交 ED 于点 M ，交 AB 于点G 交CD 于点 N ． (1)求证： △CDE≌△MFE ； (2)若 E 是 BC 的中点，请判断 BG 与MG 的数量关系 并说明理由。
板书设计
单元作业与检测
基础性试题（必做）：
依据所标数据，下列图形中一定为平行四边形的是（ ）
B． C． D．
下列命题中，正确的是（ ）
对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
如图，正方形 ABCD 的对角线 AC ，BD 交于点O ，E 、F 分别为 AO 、
AD 的中点，若 EF 3 ，则OD 的长是（ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
在平行四边形 ABCD 中，已知 A C 160 ，则 A 。
在平行四边形 ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下，添加一个条件： ，能使平行四边形 ABCD 是矩形。
如图，四边形 ABCD 是菱形， AC 8 ， DB 6 ， DH AB 于点 H ，则 DH 等于 。
如图， ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F 是 AC 上的两点，并且 AF CE ，求证：四边形 BFDE 是平行四边形．
如图所示，在矩形 ABCD 中，AC ，BD 是对角线，过顶点C 作 BD 的平行线与 AB 的延长线相交于点 E ，求证：
四边形 DBEC 是平行四边形
CA CE ．
拓展性试题（选做）：
如图，两张宽度为 2 的矩形纸片交叉叠放在一起，若 ABC 45 ，则重合部分四边形 ABCD 的周长为（ ）
A． 8
C． 8
B．8
D． 4
如图，将正方形OACD 放在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，点 A 的坐标为 8, 6 ，则点 D 的坐标为 ，
点C 的坐标为 ．
如图，平行四边形 ABCD 中，在 AD 上截取 AF AB ，分别以点 B 、F 为圆心，大
于 1 BF 的长为半径画弧，两弧交于点 P ，连接 AP 交 BC 于 E ，
2
若 AB 5 ， BF 6 ，则 AE 的长为 ．
如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 翻折，点 C 落在C' 处， BC ' 交 AD 于点 E，
过点C' 作C 'F CD 交 BD 于点 F，连接CF ．
求证：四边形C'FCD 是菱形；
若CD 6 ， BC 8 ，求线段 EC ' 的长．
单元学后反思
2.单元设计创意 本大单元教学设计基于义务教育数学课程标准（2022 年版），以“在正方形草地上修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等”为挑战任务，激发学生对正方形相关知识的好奇心以及求知欲；而在此任务背景下，通过分解各级任务，引导学生探索、类比拓展平行四边形、矩形、菱形以及正方形的概念、性质判定定理等相关知识，领悟该单元的知识生长，了解平行四边形的价值，形成正确的情感、态度和价值观；同时，通过精选练习巩固新知、平行四边形单元知识结构的归纳绘制，深化理解平行四边形，并内化、构建该单元的知识结构体系。 作业设计方面，通过精选平行四边形习题，并将作业分为“基础性作业”以及“拓展性作业”，学生根据个人实际情况选择相应的作业内容，减轻学生过重的学习压力以及作业负担，实现人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展；通过课前预习、课中练习、课后巩固，结合自评、他评、教师评等多样评价方式，以评促教、以评促学，实现“教学评”一体化，培养学生数学核心素养。 在促进信息技术与数学课程融合的教学改革氛围中，创设合理的信息化学习环境，提高学生的信息素养。本节课通过构建多技术融合教学模式，结合粤教翔云数字教材应用平台、GeoGebra、班级优化大师等软件，以“大单元——任务群——问题链”的形式促进支架式教学，基于建构主义理论促进学生深度学习。而在本案例的课堂实践中，在评价方面略有不足，应预设更多空余时间，设置多样化的评价手段，并及时收集学生反 馈收据，为后续教学提供积极指导意义。
教学实施建议 以学生为主体，重构学历案 教师在参考学历案前，应先作本班的学情分析，根据本班学生的知识储备以及身心发展水平，保留符合学情的教学环节、改进优化教学设计，使学历案真正为本班所用。 恰用信息资源，重构学历案 教师在初步设置课堂教学活动后，应根据实际情况，合理使用信息技术，提供丰富的学习资源；同时也不能忽略板书、导学案等材料的重要性。共同助力，方可巧构教学模式，演绎深度课堂。
4.参考资料 义务教育数学课程标准（2022 年版）

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